《高中数学（苏教版）选修2-1【配套备课资源】第3章 3.2.3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学（苏教版）选修2-1【配套备课资源】第3章 3.2.3（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2.3 空间的角的计算空间的角的计算一、基础过关1 若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 150，则直线 l 与平面 所成的角等于_2 若两个平面 ， 的法向量分别是 n(1,0,1)，(1,1,0)则这两个平面所成的锐二面角的度数是_3 已知 A，P，平面 的一个法向量 n，则直PA(32，12， 2)(0，12， 2)线 PA 与平面 所成的角为_4 在正三棱柱 ABCA1B1C1中，若 ABBB1，则 AB1与 C1B 所成角的大小为2_5 如图，在正四面体 ABCD 中，点 E 为 BC 中点，点 F 为 AD 中点，则异面直线 AE 与CF 所成角的余弦值为_6 如图
2、所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N，P 分别是棱 CC1，BC，A1B1上的点，若B1MN90，则PMN 的大小是_二、能力提升7 二面角的棱上有 A、B 两点，直线 AC、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB.已知 AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为17_8 设 ABCD、ABEF 都是边长为 1 的正方形，FA平面 ABCD，则异面直线 AC 与 BF 所成的角为_9 正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别是 A1D1、A1C1的中点求异面直线 AE 与 CF所成角的余弦值10如图，已知点 P 在正方体 ABCDABCD的对角线
3、BD上，PDA60.(1)求 DP 与 CC所成角的大小；(2)求 DP 与平面 AADD 所成角的大小11如图，四棱锥 FABCD 的底面 ABCD 是菱形，其对角线 AC2，BD.CF 与平面2ABCD 垂直，CF2.求二面角 BAFD 的大小三、探究与拓展12如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形，EFAB，EFFB，AB2EF，BFC90，BFFC，H 为 BC 的中点(1)求证：FH平面 EDB；(2)求证：AC平面 EDB；(3)求二面角 BDEC 的大小答案答案160 260 360 490 5 690 760 860 239解 不妨设正方体棱长为 2，分别
4、取 DA、DC、DD1所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则 A(2,0,0)、C(0,2,0)、E(1,0,2)、F(1,1,2)，由(1,0,2)，(1，1,2)，AECF得|，|.AE5CF61043.AECF又|cos， AECFAECFAECFcos， ，30AECFcos， ，异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值为.AECF3010301010解 (1)如图，以 D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系 Dxyz.则(1,0,0)，(0,0,1)DACC连结 BD，BD.在平面 BBDD 中，延长 DP 交 BD于 H.设(m，m,1) (m0)，
5、DH由已知，60，DHDA由|cos， ，DADHDADHDHDA可得 2m.2m21解得 m，所以.22DH(22，22，1)因为 cos，DHCC，22 022 01 11 222所以，45，即 DP 与 CC所成的角为 45.DHCC(2)平面 AADD 的一个法向量是(0,1,0)DC因为 cos，DHDC ，22 022 11 01 212所以，60.DHDC可得 DP 与平面 AADD 所成的角为 30.11解 过点 A 作 AE平面 ABCD.以 A 为坐标原点，、 、方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标BDACAE系(如图)于是 B，D，(22，1，0)(
6、22，1，0)F(0,2,2)设平面 ABF 的法向量 n1(x，y，z)，则由Error!Error!得Error!Error!令 z1，得Error!Error!所以 n1(，1,1)2同理，可求得平面 ADF 的法向量 n2(，1,1)由 n1n20 知，2平面 ABF 与平面 ADF 垂直，所以二面角 BAFD 的大小等于 .212(1)证明 四边形 ABCD 为正方形，ABBC.又 EFAB，EFBC.又 EFFB，EF平面 BFC.EFFH，ABFH.又 BFFC，H 为 BC 的中点，FHBC.FH平面 ABC.以 H 为坐标原点，为 x 轴正方向，为 z 轴正方向，建立如图所示
7、的空间直角坐HBHF标系设 BH1，则 A(1，2,0)，B(1,0,0)，C(1,0,0)，D(1，2,0)，E(0，1,1)，F(0,0,1)设 AC 与 BD 的交点为 G，连结 GE，GH，则 G(0，1,0)，(0,0,1)又(0,0,1)，GEHF.HFGE又 GE平面 EDB，HF平面 EDB，FH平面 EBD.(2)证明 (2,2,0)，(0,0,1)，0，ACGEACGEACGE.又 ACBD，EGBDG，AC平面 EDB.(3)解 (1，1,1)，(2，2,0)设平面 BDE 的法向量为 n1(1，y1，z1)，BEBD则n11y1z10，n122y10，BEBDy11，z10，即 n1(1，1,0)(0，2,0)，(1，1,1)CDCE设平面 CDE 的法向量为 n2(1，y2，z2)，则 n20，y20，n20，CDCE1y2z20，z21，故 n2(1,0，1)cosn1，n2 ，n1n2|n1|n2|12 212n1，n260，即二面角 BDEC 的大小为 60.
