《2016新人教a版高中数学必修一2.1.2第2课时指数函数及其性质的应用学案》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2016新人教a版高中数学必修一2.1.2第2课时指数函数及其性质的应用学案(9页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第第 2 2 课时课时 指数函数及其性质的应用指数函数及其性质的应用学习目标 1.理解指数函数的单调性与底数的关系.2.能运用指数函数的单调性解决一些问题知识链接1函数yax(a0,且a1)恒过点(0,1),当a1 时,单调递增,当 0a1 时,单调递减2复合函数yf(g(x)的单调性:当yf(x)与ug(x)有相同的单调性时,函数yf(g(x)单调递增,当yf(x)与ug(x)的单调性相反时,yf(g(x)单调递减,简称为同增异减预习导引1函数yax与yax(a0,且a1)的图象关于y轴对称2形如yaf(x)(a0,且a1)函数的性质(1)函数yaf(x)与函数yf(x)有相同的定义域(2)
2、当a1 时,函数yaf(x)与yf(x)具有相同的单调性;当 0a1 时,函数yaf(x)与函数yf(x)的单调性相反3形如ykax(kR R,且k0,a0,且a1)的函数是一种指数型函数,这是一种非常有用的函数模型4设原有量为N,每次的增长率为p,经过x次增长,该量增长到y,则yN(1p)x(xN N)要点一 利用指数函数的单调性比较大小例 1 比较下列各组数的大小:(1)1.9与 1.93;(2)0.72与 0.70.3;3(3)0.60.4与 0.40.6.解 (1)由于指数函数y1.9x在 R R 上单调递增,而3,所以 1.91.93.(2)因为函数y0.7x在 R R 上单调递减,
3、而 20.267 90.3,所以 0.720.70.3.33(3)因为y0.6x在 R R 上单调递减,所以 0.60.40.60.6;又在y轴右侧,函数y0.6x的图象在y0.4x的图象的上方,所以 0.60.60.40.6,所以 0.60.40.40.6.规律方法 1.对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较,可以利用指数函数的单调性来判断2对于幂值,若底数不相同,则首先考虑能否化为同底数,然后根据指数函数的性质得出结果;不能化成同底数的,要考虑引进第三个数(如 0 或 1 等)分别与之比较,借助中间值比较跟踪演练 1 已知a0.80.7,b0.80.9,c1.20.8,则a,b,c的大
4、小关系是( )Aabc BbacCcba Dcab答案 D解析 先由函数y0.8x判断前两个数的大小,再用“1”作为中间量比较 1.20.8与其他两个数的大小要点二 指数型函数的单调性例 2 判断f(x)x22x的单调性,并求其值域(1 3)解 令ux22x,则原函数变为yu.(1 3)ux22x(x1)21 在(,1上递减,在1,)上递增,又yu在(1 3)(,)上递减,y在(,1上递增,在1,)上递减(1 3)xx22ux22x(x1)211,yu,u1,),(1 3)0u13,(1 3)(1 3)原函数的值域为(0,3规律方法 1.关于指数型函数yaf(x)(a0,且a1)的单调性由两点
5、决定,一是底数a1 还是 0a1;二是f(x)的单调性,它由两个函数yau,uf(x)复合而成2求复合函数的单调区间,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成yf(u),u(x),通过考查f(u)和(x)的单调性,求出yf(x)的单调性跟踪演练 2 求函数y2的单调区间xx2-2解 函数y2的定义域是 R R.令ux22x,则y2u.当x(,1时,函数xx2-2ux22x为增函数,函数y2u是增函数,所以函数y2x22x在(,1上是增函数当x1,)时,函数ux22x为减函数,函数y2u是增函数,所以函数y2在1,)上是减函数xx2-2综上,函数y2的单调减区间是1,),单调增区间是(,1xx2-
6、2要点三 指数函数的综合应用例 3 已知函数f(x).3x1 3x1(1)证明f(x)为奇函数(2)判断f(x)的单调性,并用定义加以证明(3)求f(x)的值域(1)证明 由题知f(x)的定义域为 R R,f(x)3x1 3x13x13x 3x13xf(x),13x 13x所以f(x)为奇函数(2)解 f(x)在定义域上是增函数证明如下:任取x1,x2R R,且x1x2, f(x2)f(x1)31 3131 31(1)(1)2 312 31.233 3131x1x2,330,310,310,2x1x1x2xf(x2)f(x1),f(x)为 R R 上的增函数(3)解 f(x)1,3x1 3x1
7、2 3x13x03x110220,2 3x12 3x1111,2 3x1即f(x)的值域为(1,1)规律方法 指数函数是一种具体的初等函数,常与函数的单调性、奇偶性等知识点融合在一起,按照原有的单调性、奇偶性的解决办法分析、解决问题即可跟踪演练 3 设a0,f(x)是 R R 上的偶函数ex aa ex(1)求a的值;(2)求证f(x)在(0,)上是增函数(1)解 依题意,对一切xR R,有f(x)f(x),即aex,ex aa ex1 aex0 对一切xR R 成立(a1 a)(ex1 ex)由此得到a 0,1 a即a21.又a0,a1.(2)证明 设 0x1x2,则f(x1)f(x2) (
8、)().1ex2ex112ex1ex(11) 2ex1ex10x1x2,0.2ex1ex2ex1ex又 10,0,f(x1)f(x2)0,21exx 21exx f(x1)f(x)2.即f(x)在(0,)上是增函数.1函数y1x的单调递增区间为( )(1 2)A(,) B(0,)C(1,) D(0,1)答案 A解析 定义域为 R R.设u1x,yu.(1 2)u1x在 R R 上为减函数又yu在(,)为减函数,(1 2)y1x在(,)是增函数,(1 2)选 A.2若2a132a,则实数a的取值范围是( )(1 2)(1 2)A(1,) B.(1 2,)C(,1) D.(,1 2)答案 B解析
9、原式等价于 2a132a,解得a .1 23设y140.9,y280.48,y31.5,则( )(1 2)Ay3y1y2 By2y1y3Cy1y2y3 Dy1y3y2答案 D解析 40.921.8,80.4821.44,( )1.521.5,12根据y2x在 R R 上是增函数,所以 21.821.521.44,即y1y3y2,故选 D.4某种细菌在培养过程中,每 20 min 分裂一次,即由 1 个细菌分裂成 2 个细菌,经过 3 h,这种细菌由 1 个可繁殖成_个答案 512解析 3 h920 min,即经过 9 次分裂,可分裂为 29512 个5已知函数f(x)a,若f(x)为奇函数,则
10、a_.1 2x1答案 1 2解析 函数f(x)为奇函数,f(0)a 0.1 2a .1 21.比较两个指数式值大小的主要方法(1)比较形如am与an的大小,可运用指数函数yax的单调性(2)比较形如am与bn的大小,一般找一个“中间值c”,若amc且cbn,则ambn;若amc且cbn,则ambn.2指数函数单调性的应用(1)形如yaf(x)的函数的单调性:令uf(x),xm,n,如果两个函数yau与uf(x)的单调性相同,则函数yaf(x)在m,n上是增函数;如果两者的单调性相异(即一增一减),则函数yaf(x)在m,n上是减函数(2)形如axay的不等式,当a1 时,axayxy;当 0a
11、1 时,axayxy.一、基础达标1下列判断正确的是( )A2.52.52.53 B0.820.83C2 D0.90.30.90.52答案 D解析 y0.9x是减函数,且 0.50.3,0.90.30.90.5.2若函数f(x)3x3x与g(x)3x3x的定义域为 R R,则( )Af(x)与g(x)均为偶函数Bf(x)为偶函数,g(x)为奇函数C. f(x)与g(x)均为奇函数Df(x)为奇函数,g(x)为偶函数答案 B解析 f(x)3x3xf(x),f(x)为偶函数,g(x)3x3xg(x),g(x)为奇函数3已知f(x)ax(a0,且a1),且f(2)f(3),则a的取值范围是( )Aa
12、0 Ba1 Ca1 D0a1答案 D解析 23,f(2)f(3),又f(x)axx,(1 a)23,(1 a)(1 a) 1,0a1.1 a4若定义运算f(a*b)Error!则函数f(3x*3x)的值域是( )A(0,1 B1,)C(0,) D(,)答案 A解析 由定义可知该函数是求a,b中较小的那一个,所以分别画出y3x与y3xx的图(1 3)象,由图象很容易看出函数f(3x*3x)的值域是(0,15若函数f(x)Error!则不等式f(x) 的解集为_1 3答案 x|0x1解析 (1)当x0 时,由f(x) 得( )x ,1 31 31 30x1.(2)当x0 时,不等式 明显不成立,1
13、 x1 3综上可知不等式f(x) 的解集是x|0x11 36用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的 ,要使存留污垢不超过原来的 1%,则至少要漂洗3 4_次答案 4解析 设原来污垢数为 1 个单位,则经过第一次漂洗,存留量为原来的 ;经过第二次漂洗,存14留量为第一次漂洗后的 ,也就是原来的2,经过第三次漂洗,存留量为原来的3,1 4(1 4)(1 4)经过第x次漂洗,存留量为原来的x,故解析式为yx.由题意,(1 4)(1 4)x,4x100,2x10,x4,即至少漂洗 4 次(1 4)1 1007已知函数f(x)1.2 2x1(1)求函数f(x)的定义域;(2)证明函数f(x)在(,0)上为减
14、函数(1)解 f(x)1,2x10,x0.2 2x1 函数f(x)的定义域为x|xR R,且x0(2)证明 任意设x1,x2(,0)且x1x2.f(x1)f(x2).2 2x112 2x2122x22x1 2x112x21x1,x2(,0)且x1x2,2x22x1且 2x11,2x21.f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2)函数f(x)在(,0)上为减函数二、能力提升8若函数f(x)Error!是 R R 上的增函数,则实数a的取值范围为( )A(1,) B(1,8) C(4,8) D4,8)答案 D解析 由题可知,f(x)在 R R 上是增函数,所以Error!解得 4a8,故选 D.9已知函数f(x)是定义在 R R 上