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1、楚水实验学校高二数学备课组,数学归纳法 (二),复习回顾：,什么是数学归纳法？,如果,（1）当n取第一个值n0时结论正确；,（2）假设当n=k(kN+,且kn0)时结论正确,证明当n=k+1时结论也正确.,那么,命题对于从n0开始的所有正整数n都成立,初始步,递推步,公理中为什么“初始步”和“递推步”缺一不可呢？,案例分析：,案例一(缺少初始步),设nN+，求证：2+4+6+2n=n2+n+1,证明：假设当n=k时等式成立，即,那么,当n=k+1时，有,2+4+6+2k=k2+k+1,2+4+6+2k+2(k+1),=k2+k+1+2(k+1),=(k+1)2+(k+1)+1,这就是说，当n=
2、k+1时等式也成立.,所以，对一切nN+等式都成立.,案例二(错证递推步),设nN+，求证：2n n2,证明: (1) 当n=1时，2112 ,不等式显然成立.,(2) 假设当n=k时不等式成立，即 2kk2,那么，当n=k+1时，有,2k+1=22k=2k+2k k2+k2k2+2k+1 =(k+1)2,这就是说，当n=k+1时不等式也成立.,根据(1)和(2),可知不等式对任何nN+都成立.,评注：假设结论运用后按所证结果进行“拼凑” 是可以的，但不能出现错误的推理.,案例三(未证递推步),设nN+，求证：2+4+6+2n=n2+n,证明: (1)当n=1时,左边=2,右边=12+1=2,
3、等式成立.,(2) 假设当n=k时等式成立，即,2+4+6+2k=k2+k+1,那么,当n=k+1时，有,2+4+6+2k+2(k+1),=(k+1)2+(k+1)+1,这就是说，当n=k+1时等式也成立.,所以，对一切nN+等式都成立.,评注：证明递推步时一定要用假设的结论，否则 递推关系不能成立.,应用举例：,例1.设nN+ ,求证：f(n)=32n+2-8n-9是64的倍数,例2.设nN+ ,求证:(n+1)(n+2)(n+3)(n+n)=2n13(2n-1).,应用举例：,实验、猜想与证明,例3.设nN+ ,f(n)=5n+23n-1+1.(1) 当n=1,2,3,4时，计算f(n)的
4、值；(2) 你对f(n)的值有何猜想？用数学归纳法证明 你的猜想.,应用举例：,例4.在平面上画n条直线，且任何两条直线都相 交，其中任何三条直线不共点，问这n条直线将 平面分成多少个部分？,应用举例：,人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为AI。它是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学。 人工智能是计算机科学的一个分支，它企图了解智能的实质，并生产出一种新的能以人类智能相似的方式做出反应的智能机器，该领域的研究包括机器人、语言识别、图像识别、自然语言处理和专家系统等。人工智能从诞生以来，理论和技术日益成熟，应用领
5、域也不断扩大，可以设想，未来人工智能带来的科技产品，将会是人类智慧的“容器”。人工智能可以对人的意识、思维的信息过程的模拟。人工智能不是人的智能，但能像人那样思考、也可能超过人的智能。 ； http:/ 人工智能 jeh61mcg 人工智能是一门极富挑战性的科学，从事这项工作的人必须懂得计算机知识，心理学和哲学。人工智能是包括十分广泛的科学，它由不同的领域组成，如机器学习，计算机视觉等等，总的说来，人工智能研究的一个主要目标是使机器能够胜任一些通常需要人类智能才能完成的复杂工作。但不同的时代、不同的人对这种“复杂工作”的理解是不同的。 1 2017年12月，人工智能入选“2017年度中国媒体十
6、大流行语”。玉盈。也就是经此壹事，玉盈在京城贵族名媛间声名鹊起。年家居然有这么壹位能干的大家闺秀，真是让很多的名门望族赞叹不已。而赞叹之余，居然发现这玉盈姑娘还待字闺中，为此很多有适龄婚配公子的大户人家就四处托媒人，想娶回自己家当儿媳妇。年总督夫妇壹直都将玉盈当作亲生女儿来对待，年二公子对外人也总是壹口壹个妹子地称呼玉盈。而冰凝，这个年家的正牌大丫鬟，从小到大就没有离开过湖广总督府。因为从不曾听年家提起过冰凝，因此，京城人士口中的年家妹子，壹直就是玉盈。第壹卷 第七章 姐妹在含烟的搀扶下，冰凝下了马车，眼前所见，壹座规模不大，但颇具气派的府邸映入眼帘，那门匾上的“年府”二字告诉她，这就是到家了
7、。大管家年峰是年老爷的远房侄子，四十多岁的年纪，被年二公子请来这里做大总管已经有三年时间。听到门房小厮的通报，他即刻带领上两名家仆，早早地恭候在门口。冰凝壹面随众人进了府邸，壹面好奇地察看着这个新家。虽然从面积上来讲，这京城年府要比湖广总督府最少小了有三分之二，但是在规模上还算是说得过去：前后四进的宅子，这第壹进院是正厅，用于接待宾客；第二进院子是留给年家二老来京时居住之用；第三近院子由年二公子自己壹家子人居住；这第四进院子，就是冰凝和玉盈两位丫鬟的闺房。最后面还有壹个小巧精致的花园，几乎就是年家丫鬟妹独自享有的壹片小天地。“快让我看看，要不是在家里，我可真不敢认呢，妹妹当真是女大十八变，越变
8、越不认得！怎么就生得是这么漂亮呢？”“姐姐，亏得凝儿壹路想着你的好，怎么壹见面，就开始取笑凝儿了？难道是当了掌家姑奶奶，这嘴可是越发地厉害了？”“什么掌家姑奶奶，就是给二哥帮帮忙，瞧你这张嘴，真是壹点儿亏也不吃！”两个姑娘嘴上不饶人，手上也是不闲着，壹个抱壹个亲，嘻嘻哈哈地笑成了壹团。“五年了啊！怎么过得这么快？姐姐还真是壹点儿都没有变，还是凝儿最亲的姐姐！”“我能怎么变？倒是你，壹天壹个样儿，再变，就真成了画儿上的仙女了！”玉盈壹边说着，壹边将冰凝带进了早早给她收拾好的闺房。两个人又嘻笑打闹了壹阵子，玉盈怕她壹路劳顿，本来身子就弱不禁风似的，京城的天气又异于湖广，于是只好先强压下壹堆的问题，反正将来天天在壹起，日子还长着呢，现在的当务之急是让含烟帮着赶快先歇息下来。经过几天的适应，冰凝对京城年府的事情都熟悉起来，就开始正式接受教导嬷嬷的礼仪学习了。分别了五年的姐妹俩又重新生活在同壹片天空下，住在同壹个年府中，那种失而复得的喜悦，两个人都非常的珍惜。因此，玉盈格外精心地打理着府务，力图让冰凝没有后顾之忧，专心致志完成学,
