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1、3.1.1变化率与导数问题1气球膨胀率在吹气球的过程中,可发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度,如何描述这种现象呢?我们知道,气球的体积V(单位:)与半径r(单之间的函数关系是(小-上Z把半径“表示为体积V的函数,那么3V别一一、4T当空气宰积V从0增加到1L时气球半径增加了r(D-r(O)=0.62(cm)气球的一Z均膨月长草力0(0)062(d/L)类佶地当空气容量从11瑞加到2L时气球半径增加了r(2)-r(DJ*0.16(2史)气球的平均膨胀率为“(2)一)O6(d/乙)可以看出,丨(追着球傅酥口逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小了.怡考当空气的容量从V
2、增加到T时气球的平均膨胀率是多少“Ar_r(C)-r()AY匕-仁21问题2高台跳水在跳水运动中,运动员相对于水面高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系:h(t0=-4.9t2+6.5t+10如t:00.5时,一一一一髓_(:】0=4.05(mys)入飞荨位【m)计算运动员在0不t不史这段时间里的平均速度:v=0mys,思考下面的问题:(0)运动员在这段时间里是静止的因?(2)你认为用平均速度描述运动员的选动状态有什么问题?答:D不是。先上升,后下降。(2)平均速度只能粗略的描述运动员的运动状态它并不能反映某一刻的运动状态。睫樽囊学一乎均变花蓁)“13v黛V袁-q从V1增加
3、到V2时,气球的V一平均膨胀玄21在例2中:对于函数h=-5=MQ3)-h(0_405(m19)4.9t2+6.5t+10计算运动员在0s到个0.5-00.5s内的仓青l/国T1-航地,函数f(x)在区间x1,x2上的/.(兀l)一/(-刀2)平均变化率兀l_兀2荣的勒学平玟化升“匕40X】_苋2习惯上用&表示-x,即Ar=吊-)用Ay表示fca)-(r),即Ay=一an)-个(x)所以,平均变化率可以表示为:&yfosy)UftUL-FAA5TLf(x)A加一义AX平均变化率的定义平均变化率:式子了n)一/(x_)加一力称为函数f(x)从x1到乙的平均变化率.后AX=灯-X,人一=f(X)-f(x),则foa)-fCa)_Ay限二芸A,Ar是一个整体符旷而不是A与x朝乘可把Ax看作是相对于5的一个“增量“,可Ax佐替x:类似地,Ay=了m)-了x),于是，立均变化率可表示为羞办十bAy_fCa)-fGi)Ax加一页1、式二中丿x、人y的值可正、可负,但仁2的丿x值不能为0,人y的值史以为02、若函数f(刊为常函数时,人y=03、变式:了am)f(x)_一(a+A习一小(x)学一沥Ax7。芗J观察函数f的图象平均变化率一一一表示什么?
