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1、第第 5 5 课时课时 等差数列的应用等差数列的应用1.理解等差数列的定义、通项公式、前n项和公式的性质. 2.能应用等差数列的定义、通项公式、前n项和公式的性质解决相关的数列问题.前面我们共同学习了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式等基本概念,理解了累 加法、归纳法、倒序相加法等,今天我们将共同探究等差数列的定义、通项公式、前n项和 公式的相关性质及其应用,这些性质在数列中有着重要的地位.问题 1:等差数列通项公式的性质 (1)若m+n=p+q,则 ,特别:若m+n=2p,则 . (2)am,am+k,am+2k,am+3k,仍是等差数列,公差为 . (3)数列an、bn都是等差数列,公
2、差分别为d1,d2,则数列can,c+an,pan+qbn 也是等差数列,其中c、p、q均为常数,公差分别为 、 、 .问题 2:等差数列的前n项和的简单性质 (1)已知an是等差数列,求前n项和的最值时:若a10,d0,且满足则前n项和Sn . 0, + 1 0,?(2)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也是等差数列,公差为 . (3)在等差数列an中,当项数为偶数 2n时,S偶-S奇= ;S偶S奇= ;当项数为奇数 2n+1 时,S奇-S偶= ;S偶S奇= . 问题 3:等差数列的判定方法 (1)定义法:对于n2 的任意自然数,验证 为同一常数. (2)等差中项法:验证 2an-1=
3、 (n3,nN+)成立. (3)通项公式法:验证an= . (4)前n项和公式法:验证Sn= . 问题 4:通项公式,前n项和公式的函数意义 (1)当d0 时,通项公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d是关于n的一次函数.(2)将公式Sn=na1+变形整理得Sn= n2+(a1-)n.故当d0 时,Sn是关于n的一( 1) 2 2 2个二次函数,它的图像是抛物线 上横坐标为正整数的一群孤立的点. (3) = n+(a1-)是关于n的一次函数(d0)或常数函数(d=0),即数列是以 2 2为公差的等差数列. 1.等差数列an中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+a6+a7等于( ).
4、A.21 B.28 C.32 D.35 2.在等差数列an中,2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=24,则此数列的前 13 项之和等于( ).A.13B.26C.52D.156 3.等差数列an的前n项和为Sn,若a1+a9+a11=30,那么S13的值是 . 4.已知an为等差数列,若0,S130,且Sm+10 C.Sm0,且Sm+10D.Sm0,a110,Sn取最小正值时n=19.重点难点探究探究一:【解析】(法一)设所求的通项公式为an=a1+(n-1)d,则(1+ 2) + (1+ 7) + (1+ 12) = 12, (1+ 2)(1+ 7)(1+ 12) = 28,?即1+
5、 7 = 4, (1+ 2)(1+ 7)(1+ 12) = 28,?把代入得(a1+2d)(a1+12d)=7,a1=4-7d,代入,(4-5d)(4+5d)=7,即 16-25d2=7,解得d= .3 5当d=时,a1=-,an=- +(n-1)= n-;3 51 51 53 53 54 5当d=-时,a1=,an=+(n-1)(-)=- n+.3 541 541 53 53 544 5(法二)a3+a13=a8+a8=2a8,又a3+a8+a13=12,故知a8=4,代入已知得解得或3+ 13= 8, 313= 7,?3= 1, 13= 7? 3= 7, 13= 1.?由a3=1,a13=
6、7 得d= .13 313 37 1 103 5an=a3+(n-3)= n- .3 53 54 5由a3=7,a13=1,同理可得:an=- n+.3 544 5【小结】注意到等差数列中,若m,n,p,qN+且m+n=p+q,则am+an=ap+aq,而a3,a8,a13中的下标 3,8,13 间的关系:3+13=8+8,从而得到a3+a13=a8+a8=2a8.探究二:【解析】由数列an为等差数列,则S3,S6-S3,S9-S6为等差数列,即 2(S6-S3)=S3+(S9-S6),S3=9,S6=36,S6-S3=27,a7+a8+a9=S9-S6=45.【小结】数列an是等差数列,前n
7、项和是Sn,那么Sm,S2m-Sm,S(k+1)m-Skm,(kN+)是等差数列.探究三:【解析】(1)依题意有:3= 1+ 2 = 12,12= 121+12 11 2 0,13= 131+13 12 2 a2a3a12a13,因此,在S1,S2,S12中Sk为最大值的条件为:ak0 且ak+1a2a12a13,因此若在 1k12 中有自然数k,使得ak0,且ak+10,a6-a70,故在S1,S2,S12中2 131 6S6最大.(法三)依题意得:Sn=na1+(n-1)d=n(12-2d)+(n2-n)=n-(5-)2-(5-)2, 2 2 21 224 824 d0,Sm+1=(m+1
8、)1+ 0, 1+ + 1 0,?1+ 21+ + 120.3.2n+3 由题意得=n+4,即Sn=n2+4n,当n2 时,an=Sn-Sn-1=n2+4n-(n-1)2+4(n-1)=2n+3,当n=1 时,a1=S1=5 符合上式,an=2n+3.4.解:an=2n+1,a1=3,Sn=n2+2n,=n+2,(3 + 2 + 1) 2是公差为 1,首项为 3 的等差数列,前 10 项和为T10=310+1=75.10 9 2全新视角拓展A 根据等差数列的定义和性质可得S8=4(a3+a6),又S8=4a3,所以a6=0,又a7=-2,所以a8=-4,a9=-6.思维导图构建2an=an-1+an+1 等差 m2d
