《线性代数第二节向量组的线性相关性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数第二节向量组的线性相关性（42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,2 向量组的线性相关性,一、线性组合的概念,二、向量组的线性相关性,三、小 结,2,向量组:,m个n维向量.,四维以上无直观几何意义.,两个向量之间最简单的关系是成比例.,线性表示.,一、线性组合的概念,3,一般地, 就有,定义6. 对于n 维向量,若,4,例1. 任一 n 维向量,都可由向量组,线性表示.,解:,5,所以任一 n 维向量,线性表示.,称为 n 维单位向量组.,例2.,解:,显然,换句话说,存在一组不全为0的数0,3,-1,使,6,例3.,解:,7,(改写):,变形,例4. 若,其中任一个均不能由其余向量线性表示.,8,9,定义7.,若存在,否则称为线性无关,即只有当,二、
2、向量组的线性相关性,10,理解:,共性.,特性: 有不全为零的数 0,1,2,-1,使向量组合为零向量.,11,例5. n 维单位向量组,是线性无关的.,解:,12,例6. 判断向量组,是否线性相关?,解:,13,其系数行列式,于是有,14,例7. 讨论向量组,的线性相关性,若线性相关,试写出其中一向量能由其余向量线性表示的表达式.,解:,15,代入(2)、(3),有,于是有,16,说明: 此例是一个三元的,三个未知数的方程组.,只须看行列式是否为0.,17,注: 设n个n维向量所组成的向量为,且,则,.,.,18,例8.,证明:,则由定义知,19,而其系数行列式,证毕.,20,定理一.,A线
3、性相关,A中至少有一个可由其余向量线性表示.,证明:,“ ”, A线性相关.,“ ”,21,即有不全为零的数,则,证毕.,性质1. 任意一个包含零向量的向量组必线性相关.,证明:,22,证毕.,性质2. 两个向量线性相关,它们的各对应分量成比例.,证明:,“ ”,23,“ ”,证毕.,24,性质3.,部分组相关,则全组相关.,证明:,证毕.,25,注:,部分组线性相关,整个向量组线性相关,.,性质4.,整个向量组线性无关,部分组线性无关,.,证明:,反证.,若部分组线性相关,则由性质3知,整个组也线性相关.,矛盾！,证毕.,26,性质,27,定理二.,证明:, 有不全为零的数,28,证毕.,2
4、9,例9. 判别下列各向量组的线性相关性:,解:,由性质1知,解:,又由性质3可知,30,例10. 判断向量组,解:,由性质3可知,31,定理三.,也线性无关.,证明:,反证.,即有不全为零的数,即,32,从前r个等式可得,矛盾!,证毕.,33,推论: 在r维向量组的每个向量上添加n-r个分量,使之成为n维向量组.如果r维向量组线性无关,则n维向量组也线性无关.,注:,定理三表明:,添加分量后仍线性无关,.,添加分量后线性相关,原向量组线性相关,.,定理四.任意n+1个n维向量都是线性相关的.,原向量组线性无关,证明:,34,构造向量组：,设n+1个n维向量为:,35,定理四表明:,当m=n+1时,当mn时,相关(由定理四),则相关,注:,36,推论:,简言之: 个数大于维数的向量组是线性相关的.,事实上,37,（一）.概念,.,三、小 结,38,例. 单位坐标向量,A线性相关,39,（二）. 充要条件,(1). 若n个n维向量,行列式为,则,40,(2).,向量组A线性相关,A中至少有一个向量可由其余,向量线性表示.,（三）. 判断法,(1).,41,(2).,部分组线性相关,整个向量组线性相关.,整个向量组线性无关,部分组线性无关.,(3).,原向量组线性无关,添加分量后仍线性无关.,添加分量后线性相关,原向量组线性相关.,42,思考题,
