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1、第四单元 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式,数学必修4,4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义,（第一课时）,导入新课,前面我们把角的范围推广了，锐角三角函数的定义还能适用吗？譬如三角形内角和为180,那么sin200的值还是三角形中的200的对边与斜边的比值吗？类比角的概念的推广，怎样修正三角函数定义呢？,新知探究,（2）阅读课本，理解什么是单位圆。,（3）将锐角 放到直角坐标系中，其正弦、余弦函数又是怎样的呢？,（4）类比初中三角函数的定义，利用单位圆可否把锐角三角函数推广到任意角的三角函数呢？,（5）当角 的终边分别在第一、第二、第三、第四象限时，角的正弦、余弦函数值的正负号分别是什
2、么呢？,新知探究,我们学习角的概念的推广和弧度制，就是为了学习三角函数。在初中，我们学习了锐角 的正弦函数值： ，把角放到平面直角坐标系中，我们来看看会是什么情况呢？,新知探究,图1,如图1在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆，给定一个锐角 ，使角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点 则点P的纵坐标v是角 的正弦函数值,横坐标u是角 的余弦函数值,即 （锐角的正弦函数）。,o,新知探究,由图1可知，当 时， 当 时， 。这样就得到定义在 上的角 的正弦函数 和余弦函数,以上定义不能包含所有的角，但是，我们可以仿照锐角正弦函数的定义，你认为该如
3、何定义任意角的正弦函数？,图1,o,一般地，如图2所示，在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角 ，使角 的顶点与原点重合，始边与 轴正半轴重合，终边与单位圆交点于点 那么点P的纵坐标 叫作角 的正弦函数，记作 点P的横坐标u叫作角 的余弦函数，记作,通常我们用 表示自变量，即 表示角的大小，用 表示函数值。这样，我们就定义了任意角的三角函数 和 它们的定义域为全体实数，值域为 。,任意角的正弦函数.gsp,任意角余弦函数的定义,-单位圆定义法,新知探究,观察图3，探究当角的终边分别在第一、第二、第三、第四象限时，角的正弦、余弦函数值的正负号的情况。并记忆自己的探究所得。将自己的思考探究结果先填
4、入下表，然后再填入直角坐标系的各个象限中，以便于加强记忆，灵活运用。,单位圆1手动画,归纳总结,正弦、余弦函数的定义告诉我们，三角函数在各象限内的符号，取决于 的符号，当点P在第一、二象限时，纵坐标 0；点P在第三、四象限时，纵坐标0。所以，正弦函数值对于第一、二象限角是正的，对于第三、四象限角是负的。 同样地，余弦函数值在第一、四象限是正的，在第二、三象限是负的。,任意角的正弦函数.gsp,余弦函数的定义,回8填图表,我们来分析三角函数定义中的自变量是什么，对应关系有什么特点，函数值是什么？特别注意 既表示一个角，又表示一个实数（弧度数）。“它的终边与单位圆交于点 ”包含两个对应关系。从而可
5、以把三角函数看成是自变量为实数的函数。特别指出的是：正弦、余弦函数都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，因此 不是 与 的乘积，而是一个比值；三角函数的记号是一个整体，离开自变量的“ ”“ ”是没有意义的。利用坐标平面内点的坐标的特征我们还可得到定义域，对于正弦函数 ，因为 恒有意义，即 取任意实数， 恒有意义，也就是说 恒有意义，所以正弦函数的定义域是R；类似地可写出余弦函数的定义域也是R。,例1在直角坐标系的单位圆中，,（1）画出角 ；,（2）求出角 的终边与单位圆的交点坐标；,解：,（1）如图6，以原点为角的顶点，以 轴正半轴为始边，顺时针旋转 ，与单位圆交于点P， 即为所求作的角。,
6、应用示例,1,图6,解：,应用示例,点评：本例的目的是要熟悉角与单位圆的关系，巩固并加深理解任意角的正弦、余弦函数的定义以及利用单位圆解题，熟悉并善于利用数形结合的思想解题。,（2）求出角 的终边与单位圆的交点坐标；,（3）求出角 的正弦、余弦函数值。,（3）根据任意角的三角函数定义，易得,（2）由于 点P在第四象限， 所以点P的坐标为,变式训练,1. 求 的正弦、余弦值。,解：,在平面直角坐标系中，作 如图7。 易知的终边与单位圆的交点坐标为所以,例2如图8角 终边与单位圆交于 , 为 终边上不同于P的任意一点，试用 表示 的正弦和余弦。,解：过 分别作 轴于 轴于 ， 则设 设,即 同理,
7、此为正，余弦函数的“终边定义法”,应用示例,变式训练,解：设角 终边上一点P的坐标 ， 则,（1）当 0时 ，,（2）当 0时，,2.已知角 终边在直线 上，求,应用示例,证明：我们证明如果式都成立，那么 为第三象限角。 因为 成立，所以 角的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于 轴的非正半轴上。又因为式 成立，所以 角的终边可能位于第二或第三象限或 轴的非正半轴上。 因为式都成立，所以 角的终边只能位于第三象限。 于是角 为第三象限角。,反过来请同学们自己证明。,应用示例,点评：本例的目的是认识不同位置的角对应的三角函数值的符号，其条件以一个不等式出现，在教学时我们要把问题的条件、结论弄清楚，然后再给出证明。这一问题的解决可以训练我们的数学语言表达能力。,课本P16练习T2,3,4,5,知能训练,本节课我们给出了任意三角函数的定义，并且讨论了正弦、余弦函数的定义域。任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展，是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标的比，记忆方法可用锐角三角函数类比记忆。我们还讨论了三角函数在各象限内的符号，它的作用是：确定函数值的符号，这个内容是我们日后学习的基础，经常要用，请同学们熟记。,课堂小结,思考题：填课本P15动手实践 表1-5并探究表中数据变化特点,课本P20习题14 A组13。,作业,谢谢大家！,
