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1、2018/9/21,GUET School of Information & Communications,1,数字逻辑A,主讲：信息与通信学院 谢跃雷,2018/9/21,GUET School of Information & Communications,2,第二章 逻辑代数基础,逻辑代数： “逻辑 ”一词始于逻辑学。逻辑学是研究逻辑思维与逻辑推理规律的一门科学。 1849年英国数学家乔治.布尔(George Boole)首先提出用来描述客观事务逻辑关系的数学方法称为布尔代数。后来被广泛用于开关电路和数字逻辑电路的分析与设计，所以也称为开关代数或逻辑代数。,与普通代数区别：与普通代数有着
2、不同的概念，它表示的不是数量大小之间的关系，而是一种逻辑关系，即研究的是客观事物之间的因果关系，或者说条件、原因与结果之间的关系。,注：可与普通代数对应比较学习逻辑代数,2018/9/21,GUET School of Information & Communications,3,2.1 逻辑函数的基本概念,F= f（A1，A2，An）,数字电路也是研究逻辑的，即数字电路的输入、输出的因果关系，也就是研究输入和输出之间的逻辑关系。如图所示:,一、基本概念,输入 逻辑变量,输出 逻辑变量,逻辑函数式,2018/9/21,GUET School of Information & Communica
3、tions,4,取值：无论输入或输出逻辑变量取值只有“0”和“1”，故称为 “二值逻辑 ”，通常称为逻辑0和逻辑1。一般用大写英文字母表示正逻辑：1代表条件具备或事件发生，如高电平，开关闭合，灯亮等，0代表条件不具备或事件不发生，如低电平，开关断开，灯灭等。 负逻辑：与正逻辑相反，1代表条件不具备或事件不发生，0代表条件具备事件发生。 本课程中只考虑正逻辑 其中，A1，A2，An 也称为逻辑自变量；F 称为逻辑因变量。当A1，A2，An的逻辑取值确定后，F的逻辑值就被唯一地确定下来，则称 F 是A1，A2，An的逻辑函数。,特点：,2018/9/21,GUET School of Inform
4、ation & Communications,5,二、三种基本逻辑运算,1.与运算,a.定义：该图代表的逻辑关系是：决定事件的全部条件都满足时，事件才发生这就是与逻辑关系。,b.真值表 开关：1表示闭合，0表示断开 灯： 1表示灯亮，0灭 可得如下真值表：,只有输入全为1时，输出才为1,表2-1-1 (b)真值表,2018/9/21,GUET School of Information & Communications,6,c.函数式: 在函数式中，用. 表示与运算，记做,F=A.B 或 F=AB 又称为与运算或逻辑乘。,d.逻辑符号：,e.与逻辑运算,2018/9/21,GUET Schoo
5、l of Information & Communications,7,2.或运算,a.定义：该图代表的逻辑关系是：决定事件的全部条件至少有一个满足时，事件就发生这就是或逻辑关系。,输入有一个为1时，输出就为1,b.真值表,表2-1-2 (b)真值表,2018/9/21,GUET School of Information & Communications,8,c.函数式：在函数式中，用 表示或运算，记做,F=AB 又称为或运算或逻辑加。,d.逻辑符号：,A,B,F,0+0=0； 0+1=1； 1+0=1； 1+1=1,e.或逻辑运算,2018/9/21,GUET School of Info
6、rmation & Communications,9,3.非门,a.定义：该图代表的逻辑关系是：决定事件的条件满足时，事件不发生这就是非逻辑关系。,b.真值表,表2-1-3 (b)真值表,2018/9/21,GUET School of Information & Communications,10,d.逻辑符号：,e.非逻辑运算,2018/9/21,GUET School of Information & Communications,11,逻辑符号总结,现行国家标准,过去适用的符号,国外常用的符号,能实现基本逻辑关系的基本单元电路称为逻辑门电路。如与门、或门、非门（反相器）等。,2018/
7、9/21,GUET School of Information & Communications,12,三、 几种最常见的复合逻辑运算,1 、 与非,2 、 或非,2018/9/21,GUET School of Information & Communications,13,3.同或逻辑,若两个输入变量的值相同，输出为1，否则为0。,同或逻辑,2018/9/21,GUET School of Information & Communications,14,4.异或逻辑,若两个输入变量的值相异，输出为1，否则为0。,2018/9/21,GUET School of Information &
8、Communications,15,同或与异或逻辑的关系：,若两个变量的原变量相同，则取非后的反变量也相同；反之亦然。因此有：,2018/9/21,GUET School of Information & Communications,16,5.与或非逻辑,函数式形如：,逻辑符号：,A与B等于1，或者C与D等于1，Y等于0。,真值表：,2018/9/21,GUET School of Information & Communications,17,(1) 关于变量和常量关系的公式,.2 逻辑代数的运算法则,(2) 交换律、结合律、分配律,一、基本公式,2018/9/21,GUET School
9、 of Information & Communications,18,分配律：,逻辑函数相等：若两个逻辑函数具有相同真值表，则两者相等,2018/9/21,GUET School of Information & Communications,19,(3) 特殊规律,2018/9/21,GUET School of Information & Communications,20,调换律：,2018/9/21,GUET School of Information & Communications,21,二、基本定理,代入定理,任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现变量A的地方都代之以一个逻辑
10、函数F，则等式仍然成立。,例2-3 已知等式A(B+E)=AB+AE，试证明将所有出现E的地方代之以(C+D) ，等式仍成立。,解 原式左边AB+ (C+D) AB+A(C+D) AB+AC +AD原式右边 AB+A(C+D) AB+AC +AD所以等式仍然成立。,2018/9/21,GUET School of Information & Communications,22,反演定理,注意事项：,1.逻辑运算的优先顺序：括号，与，或, 异或。,2.多个变量上的非号的处理：可保持不变；也可用代入法处理。,2018/9/21,GUET School of Information & Commun
11、ications,23,解 由反演规则，可得,解 由反演定理，可得,若用反演律求解，则,例26,2018/9/21,GUET School of Information & Communications,24,对偶定理,设F是一个逻辑函数表达式，如果将F中所有的与运算和或运算互换；常量0和常量1互换，则可得到一个新函数式F或F。F称为F的对偶式。,2018/9/21,GUET School of Information & Communications,25,对偶定理：若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。,例如证明 A+BC=(A+B)(A+C),Y=A(B+C) =A+BC,Z=AB+AC
12、 =(A+B)(A+C),左边：,右边：,2018/9/21,GUET School of Information & Communications,26,三、常用公式,2018/9/21,GUET School of Information & Communications,27,冗余项公式,2018/9/21,GUET School of Information & Communications,28,2.3 逻辑函数及其表示方法,事务间的因果关系是一种逻辑关系，可用逻辑函数表示。,如举重裁判的例子：设有三个裁判，分别用A,B,C表示，其中A是主裁判。规定至少有两个裁判确认（其中必须包含主
13、裁判）时，运动员的试举才算成功。当用Y表示举重结果时，Y与A,B,C的逻辑关系可表示为：,Y=A(B+C),这就是一个逻辑函数的例子。又如，三变量多数表决逻辑。也是逻辑函数的例子。,一、逻辑函数,2018/9/21,GUET School of Information & Communications,29,二、逻辑函数的表示方法,常用的有五种：真值表；逻辑函数式；逻辑图；波形图；卡诺图。,1.真值表,举重裁判的真值表：,左侧是输入变量的所有取值，右侧是输出变量的值，即函数值。,当输入变量个数为n时，真值表共有2n行。,特点：,描述逻辑问题方便；,直观；,较繁琐。,2018/9/21,GUET
14、 School of Information & Communications,30,2.函数式,举重裁判的函数式：Y=A(B+C),特点：,便于运算、化简；,便于画逻辑图；,不便从逻辑问题直接得到。,3.逻辑图,举重裁判函数的逻辑图：,特点：,便于用电路实现。,A,Y,B,C,2018/9/21,GUET School of Information & Communications,31,4.波形图,Y,举重裁判函数的波形图：,特点：,便于调试电路。,5.卡诺图,卡诺图后面重点介绍,2018/9/21,GUET School of Information & Communications,3
15、2,6.表示方法间的相互转换,真值表,函数式,逻辑图,黑箭头容易实现。红篮箭头不能直接实现，可借助函数式实现。下面要重点介绍红箭头，即由真值表求函数式。,三、逻辑函数的两种标准形式,逻辑函数的两种标准形式分别是与或式和或与式，我们重点介绍与或式。首先，介绍最小项和最大项。,2018/9/21,GUET School of Information & Communications,33,(一）最小项和最大项,（1）定义,注：在提到最小项和最大项时，一定要说明变量的数目，否则没意义的。,例如：三变量最小项,四变量最小项,三变量最大项,四变量最大项,一个n变量的最小项，就是一个包含所有n变量的逻辑“
16、与”项，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次。,一个n变量的最大项，就是一个包含所有n变量的逻辑“或“项，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次。,2018/9/21,GUET School of Information & Communications,34,（2）表示方法,例如：三变量最小项,；,四变量最小项,三变量最大项,四变量最大项,注：将项号i二进制代入，有mi=1, Mi=0,通常用mi来表示最小项，其中下标i叫做项号，它的确定原则是：原变量用“1”表示，反变量用“0”表示。,通常用Mi来表示最大项，其中下标i叫项号，它的确定原则是：原变量用“0”表示，反变量用“1”表示。,2018/9/21,GUET School of Information & Communications,35,可以看出：项号相同的最小项和最大项具有互非的特性。如：,
