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1、1,曲线和曲面上的积分,曲线积分 1.曲线要素,2,内容提要,曲线积分：曲线长、第一和第二型曲线积分 曲面积分：曲面面积、第一和第二型曲面积分 Green公式、Gauss公式、Stokes公式 梯度、散度、旋度,3,曲线与直线、曲面与平面,任务: 如何把在直线和平面上的长度和面积“推广”到曲线和曲面上去. 更一般地说如何把定义在n维欧氏空间上的测度推广到n维曲面上去. 方法: 用折线逼近曲线的长度、切面块网逼近曲面面积. 一般方法: 超切面块网逼近超曲面面积 新问题和新领域: 可求长曲线(曲面、超曲面)与不可求长曲线(曲面、超曲面),4,如何讨论欧氏空间中的超曲面,简单的情形: 曲线(一维超曲
2、面)和余一维超曲面、二维欧氏空间中的曲线、三维欧氏空间中的曲线曲面复杂的情形: 其他的情形, 其讨论需要引入新的数学工具,5,曲线积分,曲线表示和曲线长度 曲线上的测度和第一型曲线积分(质量) 第二型曲线积分(功),6,曲线的映射观点定义,设: a,b Rn(n2) 若连续,称L=(a,b)为Rn中的一条连续曲线 若具有一阶连续导数, 且ta,b,(t)0, 称L= (a,b)为Rn中的一条光滑曲线; 若还是单射, L= (a,b)为Rn中的一条正则曲线 若连续,且存在a=a0a1ak=b,j=1,k, Lj=(aj-1,aj)是光滑(正则)曲线, 称L=(a,b)为Rn中的一条分段光滑(正则
3、)曲线,7,曲线的集合观点定义,设LRn, 若存在: a,b Rn, 有L= (a,b) 若连续, 就称L为 Rn中的一条连续曲线, 称为L的一个表示 若光滑且导数点点不为零, 就称L为Rn中的一条光滑曲线, 称为L的光滑表示 若光滑,单射且导数点点不为零, 就称L为Rn中的一条正则曲线, 称为L的正则表示,8,同一条曲线的不同表示问题,同一条曲线可以有不同表示： 集合观点下的正则曲线一定有非正则的表示; 几何上正则的曲线一定有正则表示; 几何上非正则的曲线一定没有正则表示 在下面的讨论中, 我们总假设 连续, L是正则曲线或分段正则曲线,是其相应的表示 因此将对曲线的两种观点统一,9,曲线的
4、分类,设: a,b Rn(n2), 连续 若是单射,称L=(a,b)为Rn中的简单曲线 若(a)=(b),称L= (a,b)为Rn中的闭曲线; 若(a)=(b), 在a,b)上是单射,称L=(a,b) 为 中的简单闭曲线;,10,曲线的方向,设LRn,: a,b Rn(n2), 连续, L=(a,b), 规定t由a变化到b所对应 的方向(t)的运动方向为L由所确定 的正方向, 简称为L的正向; 而把t由b变化到a所对应的方向(t)的 运动方向规定为L由所确定的负方 向,简称为L的负向,11,曲线长度定义,设:a,b Rn(n2),连续,L=(a,b) 设: a=t0t1tm=b为a,b的一 个
5、分法, 记它表示依次连接(t0),(t1),(tm)的 折线的长度,12,曲线长度定义(续),称为L的长度(也叫弧长); 如果|L|, 就说L是可求长的; 如果|L|=, 就说L是不可求长的.,13,向量值函数的积分不等式,设=(1,n): ERnRn(n2), |.|为 Rn上 的一个范数. 若i=1,n, iL(E), 并定义则|L(E), 且注: 下面的应用中, |.|为欧氏范数#,14,向量值函数的积分不等式证明,注意|.|是Rn上的连续函数, 因此|在E上可测. 再由|C(|1|+|n|) (右边的|.|为通常的绝对 值, C为正常数)可知|L(E). 下面证明不等式: j=1,n,
6、 取简单函数列记 ,则 且,15,积分不等式证明(续1),(*)的证明, 不妨设注意在这里可以把E的分解取的仅与k有关,且,16,积分不等式证明(续2),因此由范数|.|的连续性可知由范数|.|的连续性和Lebesgue控制收敛定理 可知不等式获证#,17,正则曲线弧长计算公式,设L为正则曲线, : a,b Rn为L的正则表示,则L是可求长的，且长度(弧长)为证明:任取a,b的一个分法:a=t0t10, 要找分法:a=t00, 使得取定分法:a=t0t1tm=b满足,20,正则曲线弧长计算公式证明(续2),由积分中值定理,所以，,21,正则曲线弧长计算公式证明(续3),因此由此得到正则曲线长的
7、公式# 上面的计算公式可以容易地推广到分段正则曲线,22,弧长计算例1,计算摆线(也叫悬轮线)的弧长解:,23,弧长计算例2,计算螺旋线的长度解:,24,弧长计算例3,计算椭圆的周长解: 其中E(e,t)为第二类椭圆积分,25,作为函数图像的平面曲线弧长计算公式,若平面曲线L由y=(x), xa,b,给出, 则L的弧长计算公式为这只要把L理解为映射: x(x,(x)的像就可以了.,26,弧长计算例4,计算抛物线L: 的长度 解:,27,极坐标方程曲线的弧长计算公式,若曲线L由极坐标方程r=r(), a,b, 或=(r), ra,b. 它的弧长计算公式为了讨论的统一, 设曲线L的方程为r=r(t
8、), =(t), ta,b. 先把极坐标方程化为直角坐标方程: x=r(t)cos(t), y=r(t)sin(t),28,极坐标弧长计算公式证明,然后利用一般公式, 计算分量导数计算分量导数的平方和由此得到计算公式.注意dr=r(t)dt,d= (t)dt. 对于r=r(), 对于=(r),29,弧长计算例5,计算三叶玫瑰线的弧长解:,30,弧长函数和曲线的自然表示,设L为正则曲线, : a,b Rn为L的正则表示, 称函数为曲线L的弧长函数, 这是一个a,b到0,|L|的 正则映射, 由反函数t=t(s). 0t同样给出曲线 L,此时参数s有明确的几何解释: L从(0)点到 (s)点的弧长
9、. 因此称为曲线L的自然表示, s 称作L的弧长参数(简称弧长参数), ds=|(t)|dt 称为弧长微元.,31,曲线的切向量、曲率和主法向量,设为曲线L的自然表示, 则s0,|L|, (s)是单位且向量, 记为T(s). 这由T(s)与T(s)正交: 由T(s)T(s)=1, 两边对s求导就有2T(s)T(s)=0 曲率: 称=|T(s)|为曲线L在(s)处的曲率 若T(s)0, 称N(s)=T(s)/|T(s)|为L在(s)处的主法向量,32,切向量、曲率和主法向量计算的例子,例1. 直线: x=x0+tv, 其中x0和v是Rn中的给定 向量,v0.此时弧长参数s=t|v|,(s)=x0+sv/|v|, T(s)=(s)=v/|v|, T(s)=0, 因此直线的曲率为0, 其没有惟一确定的主法向量. 例2. 平面上的圆周曲线: (t)=(rcos t,rsin t), t0,2,r为给定正数. 此时弧长参数s=rt, (s)=(rcos(s/r),rsin(s/r),T(s)=(s)=(-sin(s/r), cos(s/r),T(s)=-(cos(s/r)/r,sin(s/r)/r), 曲率= |T(s)| =1/r,主法向量N(s)=-(cos(s/r),sin(s/r)#,
