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1、一、零点定理 介值定理,二、最值定理,三、连续函数的运算法则,四、初等函数的连续性,一、零点定理和介值定理,定理5.6 ( 零点定理 ),至少有一点,且,使,例1. 证明方程,一个根 .,证: 显然,又,故据零点定理, 至少存在一点,使,即,说明:,内必有方程的根 ;,取,的中点,内必有方程的根 ;,可用此法求近似根.,二分法,在区间,内至少有,则,则,上连续 , 且恒为正 ,例2. 设,在,对任意的,必存在一点,证:,使,令, 则,使,故由零点定理知 , 存在,即,当,时,取,或, 则有,证明:,定理5.7. ( 介值定理 ),设,且,则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点,证: 作辅助
2、函数,则,且,故由零点定理知, 至少有一点,使,即,使,至少有,注意: 若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .,二、有界性定理和最值定理,定理5.9 在闭区间上的连续函数,即: 设,则,使,值和最小值.,或在闭区间内有间断点,在该区间上一定有最大,定理5.8,在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,推论5.1,设,例,定义 （一致连续性）,例,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,内容小结,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数的四则运算的结果连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在定义区间内连续,说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性.,内容小结,闭区间上连续函数的性质,零点定理 介值定理 有界性定理 最值定理,一致连续性定理,
