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1、第一章 最优化问题与凸分析基础,在日常生活中，无论做什么事情，总是有多种方案可供选择，并且可能出现多种不同的结果。我们在做这些事情的时候，总是自觉不自觉的选择一种最优方案，以期达到最优结果。这种追求最优方案以达到最优结果的学科就是最优化。寻求最优方案的方法就是最优化方法。这种方法的理论基础就是最优化理论，而凸分析又是最优化理论的基础之一。,1. 最优化问题,最优化问题：求一个一元函数或多元函数的极值。在微积分中，我们曾经接触过一些比较简单的极值问题。下面通过具体例子来看看什么是最优化问题。,1.1 最优化问题的例子,例1 对边长为a的正方形铁板，在四个角处剪去相等 的正方形以制成方形无盖水槽，
2、问如何剪法使水槽 的容积最大？ 解：设剪去的正方形边长为x，由题意易知，此问 题的数学模型为，,例2.（混合饲料配合）设每天需要混合饲料的批量为100磅，这份饲料必须含：至少0.8%而不超过1.2%的钙;至少22%的蛋白质;至多5%的粗纤维。假定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。这些配料的主要营养成分如下表所示。试以最低成本确定满足动物所需营养的最优混合饲料。,配料,每磅配料中的营养含量,钙,蛋白质,纤维,每磅成本（元）,石灰石 谷物 大豆粉,0.380 0.00 0.00 0.001 0.09 0.02 0.002 0.50 0.08,0.01640.04630.1250,解:根据前面介绍的
3、建模要素得出此问题的数学模型如下: 设 是生产100磅混合饲料所须的石灰石、谷物、大豆粉的量（磅）。,1.2最优化问题的数学模型,一般形式向量形式其中,目标函数,不等式约束,等式约束,称满足所有约束条件的向量 为可行解，或可行点，全体可行点的集合称为可行集，记为 。,若 是连续函数，则 是闭集。,在可行集中找一点 ，使目标函数 在该点取最小值，即满足： 的过程即为最优化的求解过程。称为问题的最优点或最优解， 称为最优值。,定义1：整体（全局）最优解：若 ，对于一切 ，恒有 则称 是最优化问题的整体最优解。定义2：局部最优解：若 ，存在某邻域 ，使得对于一切 ，恒有 则称 是最优化问题的局部最优
4、解。其中严格最优解：当 ，有 则称 为问题的严格最优解。,f(X),局部最优解,整体最优解,1.3 最优化问题的分类,与时间的关系：静态问题，动态问题是否有约束条件：有约束问题，无约束问题函数类型：线性规划，非线性规划,2、梯度与Hesse矩阵,2.1 等高线 二维问题的目标函数 表示三维空间中的 曲面。在空间直角坐标系中，平面与曲面的交线在 平面上的投影曲线为取不同的值得到不同的投影曲线。每一条投影曲线 对应一个值，所以我们称此投影曲线为目标函数的 等值线或等高线。,当常数取不同的值时，重复上面的讨论，在平面上得到一族曲线等高线.等高线的形状完全由曲面的形状所决定；反之，由等高线的形状也可以
5、推测出曲面的形状,例 在坐标平面 上画出目标函数 的等高线解:因为当目标函数取常数时，曲线表示是以原点为圆心，半径为的圆因此等高线是一族以原点为圆心的同心圆（如图所示）,2.2 梯度,梯度：多元函数 关于 的一阶导数,2.3 Hesse矩阵,Hesse 矩阵：多元函数 关于 的二阶偏导数矩阵,例：求目标函数 的梯度和Hesse矩阵。 解：因为 则又因为： 故Hesse阵为：,下面几个公式是今后常用到的： （1） ，则 （2） ，则 (单位阵） （3） ，Q对称， 则（4）若 ，其中f： 则：,3、 多元函数的Taylor展开,多元函数Taylor展开式在最优化理论中十分重要。 许多方法及其收敛
6、性的证明都是从它出发的。定理：设 具有二阶连续偏导数。则：其中 而01Taylor展开式还可写成如下形式：,4、凸集、凸函数和凸规划,4.1 凸集 定义：设集合 S Rn，若x(1), x(2)S, 0,1，必有 x(1)(1- ) x(2) S ，则 称 S 为凸集。 规定：单点集 x 为凸集，空集为凸集。 注: x(1)(1- ) x(2) = x(2)(x(1)- x(2)是连接 x(1)与x(2)的线段 。,凸集,非凸集,非凸集,例:证明集合 是凸集。其中，A为 mn矩阵，b为m维向量。 证明：任取 ，则所以，,例：给定线性规划 ，其中 ， 若令 ，则 是凸集。,定义：设 x(1) ,
7、 x(2) , , x(m) Rn, j 0 j =1,那么称 j x(j) 为x(1), x(2), , x(m) 的凸组合。性质： 凸集的交集是凸集；（并集一般不是） 凸集的内点集是凸集； 凸集的闭包是凸集。,4.2 凸函数,定义: 设集合 S Rn 为凸集，函数 f :SR，若 x(1), x(2) S, ( 0 , 1 ) ，均有 f( x(1)(1- ) x(2) ) f(x(1)+(1- )f(x(2) ， 则称 f(x) 为凸集 S 上的凸函数。若进一步有上面不等式以严格不等式成立，则称f(x) 为凸集 S 上的严格凸函数。 当- f(x) 为凸函数（严格凸函数）时，则称 f(x
8、) 为凹函数（严格凹函数）。,严格凸函数,凸函数,严格凹函数,定理： f(x) 为凸集 S 上的凸函数 S 上任 意有限点的凸组合的函数值不大于各点函数 值的凸组合。定理：可微函数 f(x) 为非空凸集 S 上的凸函 数 对任意 ，有,定理：具有二阶连续偏导数的函数 f(x) 为非 空凸集 S 上的凸函数 是半正定矩阵。 注： （1）当 是正定矩阵时，f(x) 是严格凸函数； （2）当 是半正定矩阵时，- f(x) 是凹函数,例：判断下列函数的凹凸性。 （1） （2） 解：（1）为正定矩阵， 为严格凸函数。 （2）因为 ，则易知所以 为凹函数。,4.3 凸规划,定义：对于规划若 与 都是凸函数，则称其为凸规划。例：线性规划 是凸规划。,例：数学规划 易知， 与 都是凸函数，所以该规划是凸规划。,对于一般的规划（P），其局部最优解不 一定是全局最优解，其可行集也未必是凸集。 但若（P）是凸规划，则有下面的结论。 定理：设规划（P）是凸规划，则 （1） （P）的可行集R为凸集； （2） （P）的最优解集合R*是凸集； （3） （P）的任何局部最优解都是全局最优解。,练习： 1、求 的梯度和Hesse矩阵。 2、判断函数 的凹凸性。 3、判断下述非线性规划是否为凸规划？,
