《高中数学 2.5 等比数列的前n项和教案1 新人教a版必修5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 2.5 等比数列的前n项和教案1 新人教a版必修5（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.52.5 等比数列的前等比数列的前n项和项和讲授新课 提出问题课本“国王对国际象棋的发明者的奖励”分析问题如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的 首项是 1，公比是 2，求第一个格子到第 64 个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比 数列的前 64 项的和。下面我们先来推导等比数列的前等比数列的前 n n 项和公式。项和公式。 1、 等比数列的前等比数列的前 n n 项和公式：项和公式：当1q时，qqaSnn1)1 (1 或qqaaSn n11当 q=1 时，1naSn当已知1a, q, n 时用公式；当已知1a, q, na时，用公式.公式的推导方法一：公
2、式的推导方法一：一般地，设等比数列naaaa,321它的前 n 项和是nSnaaaa321由 1 1321n nnn qaaaaaaS得nn nnn n qaqaqaqaqaqSqaqaqaqaaS11 13 12 111 12 12 111 n nqaaSq11)1 ( 当1q时，qqaSnn1)1 (1 或qqaaSn n11当 q=1 时，1naSn公式的推导方法二：公式的推导方法二：有等比数列的定义，qaa aa aann12312根据等比的性质，有qaSaS aaaaaannnnn112132 即 qaSaSnnn1qaaSqnn1)1 (（结论同上）围绕基本概念，从等比数列的定义出
3、发，运用等比定理，导出了公式公式的推导方法三：公式的推导方法三：nSnaaaa321)(13211naaaaqa11nqSa)(1nnaSqaqaaSqnn1)1 (（结论同上） 解决问题解决问题 有了等比数列的前 n 项和公式，就可以解决刚才的问题。由11,2,64aqn可得1(1) 1nnaqSq=641 (1 2 ) 1 2 =6421。6421这个数很大，超过了191.84 10。国王不能实现他的诺言。等比数列的前等比数列的前n n项和公式：项和公式：当1q时，qqaSnn1)1 (1 或qqaaSn n11 当q=1 时，1naSn思考：思考：什么时候用公式（1） 、什么时候用公式（
4、2）？ （当已知a1, q, n 时用公式；当已知a1, q, an时，用公式.） 例题讲解例题讲解 例 1：求下列等比数列前 8 项的和（1）21，41，81， （2）0,2431,2791qaa解：由a1=21，, 8,21 21 41nq得 .2562552112112188 S例 2：某商场第一年销售计算机 5000 台，如果平均每年的售价比上一年增加 10，那么从第一年起，约几年内可使总销售量达到 30000 台（保留到个位）？解：根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所以从第一年起，每年的销售量组成一个等比数列an,其中a1=5000, ,30000, 1 . 1%101n
5、Sq 于是得到.300001 . 11 )1 . 11 (5000n整理得. 6 . 11 . 1n两边取对数,得6 . 11 . 1lggn 用计算器算得5n(年).答:约 5 年内可以使总销售量达到 30000 台.例 3求和2323(0)n nSxxxnxx解：解：由式子特点，两边同乘x，然后相减即得一等比数列的求和问题，但应注意公比 的讨论当1x 时，(1)1232nn nSn 当1x 时，2323n nSxxxnx，234123n nxSxxxnx2311(1)(1)1n nnn nxxx Sxxxxnxnxx12(1) (1)1nnnxxnxSxx12(1)(1)2 (1)(01)
6、(1)1nnnn nx Sxxnxxxxx且.课堂练习课堂练习 课本 P58 的练习 1、2、3 .课时小结课时小结 等比数列求和公式：当 q=1 时，1naSn；当1q时，qqaaSn n11或qqaSnn1)1 (1.( (七七) ) 课堂小结课堂小结.课后作业课后作业 课本 P61 习题 A 组的第 1、2 题 六 教学反思 本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课 堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等， 最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。特殊数列求和29 30221T一般情况下等比数
7、列求和1 12 111n nqaqaqaaS公式应用错位相减法方程（组）思想：知三求二2.5.2 等比数列的前 n 项和(2)教案 二.讲授新课1、Sn为等比数列的前n项和, 0nS ，则),(,* 232NkSSSSSkkkkk是等比数列解：设等比数列 na首项是1a，公比为 q,当q=1 且k为偶数时，kkkkkSSSSS232,不是等比数列.此时，kkkkkSSSSS232 =0.(例如：数列 1,1,1,1,是公比为1 的等比数列，46242SSSSSS2=0 )当q1 或k为奇数时，kSkaaaa3210kkSS2)(321kkaaaaq0kkSS23)(3212 kkaaaaq0k
8、kkkkSSSSS232,（Nk）成等比数列评述：注意公比q的各种取值情况的讨论，不要忽视等比数列的各项都不为 0 的前提条件2、设a为常数，求数列a，22a，33a，nna，的前n项和；（1）0a时，0nS ；（2）0a时，若1a，则) 1(21321nnnSn；若1a，)1 (1nn nnnaaaaSS，) 1(1 )1 (1 2nn nnaanaaS.三例题讲解例 1 已知等比数列na中, 1640,2084SS,求12S.设问 1:能否根据条件求1a和 q ？ 如何求？ 一定要求 q 吗？(基本量的确定)设问 2:等比数列中每隔 4 项的和组成什么数列？ (探究等比数列内在的联系)设问
9、 3:若题变: 数列 na是等比数列,且2,(0)nnSa Sb ab求3nS22 2 322,()()nnnn nnnn nSSbabaaabbqSSSSqbbaSaaa引导学生归纳:若 na是等比数列,公比为 q,则每隔 n 项的和组成一个首项为nS,公比为nq的等比数列.(学生类比等差数列相关结论)说明解题首先考虑的是通法,先确定基本量1,a q然后再求和，其次分析题目的特点、内在结构,探索规律,并从特殊向一般推广，注意培养学生思维的严谨性.例 2.等差数列an中,a1=1,d=2,依次抽取这个数列的第 1,3,32,，3n-1项组成数列bn,求数列bn的通项和前n项和Sn.解:由题意a
10、n =2n-1,故, 1321 31 n nnabSn=b1+b2+bn=2(1+3+32+3n-1)-n=3n-n-1. 例例 3 3 求下列数列的前n项和1,4, 7,10,( 1) (32),nn；1111,12 123 1234123n 解：解：n为偶数时，令2 ()nk kN，23147 10( 1) (32)32n nknSSnk （相邻两项和为） ；n为奇数时，令21()nkkN，21213123(61)2nkknSSS kakk所以31()2 3()2nnn Snn 为奇数为偶数点拨点拨：本题运用了并项求和2112()(1)1ann nnn1111111122(1)()()()
11、2(1)22334111nnSnnnn例 4某商店采用分期付款元的方式促销一款价格每台为 6000 电的脑.商规店定，购买时先支付货款的31，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为 0.5% 到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？假设货主每月还商店a元，写出在第 i(i=1,2,36)个月末还款后，货主对商店欠款数的表达式. 每月的还款额为多少元（精确到 0.01）？ 引导学生,认真阅读题目,理解题意, 月底等额还款,即每月末还款数一样，月底还款后的欠款数iy与第 i-1 个月底还款后的欠款数1iy的关系是第1(1 0.05%)iiy
12、ya,(学生分析)三年内还清转化为数学语言是: 360y解(1)因为购买电脑时,货主欠商店32的货款,即4000326000 (元),又按月利率 0.5%到第一个月底的欠款数应为 4000(1+0.5%)=4020(元).即到第一个月底,欠款余额为 4020 元.(2)设第 i个月底还款后的欠款数为 yi,则有y1=4000(1+0.5%)-ay2=y1(1+0.5%)-a=4000(1+0.5%)2-a(1+0.5%)-ay3=y2(1+0.5%)-ay3=y2(1+0.5%)-a=4000(1+0.5%)3-a(1+0.5%)2-a(1+0.5%)-ayi=y1i(1+0.5%)-a=40
13、00(1+0.5%)i-a(1+0.5%)1i-a(1+0.5%)2i- -a,整理得yi =4000(1+0.5%)i-%5 . 01%)5 . 01 (i a .(i=1,2,36)(3)因为 y36=0,所以4000(1+0.5%)36-%5 . 01%)5 . 01 (36a =0即每月还款数a=69.1211%)5 . 01 (%5 . 0%)5 . 01 (40003636 (元)所以每月的款额为 121.69 元. 说明 解应用题先要认真阅读题目,一般分为粗读,细读,精读,准确理解题意,尤其是一些 关键词:”等额还款”,”月利率”,”第 i 个月末还款后欠款表达式”等; 理解题意
14、后,引导学生将文字语言向数字语言转化,建立数学模型,再用数学知识解决问题, 并使原问题得到尽可能圆满的解答.四 反思总结，当堂检测。 教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测：1.如果将例 4 的还款期限从三年改为一年,其他条件不变,那么每次付款额a将是多少?2.一套住房的建筑面积为 100 平方米,房价为 9000 元/平方米.买房者若先付房价的31,其余款进行商业贷款,次月开始还贷款,按每月等额还款的方式十年还清欠款,贷款十年的月利 率是 0.54%.按月结息,买房者每月应还款多少元?(精确到元) 数学建模的方法； 关注学生解题的规范性,准确度及速度. 五.课后小结 (引导学生归纳,教师提炼) (1)主要内容:公式的灵活运用,求和公式解决应用问题; (2)数学思想方法:分类讨论、方程、转化与化归等.六教学反思 ： 本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上 师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最 后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。板书：略
