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1、Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,研究数据处理的目的恰当地处理测量所得的数据，可以最大限度地 减少测量误差的影响，给出一个尽可能精确的结 果，并对这一结果的精确程度作出评价。 本部分主要讨论几个基本的数据处理方法，它们分别用来解决 不同的数据处理问题。,1 算术平均值原理2 加权算术平均值原理3 测量数据的修正4 实用谐波分析法 5 异常数据的剔除,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,1 算术平均值原理 使用范围对同一量进行多次
2、等精度重复测量而得到的数 据的处理。所谓“等精度”是指各次测量的标准差 相同，而并非指各测量数据具有相同的误差。事实上，各测量数据的误差 并不相同。 优点测量的随机误差的影响是最小。,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,局限性 1 算术平均值仍为随机变量，它不可能完全排除 随机误差的影响，只是减小这一影响。 2 由于系统误差不具有随机抵偿性，算术平均值 原理的功效只是减小随机误差的影响。在一般情 况下，不能指望通过取算术平均值减小系统误差 的影响。 3 算术平均值原理在提高精度的效果上是有限的.,Harbin Institute
3、of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,一、算术平均值原理 若对某个量X 进行n 次等精度重复测量( 各次测量的标准差 相同)，得到n 个测量数据，则被测量X 的最佳估计量 应为 全部测量数据的算术平均值。即,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,等精度的多次重复测量结果xi 的算术平均 值 作为被测量X 的估计量 ，具有一致性、 无偏性和最优性。 (1)一致性(概率极限) 设测量数据xi 的测量误差为 ，应有 即 故,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数
4、据处理方法,式中: 为算术平均值 的误差若测量误差 为服从正态分布的随机误差， 则其数学期望为零，即 当测量次数足够多时，有,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,即可见，以算术平均值 作为X 的估计量具有 一致性。 (2)无偏性(数学期望) 算术平均值的误差 是各测量误差 的线性和，因而 也是正态分布的随机变量，且具有对称性，数学期望为零。,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,即因此可见， 是X 的无偏估计(即 的波动中心是 X )。,Harbin Institute
5、 of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,(3)最优性 可以证明，当测量误差服从正态分布时，算 术平均值的方差恰好达到估计量的方差下界， 即 式中: 测量数据的标准差；正态分布的概率密度。,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,因此,算术平均值 是被测量X 的最佳估计量. 一般来说，无论测量误差具有何种分布，只要具有对称性，其数学期望就为零，以算术平均值作为被测量的估计量就具有最优性。这是随机误差抵偿性的必然结果，按算术平均值原理处理等精度重复测量数据可充分利用这一抵偿性，从而使随机误差对最终结果的影响减小
6、到最低限度。 随机误差抵偿性是算术平均值原理的基础。,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,二、等精度测量数据的残差及其性质 1 残差的定义 通常，被测量的真值是未知的，由测量误差 定义获得的真误差也是未知的，因而无法用测 量的真误差对测量的精度作出估计。 考虑到算术平均值 接近于被测量X，定义为测量数据xi 的残差(剩余误差)。,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,更一般地，残差的定义可推广为式中， 为X 的估计量，可由包括算术平均值 原理在内的某一方法给出。 2 残
7、差的应用 由于残差易于获得，所以它广泛地应用于精度 估计、粗差的判断及某些系统误差的判别规则 中。,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,2 残差的性质(由算术平均值给出的等精度测量 数据的残差 ) (1)残差的代数和为零，即 这一性质常用于检验所计算的算术平均值和残 差有无差错。 (2)残差的平方和最小，即 测量结果与其他量之差的平方和都比残差平方 和大，这一性质与最小二乘法一致。,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,三、算术平均值的标准差 算术平均值仍含有一定的随机
8、误差。为评定这一随机误差的影响，应使用相应的标准差或不确定度。 设对X 进行n 次等精度重复测量，得测量数据 ，将各数据 视为独立的随机变量(而不是具体的数值)，则算术平均值的方差为,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,即因为是等精度测量，即 ， 故 即,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,算术平均值的标准差则为式中,测量标准差 可按用残差估计标准差的 贝塞尔(Bessel)公式估计,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中
9、的数据处理方法,由于测量的标准差为估计量s，故公式 应写为 上式表明，算术平均值的标准差为测量数据 标准差的 。因此，测量次数n 越大，所 得算术平均值的标准差就越小，其可靠程度就 越高。,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,靠增加测量次数n 来给出更高精度的结果是有一定限度的。这是因为： (1)算术平均值的标准差 与测量次数的平方根成反比。如图 1所示，随着n 的增加， 的减小速度下降。当n 较大时(如n20)，靠进一步增大n 来减小 ，其效果并不明显。,Harbin Institute of Technology,第四章 一般
10、测量问题中的数据处理方法,(2)测量次数n 过大，不仅经济上耗费大，而且测量时间增长，易于因测量条件变化而引入新的误差。 (3)当随机误差远远小于系统误差时，进步增大n 已无实际意义，应从减小系统误差着手进一步提高测量结果的精度。 因此，测量次数的规定要适当，应顾及到实际效果，一般取n10。在较高精度测量中，若以随机误差为主，并且测量条件较好，则测量次数可大些。,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,算术平均值的精度也可用扩展不确定度来表示，即 式中k 为置信系数。对于正态分布，常取k=3。,Harbin Institute of
11、Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,四、算术平均值的简便算法 设对被测量X 进行n 次等精度的重复测量，得测量数据 ，为简化算术平均值的计算，任选一接近测量数据 的数值 ，相减得 则有,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,故即算术平均值可表示为 与 的算术平均值之和。应注意 值的选取应使 的值尽可能小，并且便于计算。,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,例 1 已知测量的标准差为s=8mg，欲使最终结果的标准差小于5mg，问需要重复测量多少次?
12、 解 由题意，算术平均值的标准差 5mg，由式( 11) ，可得 所以，至少需测量3次。,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,例 2 对某量进行8次连续测量，所得结果如下(单位略)：39.285，39.288，39.282，39.286，39.284，39.286，39.287，39.285。试计算其算术平均值。 解 (1)按定义直接计算=(39.285+39.288+39.282+39.286+39.284 +39.286+39.287+39.285)=39.2854,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,(2)按简便算法计算，取x0=39.285，则=39.285+ 10-3(0+3-3+l-1+1+2+0)=39.2854,Harbin Institute of Technology,第四章 一般测量问题中的数据处理方法,例 3 对某圆柱体外径尺寸连续测量10次，所得结果如下(单位mm)：3.985，3.986，3.988，3.986，3.984，3.982，3.987，3.985，3.989，3.986，求最佳结果及其精度(不考虑系统误差)。 解 测量结果的最佳估计量应为算术平均值。按简便算法，取d0=3.985mm，列表计算(见表 1)，得,
