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1、第 一章 模糊集的基本概念,一、什么是模糊数学,二、模糊数学的产生与基本思想,三、模糊数学的发展,四、为什么研究模糊数学,第一节. 模糊数学概述,一、什么是模糊数学,秃子悖论: 天下所有的人都是秃子,设头发根数n,n=1 显然,若n=k 为秃子,n=k+1 亦为秃子,模糊概念,模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间 无明显分界线,年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。,共同特点：模糊概念的外延不清楚。,术语来源,Fuzzy: 毛绒绒的，边界不清楚的,模糊，不分明，弗齐，弗晰，勿晰,模糊概念导致模糊现象,模糊数学就是用数
2、学方法研究模糊现象。,人工智能的要求,取得精确数据不可能或很困难,没有必要获取精确数据,模糊数学的产生不仅形成了一门崭新的数学 学科，而且也形成了一种崭新的思维方法， 它告诉我们存在亦真亦假的命题，从而打破 了以二值逻辑为基础的传统思维，使得模糊 推理成为严格的数学方法。随着模糊数学的 发展，模糊理论和模糊技术将对于人类社会 的进步发挥更大的作用。,模糊数学的概念 处理现实对象的数学模型 确定性数学模型:确定性或固定性,对象间有必然联系. 随机性数学模型:对象具有或然性或随机性 模糊性数学模型:对象及其关系均具有模糊性. 随机性与模糊性的区别 随机性:指事件出现某种结果的机会. 模糊性:指存在
3、于现实中的不分明现象. 模糊数学:研究模糊现象的定量处理方法.,模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法. 众所周知，经典数学是以精确性为特征的.,然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值的. 甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好.例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”.尽管这里只提供了一个精确信息男人，而其他信息大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人.模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、经济管理
4、等方面都有模糊数学的广泛而又成功的应用.,数学建模与模糊数学相关的问题,模糊数学研究和处理模糊性现象的数学 （概念与其对立面之间没有一条明确的分界线） 与模糊数学相关的问题（一） 模糊分类问题已知若干个相互之间不分明的模糊概念，需要判断某个确定事物用哪一个模糊概念来反映更合理准确 模糊相似选择 按某种性质对一组事物或对象排序是一类常见的问题，但是用来比较的性质具有边界不分明的模糊性,数学建模与模糊数学相关的问题,模糊聚类分析根据研究对象本身的属性构造模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度来确定其分类关系 模糊层次分析法两两比较指标的确定 模糊综合评判综合评判就是对受到多个因素制约的事物或对象作出
5、一个总的评价，如产品质量评定、科技成果鉴定、某种作物种植适应性的评价等，都属于综合评判问题。由于从多方面对事物进行评价难免带有模糊性和主观性，采用模糊数学的方法进行综合评判将使结果尽量客观从而取得更好的实际效果,第二节 模糊子集及其运算,一. 经典集合经典集合具有两条基本属性：元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明,即一个元素x要么属于集合A(记作xA),要么不属于集合(记作xA)，二者必居其一.,集合的表示法：(1)枚举法，A=x1 , x2 , xn；(2)描述法，A=x | P(x).AB 若xA，则xB；AB 若xB，则xA；A=B AB且 AB.,集合A的所有子集所组成的集合称为A的
6、幂集，记为(A).,并集AB = x | xA或xB ； 交集AB = x | xA且xB ； 余集Ac = x | xA .,集合的运算规律幂等律： AA = A， AA = A；交换律： AB = BA， AB = BA；结合律：( AB )C = A( BC )，( AB )C = A( BC )；吸收律： A( AB ) = A，A( AB ) = A；,分配律：( AB )C = ( AC )( BC )；( AB )C = ( AC )( BC )； 0-1律：AU = U ， AU = A ；A = A ， A = ； 还原律： (Ac)c = A ； 对偶律： (AB)c =
7、AcBc，(AB)c = AcBc； 排中律： AAc = U， AAc = ；,U 为全集， 为空集.,集合的直积：X Y = (x , y )| xX , y Y .,二. 模糊子集及其运算,2.1 模糊子集与隶属函数,设U是论域，称映射 A(x)：U0,1 确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的隶属函数，它表示x对A的隶属程度.使A(x) = 0.5的点x称为A的过渡点，此点最具模糊性.当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而A(x)就是它的特征函数. 可见经典子集就是模糊子集的特殊情形.,例 设论域U = x1 (140), x2 (150), x3 (160)
8、, x4 (170), x5 (180), x6 (190)(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为,也可用Zadeh表示法：,还可用向量表示法：,A = (0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1).,另外，还可以在U上建立一个“矮个子”、“中等个子”、“年轻人”、“中年人”等模糊子集.从上例可看出：(1) 一个有限论域可以有无限个模糊子集,而经典子集是有限的；(2) 一个模糊子集的隶属函数的确定方法是主观的.隶属函数是模糊数学中最重要的概念之一，模糊数学方法是在客观的基础上，特别强调主观的方法.,如：考虑年龄集U=0,100，A=“
9、年老”，A也是一个年龄集，u = 20 A，40 呢？扎德给出了 “年老” 集函数刻画:,1,0,U,50,100,再如，B= “年轻”也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶属于这一集合的程度不一样，查德给出它的隶属函数：,1,0,25,50,U,B（u）,2.2 模糊集的运算,相等：A = B A(x) = B(x)； 包含：AB A(x)B(x)； 并：AB的隶属函数为(AB)(x)=A(x)B(x)； 交：AB的隶属函数为(AB)(x)=A(x)B(x)； 余：Ac的隶属函数为 Ac (x) = 1- A(x).,模糊集的并、交、余运算性质,幂等律：AA = A， AA = A； 交换律：
10、AB = BA，AB = BA； 结合律：(AB)C = A(BC)，(AB)C = A(BC) ； 吸收律：A(AB) = A，A( AB)= A； 分配律：(AB)C = (AC)(BC)；(AB)C = (AC)(BC)； 0-1律： AU = U，AU = A；A = A，A = ； 还原律： (Ac)c = A ；,对偶律：(AB)c = AcBc，(AB)c = AcBc；,对偶律的证明：对于任意的 xU (论域)，(AB)c(x) = 1 - (AB)(x) = 1 - (A(x)B(x)= (1 - A(x)(1 - B(x) = Ac(x)Bc(x)= AcBc (x),模糊
11、集的运算性质基本上与经典集合一致，除了排中律以外，即 AAc U， AAc .模糊集不再具有“非此即彼”的特点，这正是模糊性带来的本质特征.,例 设论域U = x1, x2, x3, x4, x5(商品集)，在U上定义两个模糊集： A =“商品质量好”， B =“商品质量坏”，并设,A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1). B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0).,则Ac=“商品质量不好”, Bc=“商品质量不坏”.,Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0). Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1).,可见Ac B, Bc A.
12、,又 AAc = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) U,AAc = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) .,第三节 模糊集的基本定理,模糊集的-截集A是一个经典集合，由隶属度不小于的成员构成.例：论域U=u1, u2, u3, u4 , u5 , u6(学生集)，他们的成绩依次为50,60,70,80,90,95，A=“学习成绩好的学生”的隶属度分别为0.5,0.6,0.7,0.8, 0.9,0.95，则,A0.9 (90分以上者) = u5 , u6, A0.6 (60分以上者) = u2, u3, u4 , u5 , u6.,定理1 设A, B (U ) (A, B是
13、论域U 的两个模糊子集)，,0,1，于是有-截集的性质：,(1) AB AB； (2) A A； (3) (AB)= AB，(AB)= AB.,定理2 (分解定理)设A (U )，xA，则 A(x) = ，0,1，xA 定义 (扩张原理)设映射 f ：X Y，定义 f (A) ( y ) = A(x)， f (x) = y ,模糊集的数积 设A (U ) (A是论域U 的模糊子集)，0,1，称A为与A数积， xA, (A)(x)= A(x),性质：(1) AB A B； (2) A A ；,定理3 (分解定理2)设A (U )，则,第四节 隶属函数的确定,1. 模糊统计方法,与概率统计类似，但
14、有区别：若把概率统计比喻为“变动的点”是否落在“不动的圈”内，则把模糊统计比喻为“变动的圈”是否盖住“不动的点”.,2. 指派方法,一种主观方法，一般给出隶属函数的解析表达式。,3. 借用已有的“客观”尺度,隶属函数参数化,1. 三角形隶属函数,参数a,b,c确定了三角形MF三个顶点的x坐标。,参数a,b,c,d确定了梯形四个角的x坐标。当b=c时，梯形就退化为三角形。,2. 梯形隶属函数,3. 高斯形隶属函数,高斯MF完全由c和决定，c代表MF的中心；决定了MF的宽度。,4. 一般钟形隶属函数,参数完全由b通常为正；如果b0,钟形将倒置。钟形MF实际上是概率中柯西分布的推广，因此又称为柯西M
15、F。,trig(x;20,60,80),trap(x;10,20,60,90),g(x;50,20),bell(x:20,4,50),隶属函数的参数化举例：,以钟形函数为例，,a,b,c,的几何意义如图所示。,改变a,b,c,即可改变隶属函数的形状。,第 二 章 模糊模式识别,第一节 模糊模型识别,模型识别,已知某类事物的若干标准模型，现有这类事物中的一个具体对象，问把它归到哪一模型，这就是模型识别.,模型识别在实际问题中是普遍存在的.例如，学生到野外采集到一个植物标本，要识别它属于哪一纲哪一目；投递员(或分拣机)在分拣信件时要识别邮政编码等等，这些都是模型识别.,模糊模型识别,所谓模糊模型识别,是指在模型识别中,模型是模糊的.也就是说,标准模型库中提供的模型是模糊的.,模型识别的原理,为了能识别待判断的对象x = (x1, x2, xn)T是属于已知类A1, A2, Am中的哪一类？事先必须要有一个一般规则, 一旦知道了x的值, 便能根据这个规则立即作出判断, 称这样的一个规则为判别规则.判别规则往往通过的某个函数来表达, 我们把它称为判别函数, 记作W(i; x).一旦知道了判别函数并确定了判别规则，最好将已知类别的对象代入检验，这一过程称为回代检验，以便检验你的判别函数和判别规则是否正确.,
