统计学原理第08章第三、四节

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1、第八章 时间数列,教学目的与要求,理解时间数列的概念、种类的和作用,01,掌握时间数列动态分析指标的概念及计算,02,掌握时间数列的长期趋势、季节变化的测定,03,（一）发展速度 报告期水平与基期水平之比，用以说明现象报告期较基期水平的相对发展程度。,第三节 时间数列的速度分析指标,一、发展速度和增长速度,环比发展速度,定基发展速度,两种速度之间的重要关系：各环比发展速度的连乘积等于相应时期的定基发展速度；相邻两个定基发展速度之商等于相应的环比发展速度。,主要有：发展速度、增长速度、平均发展速度、平均增长速度,定基发展速度等于相应的各环比发展速度的连乘积,相邻两个定基发展速度的商等于相应时期的

2、环比发展速度,环比发展速度与定基发展速度的关系,年距发展速度：,年距发展速度消除了季节变动的影响，表明本期水平相对于上年同期水平发展变化的方向与程度，是实际统计分析中经常使用的指标。,1、概念：增长速度是报告期增长量与基期水平之比，表明报告期水平比基期水平增长（或降低）了百分之几或若干倍。 2、增长速度计算公式为：,（二）增长速度,增长速度为正，表示报告期比基期增 长增长速度为负，表示报告期比基期降低, 环比增长速度的连乘积并不等于相应时期的定基增长速度,定基增长速度=定基发展速度 1,环比增长速度=环比发展速度 1,应用速度指标时应注意的问题：,定基增长速度与环比增长速度不能象定基发展速度与

3、环比发展速度那样互相推算； 定基增长速度与环比增长速度之间的推算，必须通过定基发展速度和环比发展速度才能进行。,环比增长速度 环比发展速度 定基发展速度 定基增长速度,定基增长速度 定基发展速度 环比发展速度 环比增长速度,+1 连乘 -1,+1 相除 -1,例：某工厂几年来产量不断增长。已知1998年比1997年增长20%，1999年比1997年增长50%，2000年比1999年增长25%。试据此编制各年的环比增长速度数列以及以1997年为基期的定基增长速度数列。,（三）速度指标之间的关系,第三节 时间数列的速度分析指标,一、发展速度和增长速度,（一）平均发展速度 各期环比发展速度的平均，表

4、明现象在一段时期内逐期发展变化的平均程度。其值大于1，平均增减速度为正，称为平均递增率；其值小于1，平均增减速度为负，称为平均递减率。,第三节 时间数列的速度分析指标,二、平均发展速度和平均增长速度,（一）平均发展速度的计算方法 1.几何平均法 假设xi 为n个环比发展速度，有：定基发展速度常称为总速度（用R表示），则有：定基发展速度等于期末水平除以期初水平，则又有：,第三节 时间数列的速度分析指标,二、平均发展速度和平均增长速度,三个公式的实质是一致的，应视不同条件灵活运用。其中n都是指环比发展速度的个数，也即时间数列项数减1。,例：十六大报告指出：全面建设小康社会最主要的目标之一，是国内生

5、产总值2020年力争比2000年翻两番（2000年为89404亿元），那么年平均增长速度和年均增长额至少为多少才能达此目标？,第三节 时间数列的速度分析指标,例： 2000年末我国大陆总人口是12.6583 亿人，若2010年要将人口控制在13.6亿人以内，人口年均净增长率应控制在多少？ 如果我们能够把人口年均净增长率控制在7，2020年末我国大陆将有多少亿人？,第三节 时间数列的速度分析指标,可以看出，用几何平均法计算平均发展速度的特点：着眼于期末水平，不论中间水平变化过程怎样，只要期末水平确定，对平均发展速度的计算结果没有影响，所以几何平均法也称为“水平法”。,例：1982年末我国人口是1

6、0.15亿人，人口净增长率14.49，如果按此速度增长，2000年末将有多少亿人？若2000年要将人口控制在12亿人以内，人口年均净增长率应控制在多少？,（一）平均发展速度 2.方程式法要求满足的条件：各期计算水平的总和等于各期实际水平的总和。由于方程式法着眼于累计和，因此又称为“累计法”。,第三节 时间数列的速度分析指标,二、平均发展速度和平均增长速度,方程式法（累计法） 要求满足的条件是：从最初水平 出发，每期都按平均发展速度 发展,则各期计算水平 的总和应等于各期实际水平 的总和。,实际上，各期实际水平的总和为：用各期的环比发展速度和 表示各期实际水平 ，则上式可表示为：再用平均发展速度

7、替换各期的环比发展速度，则有：,等式两边都除以 后有：,解此高次方程所得的正根，就是按方程式法所求得的平均发展速度。由于方程式法着眼于各期水平累计和，因此又常将此法称为“累计法”。,水平法与累计法的侧重点不同：,应用平均速度指标应注意的问题：,（2）累计法：侧重于考察现象整个发展过程：按平均发展速度计算的各期水平之和等于实际的各期发展水平之和。,（1）水平法：侧重于考察现象最末一期水平：按平均发展速度计算的最末一期水平与实际的最末一期水平相等。,常用的动态指标,水平动态指标,1序时平均数,（平均发展水平指标）,计算公式,适用于时期总量指标和按日连续登记的时点指标数列。,说明,适用于不连续登记、

8、间隔相等的时点指标数列。,适用于不连续登记间隔不相等的时点指标数列。,分子 和分母 按各自数列的指标形式参照上述求序时平均数。,常用的动态指标,水平动态指标,2增长量,计算公式,逐期增长量。,说明,水平法 适用于多期增长量平稳变化的数列,总和法 适用于各期增长变化较大的数列。,累计增长量,3平均增长量,常用的动态指标,速度动态指标,1发展速度,计算公式,环比发展速度。,说明,水平法各环比发展速度的几何平均数。,定基发展速度,2平均发展速度,方程法可查平均发展速度查对表。,3（平均）增长速度（平均）发展速度100,第四节 时间数列变动分析,一、影响时间数列的主要因素,循环变动 用C表示,长期趋势

9、用T表示,季节变动 用S表示,不规则变动 用I表示,影响因素,1、长期趋势（T）：指现象在一段相当长的时间内所表现的沿着某一方向的持续发展变化，可以是不断增长，也可以是不断下降。,造成长期趋势的是一些缓慢发生作用的因素，如人口的增长、资本的积累、技术的进步、消费习惯的改变等。,2、季节变动（S）：一年内由于社会、政治、经济、自然因素影响，形成的以一定时期为周期的有规律的重复变动。,3、循环变动（C）：循环变动指以若干年为一定周期的有一定规律性的周期波动。,循环变动与长期趋势不同，它不是单一方向的持续变动，而是有涨有落的交替波动。,循环变动与季节变动也不同，循环变动的周期长短很不一致，不象季节变

10、动那样有明显的按月或按季的固定周期规律，通常较难识别。,4、不规则变动（I）：它指现象受众多偶然因素影响，而呈现的无规则的变动。,一、影响时间数列的主要因素,时间序列的组合模型 加法模型：Y= T+S+C+I变动因素相互独立 乘法模型：Y= TSCI变动因素之间存在着交互关系 加法模型中，各种影响因素是相互独立的，均为与Y同计量单位的绝对量。各因素的分解是根据减法进行。 乘法模型中，只有长期趋势是与Y同计量单位的绝对量；其余因素均为以长期趋势为基础的比率，通常以百分数表示。各因素的分解是根据除法进行。,二、长期趋势的测定,（一）时距扩大法 扩大时间数列指标所属的时间单位，再根据新的时间单位计算

11、相应的指标值，这样形成一个新的时间数列。这是测定长期趋势最原始、最简便的方法； （二）移动平均法 所谓移动平均，是选择一定的平均项数（常用k表示），采用逐项递移的方法对原时间序列计算一系列移动平均值，消除或削弱原序列中的不规则变动和其他变动，揭示出现象在较长时间内的基本发展趋势。,常用的方法有时距扩大法、移动平均法和数学模型法。,例：有某商店最近四年的皮鞋销售量数据如下：,3、扩大后的时距要一致，保持其可比性。,时距扩大法，运用时应注意：,1、只适用于时期数列；,2、扩大的时距应与社会经济现象本身的变化周期一致；,（二）移动平均法,它是按一定项数（N）求序时平均数，逐项移动，边移边求平均数。这

12、些序时平均数形成的新数列消除或削弱了原数列中的由于短期偶然因素引起的不规则变动和其他成分，对原数列的波动起到修匀作用，从而呈现出现象在较长时期的发展趋势。,例：下表为某客运站旅客运输量及移动平均的计算结果：,二、长期趋势的测定,（二）移动平均法 移动平均法的特点 移动平均对序列具有平滑修匀作用，平均项数（k）越大，对序列的平滑修匀作用越强 平均项数k为奇数，只需一次移动平均，其平均值所代表的时期即可与序列中的某一时期相对应；而平均项数k为偶数时，尚需再进行一次中心化或移正平均，其平均值所代表的时期才能与序列中的某一时期相对应。,二、长期趋势的测定,（二）移动平均法 移动平均法的特点 若序列中包

13、含周期变动，平均项数k必须与周期长度（或周期长度的倍数）一致，才能消除序列中的周期波动，揭示序列中的长期趋势。 移动平均后，平均值序列较原序列项数少，k越大，缺项越多。 k为奇数时，新序列首尾各少（k-1）/2项；k为偶数时，首尾各少k/2项。,二、长期趋势的测定,（三）趋势模型法利用数学中的某一种曲线形式对原序列中的趋势进行拟合，以消除其他变动，揭示序列长期趋势。广泛应用于对长期趋势进行外推预测。 1.趋势方程的选择趋势方程的选择可以通过两条途径： 一是以时间为横轴、指标值为纵轴画出散点图，然后根据对所研究想象的认识，选择合适的趋势方程。 二是根据时间数列的分析指标来确定是选择直线或抛物线。

14、,二、长期趋势的测定,（三）趋势模型法 2.未知参数的确定 指数曲线中参数的估计采取“线性化”手段将其化为对数直线形式， 根据最小二乘法，得到求解 loga、logb 的标准方程为：,最小平方法,用一定的数学模型,对原有的动态数列配合一条适当的趋势线来进行修匀。通过趋势线来描述动态数列的趋势变化，并进行预测。常用最小平方法。如果现象的发展，其逐期增长量大致相等，可配合直线趋势方程。,直线趋势方程为：,方程中：,yc 因变量，代表所研究现象的预测值,t 自变量，代表时间的序号,a、b为方程参数,、最小二乘法的中心思想：最理想的趋势线是最接近所有各散点的趋势线，即满足下列两点要求： （1）、原数列

15、与趋势线的离差平方和为最小；（2）、原数列与趋势线的离差总和为零。,、建立趋势方程的主要步骤：,（1）、选取合适的模型：,（2）、利用最小平方法估计模型的待定参数；,（3）、计算趋势变动测定值。,用最小平方法求解直线趋势方程参数 a、b：,现以某商店几年来销售额资料为例，介绍最小平方法的应用,Yc=171.07+10.41t,=10.41,=171.07,用最小平方法求解方程参数 a、b 的简化公式,如果让时间序号的合计数等于零，即t = 0 则求解 a、b 的公式可以简化为：,令t = 0 的方法为：,当动态数列为奇数项时，可令数列的中间一项为 原点，数列的前半部分序号从中间开始取负的1、 2、3、；数列的后半部分序号从中间开始取正 的1、2、3、。,例如,当动态数列为偶数项时，可令数列的中间两项的 中点为原点，数列的前半部分序号从中间开始取 负的1、3、5、7、；数列的后半部分序号从中 间开始取正的1、3、5、7、。,例如教材,例题：某商业企业历年销售额资料如下：单位：万元,要求：,根据资料配合销售额的直线趋势方程， 并预测2001年的销售额。,解题过程如下：,t,-1,-3,-5,-7,1,3,5,7,t2,49,25,9,