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1、第三章 立体的表面交线,返 回,返 回,空间几何体分为平面立体和曲面立体。,平面立体：表面由平面围成的几何体。,曲面立体：表面由曲面或者曲面与平面围成 的几何体。,截 交:平面与立体相交，截去立体的一部分。,平面与立体、立体与立体两两相交形成不同的表面交线，可分为两大类：,截交线截平面与立体表面的交线。,相 贯:两曲面立体相交。,相贯线曲面立体与曲面立体表面的交线。,3.1 平面立体表面的截交线,3.1.1 概述,2)截交线的形状是由直线段围成的平面多边形。,3)多边形的顶点是立体棱线与截平面的交点， 多边形的各边是截平面与立体各表面的交线。,截交线的性质：,1)截交线既在截平面上，又在立体表
2、面上， 是截平面与立体表面的共有线。,3.1.2 平面与平面立体截交线的求法：,A.求各棱线与截平面的交点线面交点法,B.求各棱面与截平面的交线面面交线法,求截交线的步骤：,1) 空间及投影分析,2) 画出截交线的投影,a、截平面与立体的相对位置:,确定截交线的形状。,确定截交线的投影特性。,b、截平面与投影面的相对位置：,分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。,例1四棱锥被正垂面P切割，求其截交线的投影 。,1) 空间分析,2) 投影分析,3) 求截交线,4) 补全棱线的投影,检查:尤其注意检查 截交线投影的相仿性,S,S,S,截平面与体的几个棱面相交？,截交线的形状？,采用的是哪种解
3、题方法？,四边形,线面交点法,例2求P、Q 两平面与三棱锥截交线的投影 。,解题步骤 1)分析: 截平面为正垂面和水平面，正面投影积聚； 2)求出点1、2、3、4；,S“,s,a,a,a“,b,(c),b“,b,c,c“,Pv,Qv,3)顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；,S,4)补全轮廓线。,例3已知立体的V、W投影，试求其H投影。,例4已知主视图和左视图，求俯视图。,3.2 曲面立体表面的截交线,3.2.1 概述 回转体截切的基本形式,平面与回转体表面相交，其截交线是封闭的平面图形。,截交线是由曲线围成，或者由曲线与直线围成，或者由直线段围成。,求回转体截交线，常利用积聚性或者辅
4、助平面以及投影变换的方法。,求平面与回转体截交线的一般步骤：, 空间及投影分析,分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置，以便确定截交线的形状。,分析截平面与投影面的相对位置，明确截交线的投影特性，如积聚性、相仿性等。找出截交线的已知投影，预见未知投影。, 画出截交线的投影,当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：,* 光滑连接各点，并判断截交线的可见性。,* 先找特殊点，补充中间点。,3.2.2 圆柱的截交线,平面与圆柱面相交时，根据平面与圆柱轴线的相对位置不同，其截交线有三种情况：圆、椭圆和矩形。,圆柱的截交线,多个平面截切立体时，要分别对各截平面进行截交线的分析和作图。,例1圆
5、柱体被P、Q 两平面截切，试完成其三视图。,1)空间及投影分析,3)求截交线。,2)分析圆柱体轮廓素线的投影。,截平面与立体的相对位置；,截平面与投影面的相对位置；,解题步骤,保留动画,确定截交线形状为矩形和圆弧。,例2圆柱被正垂面截切，试画出三视图。,1分析：截平面为正垂面，截交线的正面投影积聚， 侧面投影和水平投影为椭圆；,2求出截交线上的特殊点a、b、c、d；,3求出若干个一般点e、e1；,4光滑顺次连接各点，作出截交线，并判别可见性； 5补全轮廓线。,解题步骤,截平面与圆柱轴线的倾角为，其交线的H投影为椭圆，且椭圆的长、短轴随的变化而变化 。,截平面与圆柱轴线成45时,投影为圆。,例3
6、已知顶部开有长方槽圆柱的主视图和俯视图，试画出其左视图。,例4空心圆柱上部开有长方槽，若已知其V、H投影，试求W投影。,例4空心圆柱上部开有长方槽，若已知其V、H投影，试求W投影。,3.2.3 圆锥截交线,根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。,圆锥的五种截交线,例2P平面与圆锥面相交，求截交线的投影。,分 析 P平面为正平面且平行于圆锥的轴线，与圆锥面的交线为双曲线，其H投影积聚在PH上，W投影积聚在PW上，求出交线的V投影即可。,例3圆锥被正垂面P和侧平面Q截切，已知其主视图，求作俯视图和左视图。,圆球的截交线总是圆。 由于截平面相对于投影面的位置不同，截交线的投影可能是圆
7、、椭圆或直线。,3.2.4 圆球的截交线,两个侧平面截切圆球，交线在左视图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。,例2 已知上部开有通槽的半圆球的主视图，求其俯视图和左视图。,水平面截切圆球，交线在俯视图上为部分圆弧，在左视图上积聚为直线。,3.2.5 综合举例,首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。,保留动画,例1已知立体的俯、左视图，完成其主视图。,3.3.1 概述 相贯线的主要性质：,其作图实质是找出相贯的两立体表面的若干共有点的投影。,1) 共有性 相贯线是两立体表面的共有线。,2) 分界性 相贯线两立体表面的分界线
8、。,3) 封闭性 相贯线一般是封闭的空间曲线，特殊情况下为不封闭或平面曲线或直线。,3.3 回转体的相贯线,两立体相交可分为,1) 两平面立体相交：可归结为求两平面的交线问题，或求棱线与平面的交点问题。,2) 平面立体与曲面立体相交：可归结为求平面与曲面立体截交线问题。,本节主要介绍此问题,3) 曲面立体相贯线：,3.3.2 轴线正交的两圆柱体的相贯线,3.3.2.1轴线垂直相交的两圆柱，试求其相贯线。,相贯线的侧面投影积聚在水平大圆柱侧面投影上，即为圆的一部分。,空间及投影分析： 相贯线的水平投影与直立小圆柱的水平投影重合，是一个圆。,求相贯线的投影：,利用积聚性，采用表面取点法。,1. 找
9、全特殊点；,2. 补充一般点；,3. 判别可见性、光滑连接；,4. 补全轮廓线。,3.3.2.2圆柱与圆锥相贯,例3.12求圆柱与圆锥的相贯线。,a) 求特殊点,b）求一般点，连线，整理,图3.16 圆柱与圆锥相贯举例,曲面立体相贯的三种基本形式,2.外表面与内表面相交,1.两外表面相交,3.两内表面相交,以下分别是圆柱外表面与圆柱内表面相贯、圆柱内表面与圆柱内表面相贯的情况。,以下分别是圆柱外表面与圆柱内表面相贯、圆柱内表面与圆柱内表面相贯的情况。,圆柱、圆锥相贯线变化规律,当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。,动画一,动画二,特例：轴线正交的两等径圆柱体相贯相贯线为椭圆,1.蒙日定理:若两
10、个二次曲面共切于第三个二次曲面，则两曲面的相贯线为平面曲线（椭圆）。,3.3.4 相贯线的特殊情况,相贯线,相贯线,相贯线,2.具有公共回转轴的两回转体相贯 相贯线为垂直于公共回转轴线的圆,图3.17 具有公共回转轴的两回转体相贯,图3.18 轴线相互平行的两圆柱相贯及共锥顶的两圆锥相贯,3.轴线相互平行的两圆柱相贯相贯线为直线 4.共锥顶的两圆锥相贯相贯线为直线,例3.13：补全主视图, 外形交线, 两外表面相贯, 一内表面和一外表面相贯, 内形交线, 两内表面相贯, 形体分析,例3.13：补全主视图,无轮是两外表面相贯，还是一内表面和一外表面相贯，或者两内表面相贯，求相贯线的方法和思路是一样的。,小 结：,1,2,3,例3.14：补全主视图,这是一个多体相贯的例子，首先分析它是由哪些基本体组成的，这些基本体是如何相贯的，然后分别进行相贯线的分析与作图。,由哪些立体组成呢？,哪两个立体相贯？,与,与,2与3,例3.14：补全主视图,作图时要抓住一个关键点，相贯线汇交于这一点。,例3.15：补画左视图。,实体1,视图,实体2,例3.16：求俯视图,例3.16：求俯视图,例3.17补全如下图所示的形体的正面投影,形体分析,外形相贯线,内形相贯线,三维实体,返 回,单击图形区或此处可观看三维动画,
