系统工程第4讲数学模型2

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1、,模型概念、定义与分类 重点：数学模型是一套数学关系式或数学符号，这些关系式或符号描述了系统的各种因素、特征、变量之间的数量关系或逻辑关系，是原型特性的数学描述。 模型分类 (按了解程度，可分为?) 机理模型及其建模方法典型特征（确定的组份、可靠物性基础数据、三传一反规律）、 建立手段（系统分析与数学推演）和实例 经验模型及其建模方法基本概念、建立手段（最小二乘法，使离差平方和最小）、统计检验和实例（F,有专门的计算机软件）,Review of last lecture ,模型评价:适用、简单、预测性好；,2.4.8 数值精度与数值稳定性,在求解方程组的过程中，需要特别注意数值精度问题。无论是

2、手算或利用计算机编程序计算，都必需在运算过程中尽可能保留较多的有效数字。否则，极可能使得最终结果面目全非。,思考：？,2.4.8 数值精度与数值稳定性,常见的均值计算问题：,曾有一种较为流行的观点，认为一般工程计算结果仅需取三、四位有效数字，故中间结果仅需取五、六位有效数字。此说未考虑数值稳定性问题，忽略了误差的传递与放大，仅适用于拉计算尺计算简单问题的场合。,计算量小，但样本较大时占用内存较多且影响精度,计算量稍多，但较为稳定， 适宜在线计算,精度高，计算量大,为均值近似值,直接法：,递推算法法：,二次均值法：,灰箱模型灰箱模型(Gray box)或概念模型(conceptual model

3、),指那些内部规律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做的问题。如气象学、生态学、经济学等领域的模型。主要步骤： 模拟(simulate)检验(verification) 验证(validation)评估(evaluate),模型化工作程序,模型评价,关于“三个箱子 ”,黑箱模型：属经验主义，数据里没有包含的情况，黑箱模型无法预测。外推受限。 白箱模型：为“量身度造” ，反映了过程的物理、化学等性质，对实际过程的数据没有太大的依赖，对数据中不包含的情况也能可靠地预测。但是白箱模型的结构有具体问题决定，得出的模型不一定容易使用。 灰箱模型：在实际中，人们经常在假设一个模型

4、结构的时候考虑进大大简化的过程机理，所以模型结构不是凭空拍脑袋出来，而是粗略地抓住了过程的基本特质，然后再用黑箱方法的“数据绞肉机”，将简化模型没有能够捕捉的细微末节一网打尽。这种模型结合了黑箱和白箱的特点。,过程模拟系统的模型,物性模型 系统结构模型 过程单元模型 经济分析（评价） 控制 管理 用户自编,2.5 流程结构模型概念：流程结构模型表达了系统中各个局部之间的连接关系，描述了组成系统的拓扑结构。 用途：解决全流程计算的顺序问题和连接上下游设备间的物流的取值问题。,拓扑（Topology）是将各种物体的位置表示成抽象位置。在网络中，拓扑形象地描述了流程的安排和配置，包括各种结点和结点的

5、相互关系。化工流程中的反应器、精馏塔等设备要实现互联，就需要以一定的结构方式进行连接，这种连接方式就叫做“拓扑结构”，通俗地讲这些单元设备如何连接在一起的。,流程结构模型的表达形式： 三个层次（形式）： 图形形式 （处于最外层，是最接近实际系统的层次） 矩阵形式 代数形式（最内层，适于计算机处理),图形表达方式： 工艺流程图（用图形符号表明工艺流程所使用的机械设备及其相互联系 的系统图。包括：PID图;PFD图) 信息流图（information flow diagram）由节点(模块，基本过程、基本单元或设备）+有向联线组成；有标号和名称；联线对应物流 信号流图（signal flow di

6、agram）：实际上是用一些点和支路来描述 系统（点代表物流，支路代表单元之间的函数关系，与单元并不一一对应）。,信息流图和信号流图的转换,信息流图和信号流图是在化工过程模拟中常用的两种表示物流之间相互关系的图例，信息流图和信号流图之间可以相互转换。通过信息流图可以得到设备和物流的全部信息，而信号流图只有各物流之间的关系，没有设备的信息。,信号流图,信息流图,2.5.1 图形表达方式（p32）,混合,换热,反应,分离,？,1,2,3,4,5,6,7,8,9,工艺流程简图,信息流图,？,例1,(能流),NOTE: 如果只采用物流的概念，由于物流之间的能量交换便会造成信息流图中连线的往返交叉和耦合

7、，导致分析问题的不便和模拟处理的困难，这时运用能流（Energy flow）的概念可使信息流图大为简化和明了，如： 水蒸气加热 水冷却（在水系统模拟时考虑） 冷却剂冷却（制冷系统模拟时考虑） 工艺物流之间的换热一股给出能流，另一股获得能流,合 成 塔,分 离 器,新鲜原料气,液氨,氨合成系统-信息流程图,例2,例3 乙烯氧化法制环氧乙烷,?,信息流图,反应器,分 离 器,简化工艺流程图,X0,X2,X1,X3,X6,X5,Note：,化工系统的工艺流程图可以方便的转化为信息流程图（亦称结构单元图）。结构单元称为节点，可以是一个单元设备，也可以是一个虚拟设备。 结构单元和物流分别进行编号，以便对

8、系统结构进行数学描述。其目的是用于对工艺流程图进行分析，以便计算机求解。 信息流程图与工艺流程图不一定是完全一一对应的（比如信息流图中的混合块(分流块），在生产现场可能就是一个三通，而某些次要的辅助设备，比如流程图中的泵，在流程图中绘出，在信息流图中却不一定出现。,2.5.2 系统结构模型的矩阵表达方式,过程系统的模型化是指用数学方法来描述系统结构，必须保证从模型返推回流程的唯一性。通常用矩阵来表示系统结构（也就是说用矩阵表示单元与单元、元与物流之间的关系）。常用的四种系统结构的矩阵表达方式： 过程矩阵(Process Matrix) 流线联系矩阵(Stream connection Matr

9、ix) 关联矩阵(Incidence Matrix) 邻接矩阵(Adjacency Matrix),1 )过程矩阵(Process Matrix)-Rp,在过程矩阵中，矩阵行的序号与结构单元的序号对应，各行中矩阵元素的数值为与该单元有关的物流号，并规定流入该单元的物流取正值，流出物流取负值。有关物流的先后次序是任意的。矩阵的行数对应模块数；列数对应单元模块的最大输入输出流线数。,以 单元为主,结构单元号 计算时名称 有关物流号1 MIXER 1 5 -22 REAO 2 -33 DISTIL 3 -4 -5 相应的过程矩阵为 Rp = 1 5 -22 -33 -4 -5,2）流线联系矩阵(St

10、ream connection Matrix)-Rs,在流线联系矩阵中，每条流线对应一行，有几条流线就有几行（总流线数=行数）。而矩阵只有两列（from单元和to单元）。每行中的列元素对应着该流线的来源模块（从模块）和去向模块(到模块)。 如果来源于系统以外或输出至系统外，则该列元素就取为0（意义？）。,Mix1 react1 sep1,以 物流为主,行号 从单元 到单元 1 混合 2 混合 反应器3 反应器 分离器4 分离器 5 分离器 混合器 相应的流线联系矩阵为 Rs= 0 mix01mix01 react1react1 sept01sept01 0sept01 mix01,Note：过

11、程矩阵与流线联系矩阵反映的信息是相同的！,3) 邻接矩阵(Adjacency Matrix)-Ra,表达两个单元之间的关系-或相互联接或不联接；一个由n个单元组成的系统的邻接矩阵是一个nn方阵。邻接矩阵中行和列的序号分别代表单元的序号。矩阵元素的数值由单元之间的连接情况决定。“行”代表来源节点（from单元），“列”代表物流目标节点（to 单元）。 Rij=1，有表示物流从单元i流向单元j Rij=0，无表示物流从单元i流向单元j,两个 单元的关系,4) 关联矩阵(Incidence Matrix),表示单元与物流的关系。在关联矩阵中，行序号与结构单元号对应（行数=节点数）而列序号与物流号对应

12、（列数=物流数）。矩阵中元素取值为逻辑值1，-1和0；矩阵中i行j列元素的值若为1，表示物流j流入单元i;若为1，表示j从单元i流出；若为0，表示物流j与单元i没有联系；当j列总合为零，且+1在-1之前出现，则表示该流股是（？）。,从关联矩阵中可以看出输入流、输出流及其循环流股。,单元 与物流有无关联,共同点：物理意义相同，都是系统结构的数学模型，与一定系统 结构相对应：表明了系统有哪些单元构成，这些单元是怎样联系的； 不同点：形式不同，按不同的需要建立，适应系统模型的不同求解方法。邻接矩阵比较简单，适合矩阵运算；过程矩阵和流线联系矩阵适合做顺序计算的需要；从关联矩阵中可以容易地看出输入流、输

13、出流及其循环流股。,四种系统结构的数学模型评述,例题 试建立图23a所示精馏塔系统的结构模型，请写出系统的过程矩阵、邻接矩阵、关联矩阵。,过程矩阵、邻接矩阵和关联矩阵,过程矩阵的计算机程序实现,过程矩阵在稳态流程模拟软件中是最重要和常用的流程结构表达方式。基于过程矩阵，计算机程序就可“自动”地完成全流程中各个部分的计算。其实现步骤大致为：(对照p32-33） （1）用过程矩阵表达流程结构;（将矩阵输入到计算机中，或由计算机自动识别） （2）逐行搜索过程矩阵，识别当前所处理的设备（模块）; （3）识别当前设备的输入和输出物流; （4）由当前设备的输入物流状态（已知或已赋值）和设备参数计算设备的运

14、行状态; （5）根据设备状态给相应的输出物流状态赋值。当过程矩阵的每一行都处理完毕，整个流程的计算就告一段落。,2.5.3 代数表达方式,过程矩阵在稳态流程模拟软件中是最重要和常用的流程结构表达方式。基于过程矩阵，计算机程序就可“自动”地完成全流程中各个部分的计算。其实现步骤大致为：(对照p32-33） （1）用过程矩阵表达流程结构（将矩阵输入到计算机中，或由计算机自动识别）; （2）逐行搜索过程矩阵，识别当前所处理的设备（模块）; （3）识别当前设备的输入和输出物流; （4）由当前设备的输入物流状态（已知或已赋值）和设备参数计算设备的运行状态; （5）根据设备状态给相应的输出物流状态赋值。当过程矩阵的每一行都处理完毕，整个流程的计算就告一段落。,连结方程：采用数学的办法表示个单元之间的物流联系,1,2,3,2 2,3 3,4,1,连结方程如下：,上述连接方程，再加上个单元设备的模型方程所组成的大型方程组，就是系统的数学模型。,5 5,2.5.3 代数表达方式,下游模块（设备）输入物流状态参数=上游模块（设备）的输出物流状态参数,