晶体的微观对称性

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1、第三章 晶体的微观对称性,3.1 7个晶系和14种空间格子 一、布拉威法则 空间点阵可看成无数平行六面体单位三维并置而成，因此只要弄清单位平行六面体就能知道整个点阵。但把空间点阵划分为平行六面体有无数种方法。以平面点阵为例说明之。下图是具有D2d对称性的平面点阵，但当划平行四边形单位时，有时反映不出点阵的对称性。为了从无限多个平行六面体中挑选出一个确定的、能代表点阵特征的单位平行六面体，布拉威提出了布拉威法则：,1)所选择的平行六面体对称性和点阵的对称性一样。 2)在平行六面体上各棱之间直角数目尽量多。 3)在遵守以上两条后，平行六面体体积尽量小。,二、点阵的对称性 点阵是无限图形，但是如果我

2、们考虑通过点阵点的对称性，那么对点阵也可以用点群来表示其对称性。由于点阵点是对称中心，因此点阵的对称类型将落在有对称中心的11个劳埃点群之中。再加上点阵中如有Ln(n3)，则必有n个反映面m通过Ln,n个L2与Ln垂直，这样一来点阵的对称性只有7种：Ci，C2h，D2h ，D4h，D6h，D3d，Oh。换言之，如果点阵具有某晶系的特征对称元素，点阵就具有该晶系的全对称类型的对称性。,三、平行六面体的形状 以立方晶系为例，说明平行六面体形状的选择。这里特征对称元素是4L3，它们的方向由于角度关系而指向立方体的8个顶点，L3本身又是直线点阵，这样只要在每个L3上取一个相应的点阵点就能划出1个立方体

3、单位，其对称性是立方晶系的全对称类型Oh，各晶系的平行六面体形状和对称性列在表3-1内。,下面两个平面点阵图案中，请同学们画出其空间格子： 4mm mm2,4mm,mm2 引出一个问题：空间格子可以有带心的格子；,上述画格子的条件实质上与前面所讲的晶体定向的原则是一致的（回忆晶体定向原则？），也就是说，我们在宏观晶体上选出的晶轴就是内部晶体结构中空间格子三个方向的行列。,各晶系平行六面体的形状和大小 平行六面体的形状和大小用它的三根棱长（轴长）a、b、c及棱间的夹角（轴角）、表征。这组参数（a、b、c；、）即为晶胞参数. 在晶体宏观形态我们可以得到各晶系的晶体常数特点，是根据晶轴对称特点得出的

4、. 宏观上的晶体常数与微观的晶胞参数是对应的,但微观的晶体结构中我们可以得到晶胞参数的具体数值。,平行六面体中结点的分布（即格子类型）,1）原始格子（P）：结点分布于平行六面体的八个角顶上。 2）底心格子（C、A、B）：结点分布于平行六面体的角顶及某一对面的中心。 3）体心格子（I）：结点分布于平行六面体的角顶和体中心。 4）面心格子（F）：结点分布于平行六面体的角顶和三对面的中心。,四、14种空间格子 在结晶学中常常把平行六面体称为格子。上面我们仅讨论了格子的形状，并未讨论格子的内容。它们会有什么样的素单位格子和复单位格子? 1、三斜晶系 三斜晶系中由于格子只有Ci的对称性，既不会因对称性要

5、求选取复格子，又不必因点阵显示的对称性而选棱间有直角的格子。这样，三斜晶系只需选一种体积最小的格子，即简单P格子。 2、单斜晶系 格子对称性是C2h，除了P格子以外，我们来考虑可能的复格子。,在单斜格子中定向为：2次轴平行干b方向，=90o, ab c。我们在B面，即a、c决定的平面加心时，我们能在不减少直角数目、不影响对称性的前提下划出一个体积小一倍的P格子，即单斜B=单斜P. 在或面上加心得A心和C心格子，我们不能把它划成P格子因为划小会减少直角数目因a，c方向在单斜系中无对称元素。所以定向a或c有任意性，这两种只能算一种，一般称为单斜C。在加体心时得到单斜体心格子。但在直角数、对称性不变

6、的前提下，单斜I=单斜,同样单斜F=单斜 C, 因此在单斜晶系中共有两种空间格子：单斜P和单斜C.,单斜I=单斜C,单斜F=单斜C,3. 正交晶系 格子对称性是D2h，除P格子外还有其他复格子。在加底心时，因格子的3个格子面对称性是一样的，所以A=C、B=C一般称为底心C格子。体心I格子在这里不能划成底心C格子，因为这会减少棱间直角数目。另外还有面心F格子也不能划成底心C格子。这样正交晶系共有P，C，I，F四种格子类型。 4. 四方晶系 由于四方晶系特征对称元素为4次轴，格子底面为正方形，仅有四方P和四方I两种格子类型。因为向正方形底面加心后可以划出体积小一倍的格子而不影响对称性，所以，四方C

7、格子四方P格子同样道理，四方F=四方I.,例1：四方底心格子 四方原始格子,例2：立方底心格子不符合等轴晶系对称 思考：立方底心格子符合什么晶系的对称？,5立方晶系 立方晶系有P，I，F三种空间格子，向任何单独面加心都将破坏立方晶系的对称性。 6六方和三方晶系 还应指出的是：对于三、六方晶系的四轴定向也可转换成三轴定向，变为菱面体格子。我们一般都用四轴定向。 另外，六方原始格子为六方柱的顶底面加心，不要误认为六方底心格子。 只有一种空间格子：P。 这样，一共有14种空间格子，如表32所示。,3.2 晶体的微观对称元素 一、点阵 与点阵相应的对称动作是平移。进行平移动作时每一点都动。在动作进行后

8、仿佛每一点都没有动，平移必然为无限图形所具有，平移是晶体最本质的对称操作。 与点阵相应的对称阶次为无穷大，平移只能使相等图形叠合，不能使左右形叠合。 二、螺旋轴 与螺旋轴相应的对称动作是旋转和平移组成的复合对称动作。动作进行时先绕一直线旋转一定的角度，然后在与此直线平行的方向上进行平移(或先平移后旋转)，该直线就称为螺旋轴。 图3-10是硒晶体中无限长硒分子中的螺旋轴。,与螺旋轴相应的对称动作的阶次为无穷，螺旋轴对称动作只能使相等图形重合而不能使左右形重合。 为了使螺旋轴不与点阵矛盾，除轴次受点阵限制为1，2，3，4，6次外，还要使螺旋轴的滑移分量满足这样的条件：,由此，在晶体结构这样的无限周

9、期重复图形中允许的螺旋轴如下,补充内容： 螺旋轴 为一条假想直线，当结构围绕此直线旋转一定角度，并平行此直线移动一定距离后，结构中的每一质点都与其相同的质点重合。 举例：,螺旋轴的国际符号一般写成nm。n为轴次，m为小于n的自然数。 若沿螺旋轴方向的结点间距标记为T，则质点平移的距离t应为（m/n）T，其中t称为螺距。,螺旋轴据其轴次和螺距可分为21；31、32；41、42、43；61、62、63、64、65共11种。 它们各代表什么意思？ 举例：41 意为按右旋方向旋转90度后移距1/4 T；而43意为按右旋方向旋转90度后移距3/4 T。那么， 41和43是什么关系？,43在旋转2个90度

10、后移距23/4 T=1T+1/2T，旋转3个90度后移距33/4 T=2T+1/4T。T的整数倍移距相当于平移轴，可以剔除，所以， 43相当于旋转270度移距1/4T，也即反向旋转90度移距1/4T 。 所以，41和43是旋向相反的关系。,1/4,1/2,3/4,0,3/4,1/2,1/4,0,41,43,规定： 41为右旋，43则为左旋。但43右旋时移距应为3/4T。 即螺旋轴的国际符号nm是以右旋为准的。 凡0mn/2者，为右旋螺旋轴（包括31、41、61、62）；凡n/2mn者，为左旋螺旋轴（包括32、43、64、65）；而m=n/2者，为中性螺旋轴（包括21、42、63）。,三、滑移面

11、 与滑移面相应的对称动作是反映和平移组成的复合对称动作。动作进行时先通过某一平面进行反映，然后在此平面平行方向上进行平移，该平面就称滑移面。与滑移面相应的对称动作的阶次为。 显然滑移反映动作进行一次能使左右形重合。 为使滑移面的滑移分量不与点阵矛盾，在两次滑移动作之后，合滑移分量必须在平移群内： Mt=I2t2tma+nb 式中m，n为整数而且只能为1或0。如m，n为2，则2t=2(a+b），t=(a+b)，这样的滑移面实际上是反映面。,滑移面 是一假想的平面，当结构对此平面反映，并平行此平面移动一定距离后，结构中的每一个点与其相同的点重合。,例如: NaCl晶体结构,滑移面按其滑移的方向和距

12、离可分为a、b、c、n、d五种。 其中a、b、c为轴向滑移，移距分别为 a， b， c。 n为对角线滑移，移距为（a+b）or （b+c）等。 d为金刚石型滑移，移距为 （a+b）等。 举例：,金刚石结构中的d滑移面,与点阵、螺旋轴、滑移面相应的对称动作进行时，空间的每一点都动了，动作后整个空间仿佛没有动，我们称之为空间对称动作，其阶次为。其对称类型称为空间群。 与空间动作相应的对称元素分布于整个空间，它只能存在于无限周期重复图形如晶体微观结构中而不能存在于有限对称图形如晶体的宏观对称性中。,与旋转轴、反映面、对称中心、反轴相应的对称动作进行时至少有一点不动，我们称其为点动作。这样的对称元素在

13、有限对称图形如晶体宏观对称性中有，在无限周期重复对称图形中（如晶体的点阵结构中）也有。 综上所述，使得对称图形复原的对称动作一共有7种：反映、倒反、旋转、旋转倒反（或旋转反映）、平移、螺旋旋转、滑移反映。其中旋转、平移、螺旋旋转不能使左右形重合，只能使相等图形重合。而反映、倒反、旋转倒反（或旋转反映）、滑移反映能使左右形重合 (含有反映) 。 上述微观对称元素的符号列于表3-3中。,左右手螺旋,3.3 对称元素组合原理 与点动作的对称元素组合原理不同，相应于空间动作的对称元素组合时不一定要交于一点。 一、两个平行反映面的组合,定理一：两个互相平行反映面的连续动作相当于一个平移动作其平移的距离是

14、反映面间距的二倍。 如图，两个反映面m1,m2连续动作时，点1经过2到达3从图中可以看出从1到3这样一个动作是平移，其平移向量=2d ,d为反映面m1和m2之间的距离，写成表达式 （m1m2）= .,两个平行反映面的组合,二、平移和正交反映面的组合 推论：平移及垂直于平移的反映面的连续动作相当于与这个反映面相距/2处的一个反映面。 在定理一的推导中注意到m1和m2的具体位置是任意的，只要求互相平行，间距为d，都能在连续动作时相当于垂直于反映面的平移 。这样，我们把平移看成是m1和m2的连续动作。令m和m1重合在一起，在和m连续动作时 m mm1m2=Im2m2， 这里，I表示“等同”，是连续2

15、次反映动作的结果。从图上等效点的情况看出了m2的独立存在. 上面这个推论也可以这样表述：在无限点阵结构中，有反映面的对称性，又同时在反映面法线方向有平移时，则在垂直于每隔/2距离都有反映面.,三、平移和斜交反映面的组合,平移t可分解成 t +g（Tm，g m）。 这样，在离开m法线方向/2处又有 一反映面，再与g结合成一滑移面， 即 mt=m （ g）=m1g（滑移面）。 这个原理可表述为：反映面和斜交平移的连续动作相当于一滑移面。此滑移面与反映面相距/2 ，滑移分量为g。这里是平移在反映面法线方向的分量，g是平行于反映面方向的分量。,四、旋转轴与垂直平移的组合,我们将旋转轴A看成交成 /2的

16、两个反映面m1、m2的连续动作，将看成是两个相距 /2的平行反映面m3、m4的连续动作。我们可以使得m2和m3重合在一起，因为m1、m2在空间的取向是任意的只要它们相互交在A上,并且它们之间相距 /2 。这样，在m2和m3重合在一起时: A =m1 m2 m3 m4=m1 I m4 =m1 m4=B,定理描述为： 基转角为的旋转轴A与垂直于它的平移的连续动作相当于旋转轴B ：它的基转角也为 ，旋转方向与A相同，在AA的垂直平分线上与AA相距1/2ctg( /2)。 五、旋转轴与斜交平移(t +g)的组合 这种组合结果得一螺旋轴，位置在AA的垂直平分线上与AA相距1/2ctg( /2) ，滑移分量为g.,