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1、习题一27.如果一危险情况C发生,一电路闭合并发出警报,借用两个或多个开关并联以改善可靠性,在C发生时,这些开关每一个都应闭合,且若至少一个开关闭合了,警报就发出.(1)如果两个这样的开关并联联接,它们每个具有96%的可靠性(即在情况C发生时闭合的概率),问这时系统的可靠性(即电路闭合的概率)是多少?(2)如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统,则至少需要用多少只开关并联?设各开关闭合与否是相互独立的.,习题一28.三人独立地去破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4. 问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少?,习题一31.袋中装有m只正品硬币,n只次品硬币(
2、次品硬币的两面均印有国徽).在袋中 任取一只,将它投掷r次,已知每次都得到国徽.问这只硬币是正品的概率为多少?,习题一,习题二,复习上次课内容: 一.随机变量的定义: 由样本空间S上每个元素e(样本点)所对应的实值 单值函数X(e)称为一个随机变量。记作：R.V.X， 即 X=X(e) eS, 随机变量可简记为R.V.X, Y, Z或 ,二.离散型随机变量的定义:只能取有限个值或可列无穷多个值的随机变量 称为离散型随机变量。否则称为非离散型随机变量.三.离散型R.V.X的概率分布(或称分布律),分布律的表示形式 1.缩写式：,2.表格式：3.矩阵式：,(二)分布律的性质 1. 0pk1 (k=
3、1,2,n,),2.,两点分布B(1,p)和二项分布B(n, p)的关系: X1,X2,Xn相互独立， 服从同一两点分布B(1, p) 则X=X1+X2+Xn (1) XB(n,p) (1)式说明: 一个服从二项分布的随机变量可以表示成n个相互 独立的，且服从同一两点分布的随机变量之和.,有放回抽样,X服从二项分布. 无放回抽样，小批量时,X服从超几何分布,大批量时，X近似用二项分布来代替， 问题:为何可以用二项分布来近似代替超几何分布？,（四）泊松分布,(1)定义:若R.V.X的概率分布为,则称X服从泊松分布。也可记作：R.V.XP(),(2)泊松分布的背景,二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家
4、在观察 与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时, 他们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放 射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数 X服从泊松分布.,泊松分布的图形,地震,在生物学、医学、工业统计、保险科学及 公用事业的排队等问题中, 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等,都服从泊松分布.,火山爆发,特大洪水,(3)泊松分布的应用,泊松分布可以作为大量试验中，小概率事件出现次数的概率分布的一个近似数学模型。如： 某医院一天中的急症病人的人数； 一天中某地区拨错号的电话呼唤次数； 汽车站某段时间内到来的等车人数； 布匹上疵点的个数； 纱绽的纱
5、线被拉断的次数；,一批铸件上砂眼的个数; 大量螺丝钉中不合格品出现的个数； 容器内细菌的个数；昆虫产卵的个数； 一本书一页中印刷的错误数等等都服从泊松分布或相当近似地服从泊松分布。,又例：有人统计了公元1500年到1931年间每年爆发战争的次数。发现这432年中有 223 年没有爆发战争，(已经爆发，正在继续进行的战争不算)。爆发一次、二次、三次和四次战争分别有142年、48年、15年和4年,平均每年爆发0.69次战争。爆发战争的次数 0 1 2 3 4年 223 142 48 15 4,这些数据经检验，不能否认一年中爆发战争的次数X符合 =0.69 的泊松分布。且有资料表明： 一年中结束战争
6、的次数也符合泊松分布 .,又如：第二次世界大战时，德军隔着英吉利海峡 用飞弹射击伦敦，后来发现，各区落飞弹的数目服 从泊松分布.,例11.某一无线寻呼台每分钟收到寻呼的次数X 服从参数=3的泊松分布。 试求： (1)一分钟内恰好收到4次寻呼的概率. (2)一分钟内收到 2至5次寻呼的概率.,(1)一分钟内恰好收到4次寻呼的概率 =3， k=4，,(2)一分钟内收到 2至5次寻呼的概率,例.某一城市每天发生火灾的次数X服从=0.8的泊松分布。 求：该城市一天内发生3次或3次以上 火灾的概率.,例.某一城市每天发生火灾的次数X服从=0.8的泊松分布。 求：该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率.
7、,设1000辆车通过,出事故的次数为X , 则,因此所求概率为,解,例2 有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过, 设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率 为0.0001在每天的该段时间内有1000 辆汽车通 过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?,泊松定理 设 是一常数, n 是任意正整数,设,则对于任一固定的非负整数 k ,有,二项分布 泊松分布,n很大, p 很小,(4)二项分布的泊松近似在许多实际问题中，n次重复独立试验概型中的n往往很大，而p很小，=np(常数)，在这种情况下二项分布可用泊松分布 近似代替.它比按二项分布直接计算要简单得多，而且也能保证 一定的精确度,当n100,
8、np10时，用,效果更好,n越大，p越小，近似程度越好。另外,在许多概率统计的参考书里都能直接查到,也可以按题中的、k的值，直接查泊松分布表， 它比按二项分布直接计算要简单得多，而且也能 保证一定的精确度 .为了了解泊松分布与二项分布 的关系，可参看下面的对照表,在实际计算中, 当二项分布的 时,便可利用泊松分布来计算.,设1000辆车通过,出事故的次数为X , 则,可利用泊松定理计算,因此所求概率为,解,例2 有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过, 设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率 为0.0001在每天的该段时间内有1000 辆汽车通 过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?,例.若
9、一年中某种人寿保险者里每个人死亡的概率为0.01，现在有500个这类人参加人寿保险。试求在未来的一年中，这500个保险者里有5人死亡的概率. 解： X=”500个保险者中的死亡人数” 。X=0,1,500,解： X=”500个保险者中的死亡人数” 。X=0,1,500 XB(500, 0.01) X的概率分布,直接算比较麻烦，用泊松公式近似计算,n=500, p=0.01 =np=5000.01=50,以上两公式计算结果相当近似,例.某人射击一目标，设每次独立地射中目标的概率为p，直到首次射中为止，求射击次数X的概率分布,解：X的概率分布,或写成,可列无穷多个,例.某人射击一目标，设每次独立地
10、射中目标的概率为p， 直到首次射中为止，求射击次数X的概率分布,（五）几何分布,若随机变量X 的分布律为,则称X 服从几何分布.,例 设某批产品的次品率为p,对该批产品做有 放回的抽样检查 , 直到第一次抽到一只次品为 止( 在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的 产品数目 X 是一个随机变量 , 求X 的分布律. 解.X=“抽到的产品数” X= 1, 2, 3,说明 几何分布可用来描述某个试验“首次成功” 的概率模型. 所以 X 服从几何分布.X的分布律为,解,解,故X 的分布律为,（1）每次取出的产品经检定后又放回这批产品中去在取下一件产品;,10件正品3件次品,直到取得正品为止所需抽
11、取次数X,（2）若每次取出的产品都不放回这批产品中时，,X 所取的可能值是,故 X 的分布律为,10件正品3件次品,直到取得正品为止所需抽取次数X,（3）每次取出一件产品后总以一件正品放回这批产品中.,X所取的可能值是,故 X 的分布律为,直到取得正品为止所需抽取次数X,10件正品3件次品,（六) 离散型均匀分布,如果随机变量 X 的分布律为,例如 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,则有,小结,离散型随机变量的分布,两点分布,二项分布,超几何分布,泊松分布,几何分布 均匀分布,二项分布,泊松分布,两点分布,思考题 二项分布与几何分布的区别？,二项分布：,几何分布：,第三节 随机变量的分布函
12、数,一、分布函数的概念,二、分布函数的性质,三、离散型随机变X的分布函数,四、利用分布函数求概率,一、分布函数的概念,引入 对于随机变量X,我们不仅要知道X 取哪 些值,要知道X取这些值的概率 ; 而且更重要的 是要知道X在任意有限区间 内取值的概率.,例如 求X落在区间 内的概率,分布 函数,分布函数的定义,说明,分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况.,解,证明,二、分布函数的性质,证明,即任一分布函数处处右连续.,所以,(4) F(x+0)=F(x),重要公式,三、离散型随机变量的分布函数,随机变量的分布函数是 ,所 以由离散型随机变量的分布律,分布函数,分布律,就可得到 X
13、 的分布函数,例1.单点分布(又称退化分布),分布律,分布函数,例2.两点分布,分布律,分布函数,四、利用分布函数求概率,解：(1)分布函数F(x),分布律,小结,分布函数,2、分布律,1、离散型随机变量的分布函数,说明:这里的和式是对所有满足xkx的k 求和。分布函数F(x)是一个阶梯形函数，F(x)在x=xk(k=1,2)处有跳跃，跳跃值pk=PX=xk,解 X=“三次中正面出现的次数”, X=0,1,2,3,因此分布律为,则,求分布函数,X 的分布列,小结,离散型随机变量的分布函数,说明:这里的和式是对所有满足Xkx的k 求和。 分布函数F(x)是一个阶梯形函数，F(x)在X=xk(k=1,2)处有跳跃， 跳跃值pk=PX=xk,
