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1、第第 1 1 课时课时 数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(通项公式、列表、递推公式、图像法). 2.通过对简单数列的观察与分析归纳,认识数列是反映自然的基本数学模型. 3.能简单地总结数列的规律与表示方法,理解数列与函数的关系.(1)国际象棋的传说:在一张棋盘的第一个小格内放一粒麦子,在第二个小格内放两粒, 在第三个小格内放四粒,照这样下去,每一小格都比前一小格加一倍. (2)古语:一尺之棰,日取其半,万世不竭. (3)童谣:一只青蛙,一张嘴,两只眼睛,四条腿;两只青蛙,两张嘴,四只眼睛,八条腿;三 只青蛙,三张嘴,六只眼睛,十二条腿.问题 1
2、:数列的定义:按 排列的一列数叫作数列.数列的项:数列中的每 一个数都叫作这个 ,各项依次叫作这个数列的第 1 项(或首项),第 2 项 第n项 通项公式:如果数列an的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成 ,那 么这个式子就叫作这个数列的通项公式. 问题 2:数列的分类:(1)按项数分类: 和 . (2)按数列的单调性分类: 、 及 . (3)一个数列,如果从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,这样的 数列叫 . 问题 3:数列中的项与集合中的元素相比较异同如下: 相同点:数列中的每一项都是 、集合中的每一个元素都是 . 不同点: 重复性:数列中的某些项可以
3、 、集合中的每一个元素都 . 有序性: 数列中的项 、集合中的元素 . 范围: 数列中的每一项都是 、集合中的元素可以 . 问题 4:数列的表示方法: 、 、 及 . 数列的前n项和记作Sn= . 1.把自然数的前五个数:排成 1,2,3,4,5;排成 5,4,3,2,1;排成 3,1,4,2,5;排成 2,3,1,4,5,那么可以叫作数列的有( )个.A.1 B.2 C.3 D.42.已知数列an的通项公式为an=,则该数列的前 4 项依次为( ).1 + ( 1) + 1 2A.1,0,1,0B.0,1,0,1C.,0, ,0 D.2,0,2,01 21 23.设数列an满足:a1=2,a
4、n+1=1-,则a4= . 1 4.已知an满足a1=3,an+1=2an+1,试写出该数列的前 5 项,并用观察法写出这个数列的一个 通项公式.根据数列的前几项写出通项公式 写出下列数列的一个通项公式:(1)1,-1,1,-1,; (2)3,5,9,17,33,;(3) ,2, ,8,.1 29 225 2待定系数法求通项公式 已知数列an中,a1=3,a10=21,通项an是项数n的一次函数. (1)求an的通项公式,并求a2015; (2)若bn是由a2,a4,a6,a8,组成,试归纳bn的一个通项公式.已知数列的单调性求参数 若an=n2+n,且数列an为递增数列,则实数的取值范围是
5、. 写出下列数列的一个通项公式:(1)1,0,-,0, ,0,-,0,;1 31 51 7(2)0.7,0.77,0.777,.已知数列an中,a1=-1,a2=0 且an=xn2+yn,求an.已知数列an的通项公式为an=n2-5n+4. (1)数列中有多少项是负数? (2)n为何值时,an有最小值?并求出最小值. (3)设数列an的前n项和Sn,求Sn的最小值.1.已知数列an的通项公式为an=n2-n-50,则-8 是该数列的( ). A.第 5 项 B.第 6 项 C.第 7 项 D.非任何一项 2.数列 1,3,6,10,的一个通项公式是( ).A.an=n2-n+1 B.an=C
6、.an=D.an=n2+1( 1) 2( + 1) 23.已知数列an的通项公式为an=(nN+),那么是这个数列的第 项. 1 ( + 2)1 1204.数列an中,已知an=(nN+).2+ 1 3(1)写出a10,an+1;(2)79 是否是数列中的项?如果是,是第几项?2 3(2009 年北京卷)已知数列an满足:a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,nN+,则a2009= ,a2014= . 考题变式(我来改编):第一章 数 列第 1 课时 数列的概念与简单表示法知识体系梳理问题 1:一定次序 数列的项 an=f(n)问题 2:(1)有穷数列 无穷数列 (2)递增数列 递减数
7、列 常数列 (3)摆动数列问题 3:确定的 确定的 重复 不能重复 有顺序 无顺序 数 不是数问题 4:列表法 图像法 通项公式法 递推公式法 a1+a2+an基础学习交流1.D 按照数列定义得出答案 D.2.A 将n=1,2,3,4 代入通项公式可知,应选 A.3.2 a2=,a3=-1,a4=2.1 24.解:a1=3,an+1=2an+1,a2=7,a3=15,a4=31,a5=63,注意到:3=22-1,7=23-1,15=24-1,31=25-1,猜得an=2n+1-1.重点难点探究探究一:【解析】(1)这是一个常用的摆动数列,奇数项为正,偶数项为负,所以它的通项可以是an=(-1)
8、n+1(nN+)或an=cos(n+1)(nN+)或an=sin (nN+).2 1 2(2)观察发现每项减 1 即为 2 的n次方,所以an=2n+1(nN+).(3)统一写成分母为 2 的分数,发现分子是n的平方,故an=(nN+).2 2【小结】已知数列的前几项,写出数列的通项公式,主要从以下几个方面来考虑:(1)对于正负交错出现的数列,符号用(-1)n与(-1)n+1来调节,这是因为n和n+1 奇偶交错.(2)此类问题虽无固定模式,但也有其规律可循,主要用观察、比较、归纳、转化等方法.(3)对于分数形式的数列,分子、分母可分别找通项,并充分借助分子、分母的关系.探究二:【解析】(1)设
9、an=kn+b,则解得 + = 3, 10 + = 21,? = 2, = 1.?an=2n+1(nN+),a2015=4031.(2)又a2,a4,a6,a8,即为 5,9,13,17,bn=4n+1(nN+).【小结】数列的通项公式an是关于n(nN+)的函数,即an=f(n).待定系数法是求通项公式的一种常用方法.探究三:【解析】(n,an)(nN+)是函数f(x)=x2+x图像上的点,且数列an为递增数列,只需-1,即-2,的取值范围是-2,+). 2问题递增数列是单调递增函数吗?结论利用二次函数的单调性时,忽视了数列的离散型特征.数列an为递增数列,只要求满足a1-3,的取值范围是(
10、-3,+).3 2 23 2【答案】(3,+)【小结】此题极易出错,考虑问题要全面.思维拓展应用应用一:(1)从原数列不能看出通项公式,但可改写为 , ,-, , , ,.分母依次为1 10 21 30 41 50 61,2,3,4,分子依次为 1,0,-1,0,呈周期性变化,可以用 sin 表示,也可用 2cos 表示,故an=(nN+)或an=(nN+). 1 22 12(2)0.9,0.99,0.999,的通项公式为an=1-(nN+),0.7,0.77,0.777,的通项110公式为an=(1-)(nN+).7 9110应用二:由1= + = 1, 2= 4 + 2 = 0,?可得x=
11、1,y=-2.an=n2-2n(nN+).应用三:(1)由an=n2-5n+40,S3,S4最小,且S3=S4=-4.基础智能检测1.C 由n2-n-50=-8,得n=7 或n=-6(舍去).2.C 令n=1,2,3,4,代入 A、B、C、D 检验即可.排除 A、B、D,从而答案是 C.3.10 =,n(n+2)=1012,n=10.1 ( + 2)1 1204.解:(1)a10=,an+1=.109 32+ 3 + 1 3(2)设an=79 ,即=,解得n=15 或n=-16(舍去),即 79 是数列中的第 15 项.2 32+ 1 3239 32 3全新视角拓展1 0 a2009=a4503-3=1,a2014=a1007=a4252-1=0.思维导图构建有序性 集合无序性
