《2016新人教a版高中数学必修一2.1.2第2课时指数函数及其性质的应用学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016新人教a版高中数学必修一2.1.2第2课时指数函数及其性质的应用学案（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第 2 2 课时课时 指数函数及其性质的应用指数函数及其性质的应用学习目标 1.理解指数函数的单调性与底数的关系.2.能运用指数函数的单调性解决一些问题知识链接1函数yax(a0，且a1)恒过点(0,1)，当a1 时，单调递增，当 0a1 时，单调递减2复合函数yf(g(x)的单调性：当yf(x)与ug(x)有相同的单调性时，函数yf(g(x)单调递增，当yf(x)与ug(x)的单调性相反时，yf(g(x)单调递减，简称为同增异减预习导引1函数yax与yax(a0，且a1)的图象关于y轴对称2形如yaf(x)(a0，且a1)函数的性质(1)函数yaf(x)与函数yf(x)有相同的定义域(2)
2、当a1 时，函数yaf(x)与yf(x)具有相同的单调性；当 0a1 时，函数yaf(x)与函数yf(x)的单调性相反3形如ykax(kR R，且k0，a0，且a1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型4设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则yN(1p)x(xN N)要点一 利用指数函数的单调性比较大小例 1 比较下列各组数的大小：(1)1.9与 1.93；(2)0.72与 0.70.3；3(3)0.60.4与 0.40.6.解 (1)由于指数函数y1.9x在 R R 上单调递增，而3，所以 1.91.93.(2)因为函数y0.7x在 R R 上单调递减，
3、而 20.267 90.3，所以 0.720.70.3.33(3)因为y0.6x在 R R 上单调递减，所以 0.60.40.60.6；又在y轴右侧，函数y0.6x的图象在y0.4x的图象的上方，所以 0.60.60.40.6，所以 0.60.40.40.6.规律方法 1.对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断2对于幂值，若底数不相同，则首先考虑能否化为同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如 0 或 1 等)分别与之比较，借助中间值比较跟踪演练 1 已知a0.80.7，b0.80.9，c1.20.8，则a，b，c的大
4、小关系是( )Aabc BbacCcba Dcab答案 D解析 先由函数y0.8x判断前两个数的大小，再用“1”作为中间量比较 1.20.8与其他两个数的大小要点二 指数型函数的单调性例 2 判断f(x)x22x的单调性，并求其值域(1 3)解 令ux22x，则原函数变为yu.(1 3)ux22x(x1)21 在(，1上递减，在1，)上递增，又yu在(1 3)(，)上递减，y在(，1上递增，在1，)上递减(1 3)xx22ux22x(x1)211，yu，u1，)，(1 3)0u13，(1 3)(1 3)原函数的值域为(0,3规律方法 1.关于指数型函数yaf(x)(a0，且a1)的单调性由两点
5、决定，一是底数a1 还是 0a1；二是f(x)的单调性，它由两个函数yau，uf(x)复合而成2求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成yf(u)，u(x)，通过考查f(u)和(x)的单调性，求出yf(x)的单调性跟踪演练 2 求函数y2的单调区间xx2-2解 函数y2的定义域是 R R.令ux22x，则y2u.当x(，1时，函数xx2-2ux22x为增函数，函数y2u是增函数，所以函数y2x22x在(，1上是增函数当x1，)时，函数ux22x为减函数，函数y2u是增函数，所以函数y2在1，)上是减函数xx2-2综上，函数y2的单调减区间是1，)，单调增区间是(，1xx2-
6、2要点三 指数函数的综合应用例 3 已知函数f(x).3x1 3x1(1)证明f(x)为奇函数(2)判断f(x)的单调性，并用定义加以证明(3)求f(x)的值域(1)证明 由题知f(x)的定义域为 R R，f(x)3x1 3x13x13x 3x13xf(x)，13x 13x所以f(x)为奇函数(2)解 f(x)在定义域上是增函数证明如下：任取x1，x2R R，且x1x2， f(x2)f(x1)31 3131 31(1)(1)2 312 31.233 3131x1x2，330,310,310，2x1x1x2xf(x2)f(x1)，f(x)为 R R 上的增函数(3)解 f(x)1，3x1 3x1
7、2 3x13x03x110220，2 3x12 3x1111，2 3x1即f(x)的值域为(1,1)规律方法 指数函数是一种具体的初等函数，常与函数的单调性、奇偶性等知识点融合在一起，按照原有的单调性、奇偶性的解决办法分析、解决问题即可跟踪演练 3 设a0，f(x)是 R R 上的偶函数ex aa ex(1)求a的值；(2)求证f(x)在(0，)上是增函数(1)解 依题意，对一切xR R，有f(x)f(x)，即aex，ex aa ex1 aex0 对一切xR R 成立(a1 a)(ex1 ex)由此得到a 0，1 a即a21.又a0，a1.(2)证明 设 0x1x2，则f(x1)f(x2) (
8、)().1ex2ex112ex1ex(11) 2ex1ex10x1x2，0.2ex1ex2ex1ex又 10，0，f(x1)f(x2)0，21exx 21exx f(x1)f(x)2.即f(x)在(0，)上是增函数.1函数y1x的单调递增区间为( )(1 2)A(，) B(0，)C(1，) D(0,1)答案 A解析 定义域为 R R.设u1x，yu.(1 2)u1x在 R R 上为减函数又yu在(，)为减函数，(1 2)y1x在(，)是增函数，(1 2)选 A.2若2a132a，则实数a的取值范围是( )(1 2)(1 2)A(1，) B.(1 2，)C(，1) D.(，1 2)答案 B解析
9、原式等价于 2a132a，解得a .1 23设y140.9，y280.48，y31.5，则( )(1 2)Ay3y1y2 By2y1y3Cy1y2y3 Dy1y3y2答案 D解析 40.921.8,80.4821.44，( )1.521.5，12根据y2x在 R R 上是增函数，所以 21.821.521.44，即y1y3y2，故选 D.4某种细菌在培养过程中，每 20 min 分裂一次，即由 1 个细菌分裂成 2 个细菌，经过 3 h，这种细菌由 1 个可繁殖成_个答案 512解析 3 h920 min，即经过 9 次分裂，可分裂为 29512 个5已知函数f(x)a，若f(x)为奇函数，则
10、a_.1 2x1答案 1 2解析 函数f(x)为奇函数，f(0)a 0.1 2a .1 21.比较两个指数式值大小的主要方法(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数yax的单调性(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且cbn，则ambn；若amc且cbn，则ambn.2指数函数单调性的应用(1)形如yaf(x)的函数的单调性：令uf(x)，xm，n，如果两个函数yau与uf(x)的单调性相同，则函数yaf(x)在m，n上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数yaf(x)在m，n上是减函数(2)形如axay的不等式，当a1 时，axayxy；当 0a
11、1 时，axayxy.一、基础达标1下列判断正确的是( )A2.52.52.53 B0.820.83C2 D0.90.30.90.52答案 D解析 y0.9x是减函数，且 0.50.3，0.90.30.90.5.2若函数f(x)3x3x与g(x)3x3x的定义域为 R R，则( )Af(x)与g(x)均为偶函数Bf(x)为偶函数，g(x)为奇函数C. f(x)与g(x)均为奇函数Df(x)为奇函数，g(x)为偶函数答案 B解析 f(x)3x3xf(x)，f(x)为偶函数，g(x)3x3xg(x)，g(x)为奇函数3已知f(x)ax(a0，且a1)，且f(2)f(3)，则a的取值范围是( )Aa
12、0 Ba1 Ca1 D0a1答案 D解析 23，f(2)f(3)，又f(x)axx，(1 a)23，(1 a)(1 a) 1，0a1.1 a4若定义运算f(a*b)Error!则函数f(3x*3x)的值域是( )A(0,1 B1，)C(0，) D(，)答案 A解析 由定义可知该函数是求a，b中较小的那一个，所以分别画出y3x与y3xx的图(1 3)象，由图象很容易看出函数f(3x*3x)的值域是(0,15若函数f(x)Error!则不等式f(x) 的解集为_1 3答案 x|0x1解析 (1)当x0 时，由f(x) 得( )x ，1 31 31 30x1.(2)当x0 时，不等式 明显不成立，1
13、 x1 3综上可知不等式f(x) 的解集是x|0x11 36用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的 ，要使存留污垢不超过原来的 1%，则至少要漂洗3 4_次答案 4解析 设原来污垢数为 1 个单位，则经过第一次漂洗，存留量为原来的 ；经过第二次漂洗，存14留量为第一次漂洗后的 ，也就是原来的2，经过第三次漂洗，存留量为原来的3，1 4(1 4)(1 4)经过第x次漂洗，存留量为原来的x，故解析式为yx.由题意，(1 4)(1 4)x，4x100,2x10，x4，即至少漂洗 4 次(1 4)1 1007已知函数f(x)1.2 2x1(1)求函数f(x)的定义域；(2)证明函数f(x)在(，0)上为减
14、函数(1)解 f(x)1，2x10，x0.2 2x1 函数f(x)的定义域为x|xR R，且x0(2)证明 任意设x1，x2(，0)且x1x2.f(x1)f(x2).2 2x112 2x2122x22x1 2x112x21x1，x2(，0)且x1x2，2x22x1且 2x11,2x21.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函数f(x)在(，0)上为减函数二、能力提升8若函数f(x)Error!是 R R 上的增函数，则实数a的取值范围为( )A(1，) B(1,8) C(4,8) D4,8)答案 D解析 由题可知，f(x)在 R R 上是增函数，所以Error!解得 4a8，故选 D.9已知函数f(x)是定义在 R R 上
