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1、苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义13.1.3 空间向量基本定理空间向量基本定理3.1.4 空间向量的坐标表示空间向量的坐标表示学习目标 1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解正交基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标知识点一 空间向量基本定理思考 只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底吗？答案 不一定，只需三个向量不共面，就可作为空间向量的一组基底，不需要两两垂直梳理 空间向量基本定理(1)定理内容：条件：三个向量 e1，e2，e3不共面结论：对空间中任一向量 p，存在唯一的有序实数组(x，
2、y，z)，使 pxe1ye2ze3.(2)基底：定义在空间向量基本定理中，e1，e2，e3是空间不共面的三个向量，则把e1，e2，e3称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫做基向量正交基底与单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用i，j，k表示(3)推论：条件：O，A，B，C 是不共面的四点结论：对空间中任意一点 P，都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得xyz.OPOAOBOC知识点二 空间向量的坐标表示思考 若向量(x1，y1，z1)，则点 B 的坐标一定为(x1，
3、y1，z1)吗？AB答案 不一定由向量的坐标表示知，若向量的起点 A 与原点重合，则 B 点的坐标为AB苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义2(x1，y1，z1)，若向量的起点 A 不与原点重合，则 B 点的坐标就不为(x1，y1，z1)AB梳理 (1)空间向量的坐标表示：向量 a 的坐标：在空间直角坐标系 Oxyz 中，分别取与 x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量 i，j，k 作为基向量，对于空间任意一个向量 a，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使 axiyjzk，有序实数组(x，y，z)叫做向量 a 在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标，记作 a(x，y
4、，z)向量的坐标：在空间直角坐标系 Oxyz 中，对于空间任意一点 A(x，y，z)，向量OA是确定的，即(x，y，z)OAOA(2)空间中有向线段的坐标表示：设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，坐标表示：(x2x1，y2y1，z2z1)ABOBOA语言叙述：空间向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标(3)空间向量的加减法和数乘的坐标表示：设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则：运算表示方法加法ab(a1b1，a2b2，a3b3)减法ab(a1b1，a2b2，a3b3)数乘a(a1，a2，a3)(R)(4)空间向量平行的坐标表示：若 a(
5、a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，且 a0，则abb1a1，b2a2，b3a3(R)1若a，b，c为空间的一个基底，则a，b,2c也可构成空间的一个基底()2若向量的坐标为(x，y，z)，则点 P 的坐标也为(x，y，z)()AP3在空间直角坐标系 Oxyz 中向量的坐标就是 B 点坐标减去 A 点坐标()AB类型一 空间向量基本定理及应用苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义3命题角度1 空间基底的概念例 1 已知e1，e2，e3是空间的一个基底，且e12e2e3，3e1e22e3，e1e2 e3，试判断，能否作OAOBOC67OAOBOC为空间的一个基底解 假设，共面，OAOB
6、OC由向量共面的充要条件知存在实数 x，y，使xy成立OAOBOC所以e12e2e3OAx(3e1e22e3)y(e1e267e3)(3xy)e1(xy)e2e3.(2x67y)得Error!解得Error!故，共面，不可以构成空间的一个基底OAOBOC反思与感悟 基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底(2)方法：如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底假设 abc，运用空间向量基本定理，建立 ， 的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底跟
7、踪训练 1 以下四个命题中正确的是_(填序号)空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；若a，b，c为空间的一个基底，则 a，b，c 全不是零向量；如果向量 a，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有 a 与 b 共线；任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底答案 解析 因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故不正确；正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以与另外一个向量构成基底，故正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故不正确苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义4命题角度2 空间向量基本定理的应用例 2 如图，在空间四边形 OABC 中
8、，点 D 是边 BC 的中点，点 G，H 分别是ABC，OBC 的重心，设a，b，c，试用向量 a，b，c 表示向量和.OAOBOCOGGH解 因为OGOAAG ()，OA23ADOA23ODOA又点 D 为 BC 的中点，所以 ()，OD12OBOC所以 ()OGOA23ODOA ()OA2312OBOC23OA () (abc)13OAOBOC13而，GHOHOG又因为 () (bc)，OH23OD2312OBOC13所以 (bc) (abc) a.GH131313所以 (abc)， a.OG13GH13引申探究若将本例中的“G 是ABC 的重心”改为“G 是 AD 的中点” ，其他条件不
9、变，应如何表示，？OGGH苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义5解 ()OG12OAOD ()12OA1212OBOC a b c.121414 ()OH23OD2312OBOC (bc)13所以GHOHOG (bc)13(12a14b14c) abc.12112112反思与感悟 用空间向量基本定理时，选择合适的基底是解题的关键跟踪训练 2 如图所示，在平行六面体 ABCD-ABCD中，a，b，c，P 是 CA的中点，M 是 CD的中点，N 是 CD的中点，ABADAA点 Q 在 CA上，且 CQQA41，用基底a，b，c表示以下向量(1)；(2)；(3)；(4).APAMANAQ解 连结
10、 AC，AD.(1) ()AP12ACAA () (abc)12ABADAA12苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义6(2) ()AM12ACAD (a2bc) ab c.121212(3) () ()() abc.AN12ACAD12ABADAAADAA12(4) () ()AQACCQAC45CAAC45AAAC15AC45AA15ABAD a b c.45AA151545类型二 空间向量的坐标表示例 3 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDABCD中，E，F，G 分别为棱DD，DC，BC 的中点，以，为基底，求下列向量的坐标ABADAA(1)， ；AEAGAF(2)，.EFEGDG
11、解 (1)AEADDEAD12DDAD12AA，(0，1，12)AGABBGAB12AD(1，12，0).AFAAADDF12ABADAA(12，1，1)(2)EFAFAE(AAAD12AB) (AD12AA)，12AB12AA(12，0，12)EGAGAE(AB12AD) (AD12AA)，AB12AD12AA(1，12，12)DGAGADAB12ADAD苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义7.AB12AD(1，12，0)引申探究本例中，若以，为基底，试写出，的坐标DADCDDAEAGEF解 ，AEADDEDA12DD(1，0，12)AGABBGDC12DA，12DADC(12，1，0)
12、.EF12DC12DD(0，12，12)反思与感悟 用坐标表示空间向量的步骤跟踪训练 3 如图所示，PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M，N 分别是 AB，PC 的中点，并且 PAAB1.求向量的坐标MN解 PAABAD1，PA平面 ABCD，ABAD，是两两垂直的单位向量ABADAP设e1，e2，e3，以e1，e2，e3为基底建立空间直角坐标系 Axyz.ABADAPMNMAAPPN12ABAP12PC ()12ABAP12PAAC苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义8 ()12ABAP12PAABAD e2 e3，12AP12AD1212.MN(0，12，12)类型三 空间向量
13、的坐标运算及应用例 4 已知空间三点 A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)(1)求，；ABACABAC(2)是否存在实数 x，y，使得xy成立，若存在，求 x，y 的值；若不存在，请ACABBC说明理由解 (1,1,2)(2,0,2)(1,1,0)，AB(3,0,4)(2,0,2)(1,0,2)AC(1)(1,1,0)(1,0,2)(0,1,2)ABAC(1,1,0)(1,0,2)(2,1，2)ABAC(2)假设存在 x，yR 满足条件，由已知可得(2，1,2)由题意得BC(1,0,2)x(1,1,0)y(2，1,2)，所以(1,0,2)(x2y，xy,2y)，所以Error!所以Error!所以存在实数 x1，y1 使得结论成立反思与感悟 1.向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，即向量的坐标等于其终点的坐标减去始点的坐标特别地，当向量的起点为坐标原点时，向量的坐标即是终点的坐标2进行空间向量的加减、数乘的坐标运算的关键是运用好其运算性质跟踪训练 4 已知四边形 ABCD 的顶点坐标分别是 A(3，1,2)，B(1,2，1)，C(1,1，3)，D(3，5,3)，求证：四边形 ABCD 是一个梯形苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义9证明 (1,2，1)(3，1,2)(2,3，3)，(3，5,3)(1,1，3)ABCD(4，6,6
