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1、1.2.11.2.1 中心投影与平行投影中心投影与平行投影 1.2.21.2.2 空间几何体的三视图空间几何体的三视图一、教材分析一、教材分析在上一节认识空间几何体结构特征的基础上,本节来学习空间几何体的表示形式,以 进一步提高对空间几何体结构特征的认识.主要内容是:画出空间几何体的三视图.比较准确地画出几何图形,是学好立体几何的一个前提.因此,本节内容是立体几何的 基础之一,教学中应当给以充分的重视.画三视图是立体几何中的基本技能,同时,通过三视图的学习,可以丰富学生的空间 想象力.“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图.光线自物体的前面 向后投影所得的投影图称为“正视图”
2、,自左向右投影所得的投影图称为“侧视图” ,自上 向下投影所得的投影图称为“俯视图”.用这三种视图即可刻画空间物体的几何结构,这种 图称之为“三视图”.教科书从复习初中学过的正方体、长方体的三视图出发,要求学生自己画出球、 长方体的三视图;接着,通过“思考”提出了“由三视图想象几何体”的学习任务.进行几 何体与其三视图之间的相互转化是高中阶段的新任务,这是提高学生空间想象力的需要, 应当作为教学的一个重点.三视图的教学,主要应当通过学生自己的亲身实践,动手作图来完成.因此,教科书主 要通过提出问题,引导学生自己动手作图来展示教学内容.教学中,教师可以通过提出问 题,让学生在动手实践的过程中学会
3、三视图的作法,体会三视图的作用.对于简单几何体 的组合体,在作三视图之前应当提醒学生细心观察,认识了它的基本结构特征后,再动手 作图.教材中的“探究”可以作为作业,让学生在课外完成后,再把自己的作品带到课堂上 来展示交流.值得注意的问题是三视图的教学,主要应当通过学生自己的亲身实践、动手作图来完 成.另外,教学中还可以借助于信息技术向学生多展示一些图片,让学生辨析它们是平行投 影下的图形还是中心投影下的图形. 二、教学目标二、教学目标 1 1知识与技能知识与技能 (1)掌握画三视图的基本技能 (2)丰富学生的空间想象力 2 2过程与方法过程与方法 主要通过学生自己的亲身实践,动手作图,体会三视
4、图的作用。 3 3情感、态度与价值观情感、态度与价值观 (1)提高学生空间想象力 (2)体会三视图的作用 三、重点难点三、重点难点教学重点:教学重点:画出简单组合体的三视图,给出三视图和直观图,还原或想象出原实际图 的结构特征.教学难点:教学难点:识别三视图所表示的几何体. 四、课时安排四、课时安排 1 课时 五、教学设计五、教学设计 (一)导入新课(一)导入新课 思路思路 1.1.能否熟练画出上节所学习的几何体?工程师如何制作工程设计图纸?我们常用三视图和直观图表示空间几何体,三视图是观察者从三个不同位置观察同一个几何体而画出的图形;直观图是观察者站在某一点观察几何体而画出的图形.三视图和直
5、 观图在工程建设、机械制造以及日常生活中具有重要意义.本节我们将在学习投影知识的基 础上,学习空间几何体的三视图. 教师指出课题:投影和三视图教师指出课题:投影和三视图. . 思路思路 2.2. “横看成岭侧成峰” ,这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同,要比较 真实地反映出物体的结构特征,我们可从多角度观看物体,这堂课我们主要学习空间几何 体的三视图.在初中,我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图(正视图、 侧视图、俯视图) ,你能画出空间几何体的三视图吗? 教师点出课题:投影和三视图教师点出课题:投影和三视图. .(二)推进新课、新知探究、提出问题(二)推进新课、新
6、知探究、提出问题如图 1 所示的五个图片是我国民间艺术皮影戏中的部分片断,请同学们考虑它们是 怎样得到的?图 1 通过观察和自己的认识,你是怎样来理解投影的含义的? 请同学们观察图 2 的投影过程,它们的投影过程有什么不同?图 2 图 2(2) (3)都是平行投影,它们有什么区别? 观察图 3,与投影面平行的平面图形,分别在平行投影和中心投影下的影子和原图 形的形状、大小有什么区别?图 3活动:活动:教师介绍中国的民间艺术皮影戏,学生观察图片. 从投影的形成过程来定义. 从投影方向上来区别这三种投影. 根据投影线与投影面是否垂直来区别. 观察图 3 并归纳总结它们各自的特点. 讨论结果:讨论结
7、果:这种现象我们把它称为是投影. 由于光的照射,在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子,这种现象叫 做投影.其中,我们把光线叫做投影线,把留下物体影子的屏幕叫做投影幕. 图 2(1)的投影线交于一点,我们把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影; 图 2(2)和(3)的投影线平行,我们把在一束平行光线照射下形成投影称为平行投影. 图 2(2)中,投影线正对着投影面,这种平行投影称为正投影;图 2(3)中,投影 线不是正对着投影面,这种平行投影称为斜投影. 在平行投影下,与投影面平行的平面图形留下的影子和原平面图形是全等的平面图 形;在中心投影下,与投影面平行的平面图形留下的影子和原平面
8、图形是相似的平面图形. 以后我们用正投影的方法来画出空间几何体的三视图和直观图. 知识归纳:知识归纳:投影的分类如图 4 所示.图 4 提出问题提出问题在初中,我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图,请你回忆三 视图包含哪些部分?正视图、侧视图和俯视图各是如何得到的?一般地,怎样排列三视图?正视图、侧视图和俯视图分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观察到的几何 体的正投影图,它们都是平面图形.观察长方体的三视图,你能得出同一个几何体的正视图、 侧视图和俯视图在形状、大小方面的关系吗? 讨论结果:讨论结果:三视图包含正视图、侧视图和俯视图. 光线从几何体的前面向后面正投影,得到的
9、投影图叫该几何体的正视图(又称主视 图) ;光线从几何体的左面向右面正投影,得到的投影图叫该几何体的侧视图(又称左视图) ;光线从几何体的上面向下面正投影,得到的投影图叫该几何体的俯视图. 三视图的位置关系:一般地,侧视图在正视图的右边;俯视图在正视图的下边.如图 5 所示.图 5 投影规律: (1)正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度. (2)一个几何体的正视图和侧视图高度一样,正视图和俯视图长度一样,侧视图和俯 视图宽度一样,即正、俯视图
10、长对正;主、侧视图高平齐;俯、侧视图宽相 等.画组合体的三视图时要注意的问题: (1)要确定好主视、侧视、俯视的方向,同一物体三视的方向不同,所画的三视图可 能不同. (2)判断简单组合体的三视图是由哪几个基本几何体生成的,注意它们的生成方式, 特别是它们的交线位置. (3)若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,分界线和 可见轮廓线都用实线画出,不可见轮廓线,用虚线画出. (4)要检验画出的三视图是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征,即正、 俯视图长对正;正、侧视图高平齐;俯、侧视图宽相等,前后对应.由三视图还原为实物图时要注意的问题:我们由实物图可以画出它的三
11、视图,实际生产中,工人要根据三视图加工零件,需要 由三视图还原成实物图,这要求我们能由三视图想象它的空间实物形状,主要通过主、俯、 左视图的轮廓线(或补充后的轮廓线)还原成常见的几何体,还原实物图时,要先从三视 图中初步判断简单组合体的组成,然后利用轮廓线(特别要注意虚线)逐步作出实物图.(三)应用示例(三)应用示例 思路思路 1 1 例 1 画出圆柱和圆锥的三视图. 活动:活动:学生回顾正投影和三视图的画法,教师引导学生自己完成. 解:解:图 6(1)是圆柱的三视图,图 6(2)是圆锥的三视图.(1) (2) 图 6 点评:点评:本题主要考查简单几何体的三视图和空间想象能力.有关三视图的题目
12、往往依赖 于丰富的空间想象能力.要做到边想着几何体的实物图边画着三视图,做到想图(几何体的 实物图)和画图(三视图)相结合. 变式训练变式训练说出下列图 7 中两个三视图分别表示的几何体.(1) (2) 图 7 答案:答案:图 7(1)是正六棱锥;图 7(2)是两个相同的圆台组成的组合体.例 2 试画出图 8 所示的矿泉水瓶的三视图. 活动:活动:引导学生认识这种容器的结构特征.矿泉水瓶是我们熟悉的一种容器,这种容器 是简单的组合体,其主要结构特征是从上往下分别是圆柱、圆台和圆柱.图 8 图 9 解:解:三视图如图 9 所示. 点评:点评:本题主要考查简单组合体的三视图.对于简单空间几何体的组
13、合体,一定要认真 观察,先认识它的基本结构,然后再画它的三视图. 变式训练变式训练画出图 10 所示的几何体的三视图.图 10 图 11 答案:答案:三视图如图 11 所示.思路思路 2 2 例 1 (2007 安徽淮南高三第一次模拟,文 16)如图 12 甲所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E、F 分别是 AA1、C1D1的中点,G 是正方形 BCC1B1的中心,则四边形 AGFE 在该正方体的各个面上的投影可能是图 12 乙中的_.甲 乙 图 12 活动:活动:要画出四边形 AGFE 在该正方体的各个面上的投影,只需画出四个顶点 A、G、F、E 在每个面上的投影,再顺次连接即得
14、到在该面上的投影,并且在两个平行平面 上的投影是相同的. 分析:分析:在面 ABCD 和面 A1B1C1D1上的投影是图 12 乙(1) ;在面 ADD1A1和面 BCC1B1上的 投影是图 12 乙(2) ;在面 ABB1A1和面 DCC1D1上的投影是图 12 乙(3). 答案:答案:(1) (2) (3) 点评:点评:本题主要考查平行投影和空间想象能力.画出一个图形在一个平面上的投影的关 键是确定该图形的关键点,如顶点等,画出这些关键点的投影,再依次连接即可得此图形 在该平面上的投影.如果对平行投影理解不充分,做该类题目容易出现不知所措的情形,避 免出现这种情况的方法是依据平行投影的含义
15、,借助于空间想象来完成. 变式训练变式训练如图 13(1)所示,E、F 分别为正方体面 ADDA、面 BCCB的中心,则四边形 BFDE 在该正方体的各个面上的投影可能是图 13(2)的_.(1) (2) 图 13 分析:分析:四边形 BFDE 在正方体 ABCDABCD的面 ADDA、面 BCCB上 的投影是 C;在面 DCCD上的投影是 B;同理,在面 ABBA、面 ABCD、面 ABCD上的投影也全是 B. 答案:答案:B C 例 2 (2007 广东惠州第二次调研,文 2)如图 14 所示,甲、乙、丙是三个立体图形 的三视图,甲、乙、丙对应的标号正确的是( )甲 乙 丙 图 14 长方体 圆锥 三棱锥 圆柱A. B. C. D.分析:分析:由于甲的俯视图是圆,则该几何体是旋转体,又因正视图和侧视图均是矩形, 则甲是圆柱;由于乙的俯视图是三角形,则该几何体是多面体,又因正视图和侧视图均是 三角形,则该多面体的各个面都是三角形,则乙是三棱锥;由于丙的俯视图是圆,则该几 何体是旋转体