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1、1,版权所有, 2000,2006 (c) 华中科技大学力学系,华中科技大学力学系,材 料 力 学,Copyright, 2000,2006 (c) Dept. Mech., HUST , China,Tel: 027-87543837,Mechanics of Materials,2,第九章 压杆稳定,9.1 引言,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,9.3 中、小柔度压杆的临界应力,9.4 压杆的稳定条件,9.5 压杆的合理设计,9.6 用能量法求压杆的临界载荷,3,9.1 引言,稳定性 稳定平衡 不稳定平衡 随遇平衡 结构屈曲,稳定性是指结构或者物体保持或者恢复原有平衡状态的能
2、力。,稳定平衡,不稳定平衡,刚球的（不）稳定平衡、随遇平衡,4,9.1 引言,刚杆的稳定平衡和不稳定平衡,当给刚杆一横向扰动时：,力F产生的力偶为：,弹簧力为：,其产生的方向力偶为：,如果,不稳定平衡,如果,稳定平衡,如果,两种状态下都可以平衡,刚杆的平衡状态跟力F的大小联系在一起。,5,9.1 引言,（可变形）细长压杆的稳定性问题,如图所示两端铰支的细长杆受轴向压 力作用。当轴向压力超过一定数值时， 压杆的平衡由稳定向不稳定转变，这 个载荷称为临界载荷Fcr。,F小于Fcr时，稳定平衡。,给杆件一个横向扰动，杆件仍能恢复 原来的平衡状态。（轴向平衡）,F大于等于Fcr时，压杆处于不稳定平衡。
3、,杆件既能在轴线上达到平衡，又能 在弯曲状态下达到平衡（F=Fcr)。 给杆件一个横向扰动，杆件由轴向平衡 转向弯曲状态，从而造成失稳。,6,9.1 引言,当轴向压力达到或者超过压杆的临界载荷时，一旦受到横向的微 小扰动，压杆将由轴向的稳定平衡状态转为不稳定的平衡，产生 失稳现象，压杆发生显著的弯曲变形甚至破坏,这种失效方式称为 稳定性失效，或屈曲失效。（buckling),其它形式的屈曲失效,承受面内压力的板件结构；受外压作用的圆管；受横力作用的狭长 矩形截面梁，等。,7,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,Imin=b3h/12 (hb),一、两端球铰细长压杆的欧拉临界载荷,如图
4、两端为球铰的细长压杆承受轴力F的作用。,假设力F已经达到临界值Fcr，且压杆处于弯曲平衡状态，现在 看此时杆的挠曲线满足什么条件。,考察C点有：,因为是球铰，杆在抗弯能力最弱的纵向平面内弯曲。,即上式中的I应取最小值Imin。比如说对于矩形截面梁有：,令：,8,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,则压杆的平衡微分方程可化为：,齐次二阶常微分方程。,上式通解为：,A，B为待定常数。,由球铰的位移边界条件有：,代入通解：,方程有非零解的条件是：,即：,9,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,上式的解为：,又：,所以有：,最小值即为临界载荷：,两端球铰细长压杆的欧拉临界载荷,对应
5、的压杆的弯曲线为：,10,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,两端球铰的前三阶buckling mode,11,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,二、一端固定，一端球铰细长压杆的临界载荷,如图一端固定一端球铰的细长压杆，设在临界 载荷F作用下处于微弯平衡，考察点(x,y)有：,代入挠曲线微分方程有：,令：,有：,其通解为：,12,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,所以有：,由位移边界条件有：,分别代入上面两式：,13,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,A，B，FBy有非零解的条件是：,即：,由图解法有：,代入：,有：,14,9.2 细长压杆的欧拉(
6、Euler)临界载荷,三、其它杆端约束下细长压杆的临界载荷,临界载荷的拐点确定法,如图一端固定，一端铰支的细长压杆，其 拐点位于离铰支座0.7l处。,拐点处弯矩为零，所以可看成 长度为0.7l的两端球铰的情况。,15,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,类似的，一端自由一端固定的细长压杆的临界载荷为：,一端滑动固定一端固定的细长压杆 的临界载荷为：,不同杆端约束下细长压杆的临界载 荷可统一写为：,16,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,表示杆端约束情况，称为长度系数。,称为相当长度。,固定端-自由端,球铰-球铰,滑动固定端-固定端,球铰-固定端,17,由欧拉临界压力公式,
7、 可得欧拉临界应力公式:,其中A为压杆的横截面面积; i为横截面的最小惯性半径，即,比如说矩形截面的最小惯性半径为：,令：,则有欧拉临界应力为：,压杆的柔度或长细比。,柔度是一个无量纲量，它综合反映了压杆长度，约束条件，截面形状尺寸对临界应力的影响。柔度越大，临界应力就越小,杆件越容易失稳。,18,9.3 中、小柔度压杆的临界应力,一般来说，压杆在不同纵向平面内具有不同的柔度值， 压杆的临界应力应该按最大柔度值来计算。,欧拉临界应力公式适用于压应力小于比例极限 的场合。,即：,令：,当：,称为大柔度杆（或者细长杆）,所以欧拉临界应力公式适用于大柔度杆。,与材料性质有关。,所以对于Q235钢制成的压杆，只有柔度 大于100时，才能应用欧拉临界应力公式。,19,9.3 中、小柔度压杆的临界应力,时称为中柔度压杆或中长压杆。,此时中长压杆的临界应力超过了比例极限，因此欧拉公式不适用。 一般由直线或者抛物线经验公式计算。,中长压杆的临界应力的直线经验计算公式：,适用范围：,令：,20,临界应力总图,中柔度杆的临界应力也可用抛物线公式计算：,9.3 中、小柔度压杆的临界应力,21,例：由Q235钢制成的矩形截面压杆，两端用销钉支承。,求临界压力。,解：不同纵向面内柔度不同，在XOY平面内：,22,在XOZ平面内：,压杆的：,所以：,大柔度压杆。,
