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1、第十七章 拉格朗日方程,动力学普遍方程 拉格朗日方程,引 言,本章是将达朗伯原理和虚位移原理结合起来推导出动力学普遍方程和拉格朗日方程。动力学普遍方程中系统的运动是直角坐标来描述的，而拉格朗日方程是用广义坐标来描述系统的运动，两者都是用来解决非自由质点系的动力学问题，它是用分析的方法解决动力学问题的出发点，因此它是分析力学的基础。对于解决复杂的非自由质点系的动力学问题，应用拉格朗日方程往往要比用动力学普遍方程简便得多。,拉格朗日方程,设由n个质点组成的质点系，由达朗伯原理知，在质点系运动的任一瞬时，任一质点 上作用的主动力 ，约束反力 及其惯性力 三者构成形式上的平衡力系，即,对该质点系应用虚
2、位移原理，为此，取质点系的任何一组虚位移 ，则得,拉格朗日方程,17-1 动力学普遍方程,即,将上式写成解析式，则有,设该质点受的是理想约束，则有,故,拉格朗日方程,以上两式是由达朗伯原理和虚位移原理相结合而得到的结果，称为动力学普遍方程，也称达朗伯拉格朗日方程。动力学普遍方程可以叙述如下：在理想约束条件下，在任一瞬时作用在质点系上所有的主动力和虚加的惯性力，在该瞬时质点系所处位置的任何虚位移上的元功之和等于零。,拉格朗日方程,动力学普遍方程 主要应用于求解动力学第二类问 题，即：已知主动力求系统的运动规律。, 应用 动力学普遍方程 求解系统运动规律时，重要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性
3、力。, 由于 动力学普遍方程 中不包含约束力，因此，不需要解除约束，也不需要将系统拆开。, 应用 动力学普遍方程 ，需要正确分析主动力和惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。,动力学普遍方程的应用,拉格朗日方程,例 题 1,解：1、分析运动，施加惯性力,2、本系统有一个自由度， 令其有一虚位移 。,3、应用动力学普遍方程,其中：,例 题 2,离心调速器,已知：,m1球A、B 的质量； m2重锤C 的质量； l杆件的长度； O1 y1轴的旋转角速度。,求：, 的关系。,解： 不考虑摩擦力，这一系统的约束为理想约束；系统具有一个自由度。取广义坐标 q = ,1、分析运动、确定惯性力,2、令系
4、统有一虚位移。A、B、C 三处的虚位移分别为rA、rB、 rC 。,3、应用动力学普遍方程,根据几何关系，有,3、应用动力学普遍方程,求：1、三棱柱后退的加速度a1；2、圆轮质心C2相对于三棱柱加速度ar。,解：1、分析运动,三棱柱作平动，加速度为 a1。,圆轮作平面运动，质心的牵连加速度为ae= a1 ；质心的相对加速度为ar；圆轮的角加速度为2。,解：2、施加惯性力,3、确定虚位移,考察三棱柱和圆盘组成的 系统，系统具有两个自由度。,第一组,第二组,二自由度系统具有两组虚位移：,解：4、应用动力学普遍方程,令：,解：4、应用动力学普遍方程,令：,解：5、求解联立方程,例4 图示滑轮系统中，
5、动滑轮上悬挂着重为 的重物，绳子绕过定滑轮后，挂着重为 的重物，设滑轮和绳子的重量不计，求重为 的重物下降的加速度。,解：以系统为研究对象，系统具有理想约束，系统所受的主动为 、 ，假想加上惯性力 、 。,其中,给系统以虚位移 和 ，由动力学普遍方程，得,由运动学关系,代入上式得,例5 有两个半径皆为r的轮子，中心用连杆相连，在倾角为 的斜面上作纯滚动，如图。设轮重皆为P，对轮心的转动惯量皆为J，连杆重量为Q，求连杆运动的加速度。,解：以系统为研究对象，系统具有理想约束，系统所受的主动力有它们的重力。假想加上惯性力，如图。,其中,给连杆以平行斜面移动的虚位移 ，则轮子有相应的转动虚位移 ，根据
6、动力学普遍方程,即,例6 均质圆柱体A和B质量均为m ，半径均为R。圆柱A可绕固定轴O转动。一绳绕在圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上。求B下落时，质心C点的加速度。摩擦不计。,解：以系统为研究对象，系统所受的主动力有圆柱的重力。设两轮的角加速度为 、 ，轮B质心的加速度为 。假想加上惯性力，如图。,其中,此系统具有两个自由度，取轮A、轮B的转角 、 为广义坐标。给系统一组虚位移，如图。,由动力学普遍方程得,将惯性力及（1）式代入上式，得,由于虚位移 、 相互独立，要使上式成立，则有,由运动学关系，有,联立求解（2）（3）（4）式，得,18-2 拉格朗日(Lagrange)方程,主 动 力,虚
7、位 移,广义坐标,第i个质 点的位矢,由动力学普遍方程，得,Qk广义力,拉格朗日方程,拉格朗日方程,拉格朗日方程,对任意一个广义坐标 qj 求偏导数,如果将位矢对任意一个广义坐标 qj 求偏导数，再对时间求 导数，则得到,第二个拉格朗日关系式,拉格朗日方程,拉格朗日方程,拉格朗日方程,此即拉格朗日方程，或称为第二类拉格朗日方程。,如果作用在系统上的主动力都是有势力，根据有势力的广 义主动力,拉格朗日方程,引入拉格朗日函数,LTV,得到主动力为有势力的拉格朗日方程,拉格朗日方程,T是动能，V是势能,对于具有完整约束、自由度为 N 的系统，可以得到 由 N 个拉格朗日方程组成的方程组。,应用拉格朗
8、日方程，一般应遵循以下步骤：, 首先，要判断约束性质是否完整、主动力是否有势， 决定采用哪一种形式的拉格朗日方程。, 其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。, 按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广 义力。, 将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。,拉格朗日方程的应用,拉格朗日方程,例7 在水平面内运动的行星齿轮机构如图。已知动齿轮半径为r，重为P，可视为均质圆盘；曲柄OA重Q，可视为均质杆；定齿轮半径为R。今在曲柄上作用一不变的力偶，其矩为M，使机构运动。求曲柄的运动方程。,解：以整个系统为研究对象，系统具有一个自由度，取曲柄转角 为广义坐标。,由运动学关系知，动齿轮
9、的角速度 与曲柄的角速度 的关系为,则系统的动能为,拉格朗日方程,给曲柄以虚位移 ，则对应的广义力为,求诸导数,拉格朗日方程,即,积分得曲柄的运动方程为,式中， 、 分别为初始转角和初始角速度。,拉格朗日方程,解：以系统为研究对象，系统具有一个自由度。取 x 为广义坐标，x 从重物的平衡位置量起。系统的动能为,拉格朗日方程,例8 如图轮A的质量为 ，在水平面上只滚动不滑动，定滑轮B的质量为 ，两轮均为均质圆盘，半径均为R，重物C的质量为 ，弹簧的弹性系数为 ，试求系统的运动微分方程。,以系统平衡位置为弹力及重物C的零势能位置，则系统的势能为,设系统平衡时弹簧的静伸长为 ，则有关系式,即,拉格朗
10、日方程,利用前面的关系，整理得,则拉格朗日函数为,代入保守系统的拉格朗日方程 得,即为系统的运动微分方程。,拉格朗日方程,例9 如图，均质圆轮的质量为 ，半径为R，在水平面上只滚动不滑动。杆长L质量为 与轮在圆心A铰接，试求系统的运动微分方程。,系统的动能为,整理后得,解：以系统为研究对象，系统具有两个自由度。取 x 和 为广义坐标。,拉格朗日方程,系统的广义力为,拉格朗日方程,（1）、（2）即为系统的运动微分方程。,拉格朗日方程,例10 如图轮为均质圆盘，质量为 ，半径为R，轮心O及重物A只能沿铅直方向运动，重物A的质量为 ，弹簧刚性系数为 ，原长为 。试求系统的运动微分方程。,系统的动能为
11、,系统的广义力为,解：以系统为研究对象，系统具两个自由度。取 x 和 为广义坐标。,拉格朗日方程,（2）,（1）、（2）即为系统的运动微分方程。,拉格朗日方程,例11 如图，物体A的质量为 ，B轮质量为 ，半径为R，在水平面上只滚动不滑动，物体A与水平面无摩擦，弹簧刚性系数为 ，试求系统的运动微分方程。,解：以系统为研究对象，系统具两个自由度。选取 、 为广义坐标。,系统的动能为,系统的广义力为:,拉格朗日方程,（1）,（2）,（1）、（2）即为系统的运动微分方程。,拉格朗日方程,例12 实心均质圆柱A和质量分布与边缘的空心圆柱B，质量分别为 、 ，半径均为R，两者用通过定滑轮的绳索相连，如图
12、。设圆柱A沿水平面作纯滚动，滚动摩擦不计，圆柱B铅直下降。试求两圆柱的角加速度和质心的加速度。,解：以系统为研究对象，系统具两个自由度。选取 、 为广义坐标。,系统的动能为：,拉格朗日方程,系统所受主动力只有重力，且皆为有势力。取过圆柱的水平面为零势面，则系统的势能为,拉格朗日方程,故拉格朗日函数为,求诸导数,拉格朗日方程,（1）,（2）,拉格朗日方程,联立求解方程（1）、（2）得,于是角加速度为,拉格朗日方程,例13 质量为 的金属板放置在光滑水平面上，板上有半径为 r 、 质量为 的均质圆柱，圆柱在板上作纯滚动而不滑动，今有一水平常力 拉动金属板，试求圆柱纯滚的角加速度和金属板的加速度。,
13、解：以系统为研究对象，系统具两个自由度。选取 、 为广义坐标。,系统的动能为,拉格朗日方程,系统的广义力为,求诸导数,拉格朗日方程,（1）,（2）,解得,拉格朗日方程,结论与讨论, 达朗贝尔原理、虚位移原理与拉格朗日方程,拉格朗日方程, 达朗贝尔原理在形式上将质点系动力学问题化为静力学平衡问题。, 虚位移原理给出了质点系平衡的充分与必要条件。, 通过达朗贝尔原理可以将虚位移原理推广 应用于质点系的动力学问题，得到达朗贝尔 拉格朗日方程，即第一类拉格朗日方程，又称为动力学普遍方程，用于求解具有理想约束的非自由质点系的动力学第二类问题，即已知主动力求运动。,结论与讨论,拉格朗日方程, 第一类拉格朗日方程，即达朗贝尔拉格朗日方程，又称为动力学普遍方程。,达朗贝尔拉格朗日方程适用于具有理想约束或 双面约束的系统。,达朗贝尔拉格朗日方程既适用于具有定常约束 的系统，也适用于具有非定常约束的系统。,达朗贝尔拉格朗日方程既适用于具有完整约束 的系统，也适用于具有非完整约束的系统。,达朗贝尔拉格朗日方程既适用于具有有势力的 系统，也适用于具有无势力的系统。,结论与讨论,拉格朗日方程, 第二类拉格朗日方程:仅用动能、势能以及广义主动力等少数几个标量便可描述复杂质点系的运动。但只能用于具有完整约束的系统。,基本形式,主动力有势形式,结论与讨论,拉格朗日方程,本章结束,拉格朗日方程,
