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1、 微积分（上）微积分（上） 试卷试卷 A A 第第 1 1 页页 共共 6 6 页页诚信应考诚信应考,考试作弊将带来严重后果！考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试华南理工大学期末考试 微积分（上）微积分（上） 试卷试卷 A A（试卷号：（试卷号：2013.1.10 时间时间 120 分钟，总分分钟，总分 100）注意事项：注意事项：1.1. 考前请将密封线内填写清楚；考前请将密封线内填写清楚；2.2. 所有答案请直接答在试卷上所有答案请直接答在试卷上( ( 密封线装订区内、草稿纸上答题均无效密封线装订区内、草稿纸上答题均无效) )；3 3考试形式：闭卷；考试形式：闭卷；4.4. 本试卷
2、共本试卷共 五五 大题，满分大题，满分 100100 分，分， 考试时间考试时间 120120 分钟分钟。 题题 号号一一二二三三四四五五总分总分 得得 分分 评卷人评卷人 一、填空题（每小题 4 分，20 分）1写出数列以常数为极限的定义： 对所有，存在，当 nxaN00N 时有nNnxa2设，则 8 112ff 22011lim xfxf x3方程确定了隐函数，则1yyxe yy xdy 1yyedxxe4设，且，则 f x 310x f t dtx 7f1 125.2 20114x dx2二、计算下列各题（每小题 5 分，共 15 分）6、设数列满足：，且。证明：存在，并 nx10x1s
3、in1,2,nnxxnlimnnx 求出此极限解 因为，所以，设，则10x210sin12xx 01,1kxk由数学归纳法得，从而数列有界；10sin1kkxx01,1nxn nx_ _ 姓名 学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 ) 密封线 线 微积分（上）微积分（上） 试卷试卷 A A 第第 2 2 页页 共共 6 6 页页又，从而数列是一个单调减少的有界数列。根据单调有界1sin0nnnnxxxx nx准则存在，设。则，即，得limnnx limnnxl 1limlimsinlimnnnnnnxxxlsinll，即0l lim0nnx 7、求极限 22011limsi
4、nxxx解 原式（等价无穷小替换）222222400sinsinlimlimsinxxxxxx xxx3330000sinsinsinsinsinlimlimlim2lim xxxxxxxxxxxxxx xxxxx32000sincos1sin12lim2lim2lim363xxxxxxx xxx 8、求极限222lim 12nnnnnnnn 解 2222221111limlim 1212111nnnnn nnnnnn nnn 1122 1001111111lim121211nnkdxnxxk n三、 解答下列各题（每小题 5 分，共 20 分）9、已知，求3 22sin 3xyxx x dy
5、 dx解 211lnln2ln3lnlnsin36yxxxx从而211111cos23263sinyxxyxxxx322112cotsin32333xxyxxxxxxx10、设，求 2sin cosf xxxx 20130y 微积分（上）微积分（上） 试卷试卷 A A 第第 3 3 页页 共共 6 6 页页解 ，由莱布尼茨公式 21sin22f xxx 2013201220112013212013 2012sin22013 2sin22sin222fxxxxxx 201120132011002013 20122013 201220110sin22sin 2222xxfxx20112010201
6、02013 2012112sin 503 22013 2012 2sin2013 2012 2222 11、设由参数方程确定，求 yy x2ln 1arctanxxytt dy dx解 ，从而222221,1111dxtdyt dttdttt 2221 122dy dytttdtdxdxtt dt12、写出带有拉格朗日型余项的阶麦克劳林公式 xf xxen解 1,12xxxxxxfxexex efxex ex e从而发现， nxfxnx e 11nxxxfxenx enx e ， 00,01,02,0nffffn由公式得 2100001!2!1 !nn nnfffff xfxxxxnn在 0
7、与之间。 3 2111,2!1 !1 !xnnnxxexxxe xnn x四、 计算下列各题（每小题 5 分，共 10 分）13、计算1 1 cosdxx解 2 2211 cos1 coscsccsc cot1 cos1 cossinxxdxdxdxxxx dxxxxcotcscxxc 14、 2arctan1xxdx x解 令，tan ,arctanxt tx 微积分（上）微积分（上） 试卷试卷 A A 第第 4 4 页页 共共 6 6 页页则222arctantansectan secsec 11tanxxttdxtdttttdttdt xt ，由辅助三角形secsecsecln sect
8、antttdtttttc2sec1tx原式221arctanln1xxxxc五、解答下列各题（每小题 5 分，共 15 分）15、设在连续，且。证明 f x, ,0f xf xx 0f x dx证 分段积分 00f x dxf x dxf x dx对进行换元，令，则时，时 0 f x dxxt,dxdt x 0t ,0xtx ，t从而，由已知，即 00f x dxft dt ,0f xf xx ，进而 ,0,f tf tt 000f x dxf t dtf x dx 因此 00000f x dxf x dxf x dxf x dxf x dx 16、计算ln201xedx解 令，则时，时；1x
9、te2 22ln1 ,ln21txtdxdt xt1t 0x 0t 则ln2111220 000211212arctan2 121142xtedxtdtdttttt17、判别广义积分的敛散性1ln11eexdxx解 为瑕点，1x 1111ln1ln1ln1 111eeeexxxdxdxdxxxx 22200111ln1ln111limln1limln1ln1122eeexxdxdxxexx 微积分（上）微积分（上） 试卷试卷 A A 第第 5 5 页页 共共 6 6 页页从而发散，因此原式发散1ln11exdxx六、解答下列各题（每小题 5 分，共 10 分）18、求由和所围成的平面图形绕轴旋
10、转一周所得的旋转体的体1,ln3xyex0y x积解 交点为，交点为，交1,ln3xyexln3,21,0xyey0,00,ln3yx点为，分清边界曲线的上下左右，作图（略）ln3,0ln3ln3ln3222000112122xxxxxVedxeedxeex2ln3ln300ln91113932ln3202 36ln3ln3222222eeeee 19、求双扭线在圆内部的图形的面积。22cos2ra2 22 2axy解 由转化公式，得圆的极坐标方程为，从cos ,sinxryr2 22 2axy2 2 2ar 而双扭线与圆的交点处22cos2ra2 2 2ar ，交点关于极轴对称，2 21co
11、s2,cos2,2,2236aa 2 ,62a分析图形周期性、变化趋势与对称性，作图（略）从而看出264 20 6114cos2222aSdad 222246 0 63sin2sinsin162326aaaa七、证明题（每小题 5 分，共 10 分）20、设在上可微，且。试证：存在，使 f x0,1 1 2012fxf x dx0,1 0ff 微积分（上）微积分（上） 试卷试卷 A A 第第 6 6 页页 共共 6 6 页页证 由积分中值定理， 1 2011220,0,22xf x dxff从而 也形成了一个区间。 111,1fff令，由已知，在区间上连续，在内可导，又 F xxf x F x,1,1， 1FF由罗尔定理，得存在存在，使，即 ,10,1 0F 0ff21、设函数在闭区间上连续，证明：在闭区间上存在原函数 f x, a b f x, a b证 由于函数在闭区间上连续，可设 f x, a b ,xaxf x dx xa b由于
