《数学人教b必修1第二章2.2 一次函数和二次函数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学人教b必修1第二章2.2 一次函数和二次函数（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.22.2 一次函数和二次函数一次函数和二次函数1一次函数的性质与图象 (1)一次函数的概念 函数 ykxb(k0)叫做一次函数，又叫做线性函数；它的定义域为 R，值域为 R. 一次函数 ykxb(k0)的图象是直线，其中 k 叫做该直线的斜率，b 叫做该直线在 y 轴上的截距 对一次函数的概念要注意以下三点： k0.若 k0，则函数就成为常数函数 x 的最高次项次数为 1.否则，也不是一次函数 b 为任意常数 (2)一次函数的性质 一次函数ykxb(k0)分类来源:学科网k0k0图象定义域RR一次函数ykxb(k0)值域RR单调性在(，)上递增在(，)上递减奇偶性b0 时为奇函数，b0 时
2、既不是奇函数也不是偶函数特殊点与 x 轴的交点为，与 y 轴的交点为(0，b)(bk，0)斜率k(x2x1)yxy2y1x2x1 (3)图象的画法 因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要描出两个点，再连成直线即 可 (4)图象的特点 正比例函数 ykx 的图象是经过原点(0,0)的一条直线 一次函数 ykxb 的图象是经过 y 轴上点(0，b)的一条直线 (5)画法技巧 画正比例函数 ykx 的图象，通常取(0,0)，(1，k)两点，然后连线画一次函数 ykxb 的图象，通常取它与坐标轴的交点(0，b)，然后连(bk，0)线原因是上述两点在坐标轴上，描点较准确但由于 多数情况下是分
3、数，故在描点时，bk 我们也可以取 x 和 y 都是整数的点 谈重点谈重点 对截距 b 含义的理解 (1)b 的取值范围：bR.(2)b 的几何意义：直线 ykxb 与 y 轴的交点的纵坐标(3)点(0，b)是直线 ykxb 与 y 轴的交点当 b0 时，此交点在 y 轴的正半轴上；当b0 时，此交点在 y 轴的负半轴上；当 b0 时，此交点在原点，此时的一次函数就是正比例函数(4)截距与距离是两个不同的概念截距可正可负可以为零，但距离不可能为负【例 11】一次函数 ykxk，若 y 随 x 的增大而增大，则它的图象过( ) A第一、二、三象限 B第一、三、四象限 C第一、二、四象限 D第二、
4、三、四象限 解析：解析：由题意知 k0，所以k0，故 ykxk 的图象过第一、三、四象限答案：答案：B 【例 12】函数的解析式为 x2y70，则其对应直线的斜率与纵截距分别为( )A B1，71 7,2 2C1， D7 21 7,2 2解析：解析：x2y70，17=22yx斜率，纵截距，故选 A.1=2k7=2b答案：答案：A 【例 13】在同一直角坐标系内画出一次函数 y2x1 和 y2x1 的图象 解：解：列表x00.5 y10x00.5 y10 描点(0,1)，(0.5,0)，(0,1)，(0.5,0)连线，即得 y2x1 和 y2x1 的图象，如图【例 14】已知一次函数的图象经过
5、A(3,5)和 B(4，9)两点，求该一次函数的解 析式 分析：分析：一次函数的图象是一条直线，可设解析式为 ykxb(k0)，又因为其图象过A，B 两点，所以 A，B 两点的坐标适合方程，由此解出 k 和 b.解：解：设这个一次函数的解析式为 ykxb(k0)当 x3 时，y5；当 x4 时，y9，3=5, 4=9.kb kb ，得 7k14，k2.把 k2 代入，得 b1.这个一次函数的解析式为 y2x1.2二次函数的定义函数 yax2bxc(a0)叫做二次函数，它的定义域是 R.特别地，当 bc0，则函 数变为 yax2(a0) 点技巧点技巧 学习二次函数的定义应注意的两点 (1)对二次
6、函数的定义，要特别注意 a0 这个条件函数 yax2bxc 只有在 a0的条件下才是二次函数，且 x 的最高次数是 2，b，c 可取任意实数(2)任何一个二次函数的解析式都可化成 yax2bxc(a0)的形式，因此把yax2bxc(a0)叫做二次函数的一般形式3二次函数的图象变换及参数 a，b，c，h，k 对其图象的影响 (1)函数 yx2和 yax2(a0)的图象之间的关系 二次函数 yax2(a0)的图象可由 yx2的图象各点的纵坐标变为原来的 a 倍得到，参 数 a 的取值不同，函数及其图象也有区别，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系 中的开口大小当 a0 时，二次函数 yax2
7、的图象开口向上，当 a0 时，图象开口向 下而且，当 a0 时，a 的值越大，函数 yax2的图象开口越小，a 的值越小，函数 yax2的图象开口越大；当 a0 时，a 的值越小，函数 yax2的图象开口越小，a 的值越 大，函数 yax2图象开口越大也就是说，|a|越大，抛物线的开口越小；反之，|a|越小， 抛物线的开口越大 (2)函数 yax2和 ya(xh)2k(a0)的图象之间的关系 函数 ya(xh)2k(a0)的图象可以由函数 yax2(a0)的图象向左(h0)或向右 (h0)平移|h|个单位长度，再向上(k0)或向下(k0)平移|k|个单位长度得到h 决定了二次 函数图象的左右平
8、移，而且“h 正左移，h 负右移” ；k 决定了二次函数图象的上下平移， 而且“k 正上移，k 负下移” 可简记为“左加右减，上加下减” 由于只进行了图象的平移 变换，所以函数 ya(xh)2k(a0)的图象与函数 yax2(a0)的图象形状相同，只是位 置不同 (3)函数 yax2和 yax2bxc(a0)的图象之间的关系 二次函数 yax2bxc(a0)通过配方可以得到其恒等形式 ya(xh)2k(a0)，从 而可以知道，由 yax2的图象如何平移就得到 yax2bxc(a0)的图象在二次函数yax2bxc(a0)，即 ya2(a0)中，二次项系数 a 决定着函数图象的(xb2a)4acb
9、24a 开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小；b 和 a 共同决定抛物线的对称轴的位置，抛物线的对称轴是直线 x，它是一条平行于 y 轴或与 y 轴重合的直线；a，b，c 共同决b2a定抛物线顶点的位置，c 的大小决定抛物线 yax2bxc 与 y 轴交点的位(b2a，4acb24a)置，当 c0 时，抛物线经过坐标原点，当 c0 时，抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴， 当 c0 时，交点在 y 轴的负半轴 【例 31】(1)由 y2x2的图象，如何得到 y2(x1)23 的图象？ (2)把 y2x2的图象，向右平移 3 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度，能得到哪个 函数的图象
10、？ (3)将函数 y4x22x1 写成 ya(xh)2k 的形式，并说明它的图象是由 y4x2的 图象经过怎样的变换得到的？解：解：(1)把 y2x2的图象向左平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度就得到y2(x1)23 的图象来源:(2)把 y2x2的图象，向右平移 3 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度，就得到函数y2(x3)24，即 y2x212x22 的图象(3)y4x22x121412xx21114121616xx21141416x.213444x把 y4x2的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，就可得到函数1 43 4 y4x22x1 的图象【例 32】(1
11、)在同一坐标系中作出下列函数的图象： yx2；yx22；y2x24x. (2)分析如何把 yx2的图象变换成 y2x24x 的图象 分析：分析：解答本题可就每个函数列表、描点连线，作出相应图象，然后利用图象以及二次函数的平移变换规律分析 yx2与 y2x24x 的图象之间的关系解：解：(1)列表：x3210123来源: yx29410149 yx227212127 y2x24x301660206 描点、连线即得相应函数的图象，如图所示(2)y2x24x2(x22x)2(x22x11)2(x1)22.由 yx2到 y2x24x 的变化过程如下方法一：先把 yx2的图象上的点的横坐标不变，纵坐标变
12、为原来的 2 倍得到 y2x2的图象，然后把 y2x2的图象向下平移 2 个单位长度得到 y2x22 的图象，最后把y2x22 的图象向右平移 1 个单位长度得到 y2(x1)22，即 y2x24x 的图象方法二：先把 yx2的图象向右平移 1 个单位长度得到 y(x1)2的图象，然后把y(x1)2的图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 2 倍得到 y2(x1)2的图象，最后把 y2(x1)2的图象向下平移 2 个单位长度便可得到 y2(x1)22，即 y2x24x的图象析规律析规律 二次函数图象的变换规律 所有二次函数的图象均可以由函数 yx2的图象经过变换得到，变换前，先将二次函数的解
13、析式化为顶点式，再确定变换的步骤常用的变换步骤如下：yx2yax2- 横坐标不变纵坐标变为原来的a倍yax2k- k 0，上移k个单位长度k 0，左移h个单位长度h 02b aB 中，当 x1 时，y0(抛物线上横坐标为1 的点在 x 轴下方)，abc0(把 x1 代入函数得 ya(1)2b(1)cabc)，bac.因此 B 是错误的C 中，抛物线上横坐标为 1 的点在 x 轴上方，即 y0，又当 x1 时，函数 ya12b1cabc，abc0.因此 C 是错误的D 中，由上得 bac.又，.=12b a1=2ab2c3b.因此 D 正确答案：答案：D 【例 52】已知二次函数的图象的顶点坐标
14、是(1，3)，且经过点 P(2,0)，求这个函 数的解析式 分析：分析：本题已知图象上两点的坐标(1，3)和(2,0)，若不考虑已知点的特点，设二次函数的一般式 yax2bxc(a0)似乎差一个条件，但注意到点(1，3)是抛物线的顶点，再利用对称轴方程，就可以列出关于 a，b，c 的三元一次方程组，从而得解；根据顶点坐标是(1，3)，也可设二次函数的顶点式 ya(x1)23(a0)，只需将点 P(2,0)的坐标代入，即可求出 a；若看到 P(2,0)点是图象与 x 轴的交点，利用对称性即可求出图象与 x 轴的另一个交点，设二次函数的交点式 ya(xx1)(xx2)也能求解解：解：(方法 1)设所求函数的解析式为 yax2bxc(a0)，由题意，得=3, 42=0,=1,2abc abc b a 解得=3, =6,=0.a bc 所求函数的解析式为 y3x26x.(方法 2)设所求函数的解析式为 ya(x1)23(a0)，由图象经
