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1、简单的线性规划问题,画出不等式组 表示的平面区域。,3x+5y 25,x -4y - 3,x1,3x+5y25,x-4y-3,x1,问题:有无最大(小)值?,x,y,o,问题:2+有无最大(小)值?,x,y,o,x=1,C,B,设z2+,式中变量、满足下列条件 , 求的最大值和最小值。,3x+5y25,x-4y-3,x1,x-4y=-3,3x+5y=25,x,y,o,x-4y=-3,x=1,C,设z2+,式中变量、满足下列条件 ,求的最大值和最小值。,B,3x+5y=25,问题 1: 将z2+如何变形?,问题 2: z几何意义是_。,斜率为-2的直线在y轴上的截距,则直线 l:2+=z是一簇与
2、 l0平行的直线,故直线 l 可通过平移直线l0而得,当直线往右上方平移时z 逐渐增大: 当l 过点 B(1,1)时,z 最小,即zmin=3 当l 过点A(5,2)时,最大,即 zmax25+212 。,析: 作直线l0 :2+=0 ,最优解:使目标函数达到最大值或 最小值 的可 行 解。,线性约束条件:约束条件中均为关于x、y的一次不等式或方程。,有关概念,约束条件:由、的不等式(方程)构成的不等式组。,目标函数:欲求最值的关于x、y的一次解析式。,线性目标函数:欲求最值的解析式是关于x、y的一次解析式。,线性规划:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值。,可行解:满足线性约束条件
3、的解(x,y)。,可行域:所有可行解组成的集合。,x,y,o,x-4y=-3,x=1,C,B,3x+5y=25,设Z2+,式中变量、满足下列条件 ,求的最大值和最小值。,例1:设z2xy,式中变量x、y满足下列条件求的最大值和最小值。,解:作出可行域如图:,当0时,设直线 l0:2xy0,当l0经过可行域上点A时, z 最小,即最大。,当l0经过可行域上点C时, 最大,即最小。, zmax2528 zmin214.4 2.4,(5,2),(1,4.4),平移l0,,平移l0 ,,2xy0,解线性规划问题的步骤:,2、 在线性目标函数所表示的一组平行线中,用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距
4、最大或最小的直线;,3、 通过解方程组求出最优解;,4、 作出答案。,1、 画出线性约束条件所表示的可行域;,画,移,求,答,解答线性规划问题的步骤:,第一步:根据约束条件画出可行域; 第二步:令z0,画直线l0; 第三步:观察,分析,平移直线l0,从而找到最优解; 第四步:求出目标函数的最大值或最小值.,3x+5y=25,例2:已知x、y满足 ,设zaxy (a0), 若取得最大值时,对应点有无数个,求a 的值。,x,y,o,x-4y=-3,x=1,C,B,解:当直线 l :y ax z 与直线AC重合时,有无数个点,使函数值取得最大值,此时有: k l kAC, kAC,k l = -a,
5、 -a =, a =,例3:满足线性约束条件 的可行域中共有多少个整数解。,1,2,2,3,3,1,4,4,5,5,x,y,0,解:由题意得可行域如图:,由图知满足约束条件的 可行域中的整点为(1,1)、 (1,2)、(2,1)、(2,2)故有四个整点可行解.,例4、营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白质,0.06kg的脂肪,1kg食物A含有0.105kg碳水化合物,0.07kg蛋白质,0.14kg脂肪,花费28元;而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白质,0.07kg脂肪,花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要
6、求,同时使花费最低,需要同时食用食物A和食物B多少kg?,分析:将已知数据列成表格,解:设每天食用xkg食物A,ykg食物B,总成本为z,那么,目标函数为:z28x21y,作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域,把目标函数z28x21y 变形为,x,y,o,5/7,5/7,6/7,3/7,3/7,6/7,它表示斜率为 随z变化的一组平行直线系,是直线在y轴上的截距,当截距最小时,z的值最小。,M,如图可见,当直线z28x21y 经过可行域上的点M时,截距最小,即z最小。,M点是两条直线的交点,解方程组,得M点的坐标为:,所以zmin28x21y16,由此可知,每天食用食物A143g,食
7、物B约571g,能够满足日常饮食要求,又使花费最低,最低成本为16元。,四、练习题:,1、求z2xy的最大值,使x、y满足约束条件:,2、求z3x5y的最大值,使x、y满足约束条件:,1.解:作出平面区域,x,y,A,B,C,o,z2xy,作出直线y=2xz的图像,可知z要求最大值,即直线经过C点时。,求得C点坐标为(2,1),则Zmax=2xy3,2.解:作出平面区域,x,y,o,A,B,C,z3x5y,作出直线3x5y z 的图像,可知直线经过A点时,Z取最大值;直线经过B点时,Z取最小值。,求得A(1.5,2.5),B(2,1),则Zmax=17,Zmin=11。,解线性规划问题的步骤:,(1)画:画出线性约束条件所表示的可行域;,(2)移:在线性目标函数所表示的一组平行线中,利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线;,(3)求:通过解方程组求出最优解;,(4)答:作出答案。,几个结论:,1、线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得,也可能在边界处取得。 2、求线性目标函数的最优解,要注意分析线性目标函数所表示的几何意义 -与y轴上的截距相关的数。,小结: 1线性规划问题的有关概念; 2. 用图解法解线性规划问题的一般步骤; 3. 求可行域中的整点可行解。,关键是找准 几何意义,作业,课本第93页,习题3.3 A组第2,3,4题,谢谢!,