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1、第三章 机器人运动学,第3章 机器人运动学,一、机器人运动学基本问题 二、机器人的位置和姿态 三、齐次变换及运算 四、机器人运动学方程 五、运动学方程求解 六、微分变换和雅可比矩阵,第3章 机器人运动学,一、机器人运动学基本问题,运动学基本问题,运动学研究的问题：手在空间的运动与各个关节的运动之间的关系。正问题：已知关节运动，求手的运动。 逆问题：已知手的运动，求关节运动。,数学模型：手的运动位姿变化位姿矩阵r关节运动参数变化关节变量， 运动学方程：r=f() 正问题：已知，求r。 逆问题：已知r，求 。,运动学基本问题,运动学基本问题-正问题以2自由度为例 图31所示为2自由度机器人手部的连
2、杆机构。,运动学基本问题,我们引入向量分别表示手爪位置和关节变量，因此，利用上述两个向量来描述一下这个2自由度机器人的运动学问题。 手爪位置的各分量， 按几何学可表示为：,用向量表示这个关系式，其一般可表示为 式中 表示向量函数。 已知机器人的关节变量 ，求其手爪位置的运动学问题称为正运动学（direct kinematics）。 该公式被称为运动方程式。,(3-3),运动学基本问题-逆问题如果，给定机器人的手爪位置，求为了到达这个预定的位置，机器人的关节变量的运动学问题称为逆运动学（inverse kinematics）。其运动方程式以2自由度机械手为例，通过以下分析说明。,如图为逆运动学问
3、题（知位置，求分量），可得,式中,(3-4),(3-5),(3-6),同样，如果用向量表示上述关系式，其一般可表示为,如图所示，机器人到达给定的手爪位置,有两个姿态满足要求，即图中的 也是其解。这时 和 变成为另外的值。即逆运动学的解不是惟一的，可以有多个解。,(3-7),第3章 机器人运动学,二、机器人的位置和姿态,机器人位姿的表示机器人的位姿主要是指机器人手部在空间的位置和姿态，有时也会用到其它各个活动杆件在空间的位置和姿态。,机器人的位置和姿态,机器人位姿的表示位置可以用一个31的位置矩阵来描述。,机器人的位姿,姿态可以用坐标系三个坐标轴两两夹角的余弦值（三个h坐标轴的单位矢量）组成33
4、的姿态矩阵来描述。,机器人的位姿,机器人位姿的表示例：右图所示两坐标系的姿态为：,机器人的位姿,机器人的坐标系 手部坐标系（手爪坐标系）机器人手部的坐标系，也称机器人位姿坐标系，它表示机器人手部在指定坐标系中的位置和姿态。 杆件坐标系（参考坐标系）机器人指定杆件的坐标系，它是在机器人每个活动杆件上固定的坐标系，随杆件的运动而运动。 机座坐标系（基准坐标系）机器人机座的坐标系，它是机器人各活动杆件及手部的公共参考坐标系。,机器人的位姿,机器人的坐标系 手部坐标系h 机座坐标系0 杆件坐标系ii=1，n,机器人的位姿,第3章 机器人运动学,三、齐次变换及运算,齐次变换及运算,直角坐标变换,坐标之间
5、的变换关系 平移变换 旋转变换,齐次变换及运算,直角坐标变换,平移变换 设i坐标系和j坐标系具有相同的姿态，但它俩的坐标原点不重合，若空间有一点在i坐标系和j坐标系中分别用矢量 和 表示，则它们之间有以下关系：称上式为坐标平移方程。,旋转变换设i坐标系和j坐标系的原点重合，但它俩的姿态不同，则j坐标系就可以看成是由i坐标系旋转变换而来的。,齐次变换及运算,直角坐标变换,旋转变换旋转变换矩阵，是一个33的矩阵，其中的每个元素就是i坐标系和j坐标系相应坐标轴夹角的余弦值，它表明了姿态（方向）。角的正负按右手法则确定，即由轴的矢端看，逆时钟为正。,齐次变换及运算,直角坐标变换,联合变换设i坐标系j和
6、坐标系之间存在先平移变换，后旋转变换，则空间任一点在i坐标系和j坐标系中的矢量之间就有以下关系：称上式为直角坐标系中的坐标联合变换方程。,齐次变换及运算,直角坐标变换,若j坐标系是i坐标系先沿矢量 平移，再绕z轴旋转角得到的，则空间任一点在i坐标系和j坐标系中的矢量和对应的变换矩阵之间就有 ，写成矩阵形式则为：,例,例：已知B坐标系的初始位置与A坐标系重合，首先把B坐标系沿A坐标系的x轴移动12个单位，并沿y轴移动6个单位，再绕z轴旋转30，求平移变换矩阵和旋转变换矩阵。假设某点在B坐标系中的矢量 求该点在A坐标系中的矢量。,齐次变换及运算,直角坐标变换,解：由题意可得平移变换矩阵和旋转变换矩
7、阵分别为：，则：,例：已知B坐标系的初始位置与A坐标系重合，首先把B坐标系沿A坐标系的x轴移动12个单位，并沿y轴移动6个单位，再绕z轴旋转30，求平移变换矩阵和旋转变换矩阵。假设某点在B坐标系中的矢量 ，求该点在A坐标系中的矢量。,齐次变换矩阵（D-H矩阵）,直角坐标变换,i坐标系通过先平移，后绕z旋转变成j坐标系，则变换矩阵为：,齐次坐标变换,齐次变换矩阵（D-H矩阵） 由此可得联合变换的齐次坐标方程为： 式中， 齐次坐标变换矩阵，它是一个44的矩阵。,齐次坐标变换,齐次坐标变换矩阵的意义 若将齐次坐标变换矩阵分块，则有：意义：左上角的33矩阵是两个坐标系之间的旋转变换矩阵，它描述了姿态关
8、系；右上角的31矩阵是两个坐标系之间的平移变换矩阵，它描述了位置关系，所以齐次坐标变换矩阵又称为位姿矩阵。,齐次坐标变换,单独平移变换的齐次矩阵为：,齐次坐标变换,单独旋转变换的齐次矩阵为：,齐次坐标变换,当空间有任意多个坐标系时，若已知相邻坐标系之间的齐次坐标变换矩阵，则由坐标变换原理可知：由此可知，建立机器人的坐标系，可以通过齐次坐标变换，将机器人手部在空间的位置和姿态用齐次坐标变换矩阵描述出来，从而建立机器人的运动学方程。,齐次坐标变换,例：已知B坐标系是绕A坐标系的z轴旋转90，再绕x轴旋转90，最后沿矢量 平移得到的，求A坐标系与B坐标系之间的齐次坐标变换矩阵。,齐次坐标变换,解：由
9、于变换始终是相对于原来的参考坐标系，即有：,第3章 机器人运动学,四、机器人运动学方程,机器人运动学方程,运动学方程建立步骤（1）建立坐标系（2）写位姿矩阵（3）建立方程,机器人运动学方程,建立坐标系机座坐标系0杆件坐标系ii=1，2，n手部坐标系h,机座坐标系0 建立原则： Z轴是旋转轴， x轴水平。,杆件坐标系i 建立原则： 坐标系一般设在杆件始端关节， z轴与关节轴线重合、是旋转轴， x轴与杆件轴线重合、方向指向下一个杆件。,手部坐标系h 建立原则：与n坐标系保持一致或重合。,例：已知三自由度平面关节机器人如图所示，设机器人杆件1、2、3的长度为l1，l2，l3。建立机器人的运动学方程。
10、,l1,l3,l2,解：（1）建立坐标系a、机座坐标系0b、杆件坐标系ic、手部坐标系h（与末端杆件坐标系 n方向一致）,解：（2）位姿矩阵,解：（3）建立方程 将相邻杆件位姿矩阵依次相乘，则有：,用矩阵形式表示：,得到方程组：,第3章 机器人运动学,五、运动学方程求解,运动学方程的模型：M0h=f(qi)， i=1，n 正问题：已知关节变量qi的值，求手在空间的位姿M0h。 逆问题：已知手在空间的位姿M0h，求关节变量qi的值。,（1）运动学方程的正解 正问题：已知关节变量qi的值，求手在空间的位姿M0h。 正解特征：唯一性。 用处：检验、校准机器人。,（2）运动学方程的逆解 逆问题：已知手
11、在空间的位姿M0h，求关节变量qi的值。 逆解特征分三种情况：多解、唯一解、无解。 多解的选择原则：最近原则。 计算方法：递推逆变换法。,例：已知四轴平面关节SCARA机器 人如图所示，试计算： （1）机器人的运动学方程； （2）当关节变量取 qi=30，-60，120，90T时，机器人手部的位置和姿态； （3）机器人运动学逆解的数学表达式。,解：（1）运动学方程 a、建立坐标系机座坐标系0杆件坐标系i手部坐标系h,解：（1）运动学方程 b、确定参数,解：（1）运动学方程 c、相邻杆件位姿矩阵,解：（1）运动学方程 c、相邻杆件位姿矩阵,解：（1）运动学方程 c、相邻杆件位姿矩阵,解：（1）运
12、动学方程 c、相邻杆件位姿矩阵,解：（1）运动学方程 d、建立方程,解：（2）已知qi=30，-60，120，90T， 则：,解：（3）逆解数学表达式联立方程：,解：（3）逆解数学表达式联立方程：,解：（3）逆解数学表达式 由上面（a）、（b）两式可得 ：,由上面（c）、（d）两式平方再相加可得 ：,由上面（c）、（d）两式展开可得 ：,由上面两式可得 ：,已知1，2可得 ：,最后由（e)式可得 ：,逆解数学表达式为：,第3章 机器人运动学,六、微分变换和雅可比矩阵,机械手的手爪位置r和关节变量的运动方程为：,雅可比矩阵,雅可比矩阵：,雅可比矩阵,机械手的手爪位置r和关节变量的运动方程：,雅可比矩阵,方程两边对时间求导得,机器人的微分运动为,平移速度,其中，JL为平移运动的雅可比矩阵,旋转速度,其中，JA为旋转运动的雅可比矩阵,例. 2自由度机械手平移运动的雅可比矩阵,书47,习 题,习 题,END,
