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1、【成才之路成才之路】2015-2016】2015-2016 学年高中数学学年高中数学 第一章第一章 立体几何初步综合立体几何初步综合测试测试 A A 新人教新人教 B B 版必修版必修 2 2时间 120 分钟,满分 150 分。一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1(2015河北永年县二中高一期末测试)下列四个命题:若直线a、b异面,b、c异面,则a、c异面;若直线a、b相交,b、c相交,则a、c相交;若ab,则a、b与c所成的角相等;若ab,bc,则ac.其中正确命题的个数为( )A1 B2C3 D4答案 A解
2、析 中,a、c相交、平行,异面都有可能,只有是正确2若直线l不平行于平面,且l,则( )A平面内所有直线与l异面B平面内存在惟一的直线与l平行C平面内不存在与l平行的直线D平面内的直线都与l相交答案 C解析 直线l不平行于平面,且l,l与平面相交,故平面内不存在与l平行的直线3一长方体木料,沿图所示平面EFGH截长方体,若ABCD那么图四个图形中是截面的是( )答案 A解析 因为AB、MN两条交线所在平面(侧面)互相平行,故AB、MN无公共点,又AB、MN在平面EFGH内,故ABMN,同理易知ANBM.又ABCD,截面必为矩形4(2015广东东莞市高一期末测试)圆锥的底面半径为 1,母线长为
3、3,则圆锥的表面积为( )A B2C3 D4答案 D解析 S表S侧S底13124.5(2015河南洛阳高一期末测试)如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为 1,高为 2 的矩形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的表面积为( )A2 B5 2C4 D5答案 B解析 由几何体的三视图可知,该几何体是一个底面半径为 ,高为 2 的圆柱1 2S表S侧S底2 22 2.1 21 4 25 26将棱长为 1 的正方体木块切削成一个体积最大的球,则该球的体积为( )A B 623C D324 3答案 A解析 将棱长为 1 的正方体木块切削成一个体积最大的球,球的直径应等于正方体的棱长,故球的半径为R
4、 ,球的体积为V R3 ( )3.1 24 34 31 2 67设表示平面,a、b、l表示直线,给出下列命题,Error!l; Error!b; Error!a;直线l与平面内无数条直线垂直,则l.其中正确结论的个数为( )A0 B1C2 D3答案 A解析 错,缺a与b相交的条件;错,在a,ab条件下,b,b,b与 斜交,b都有可能;错,只有当b是平面内任意一条直线时,才能得出a,对于特定直线b,错误;错,l只要与内一条直线m垂直,则平面内与m平行的所有直线就都与l垂直,又l垂直于平面内的一条直线是得不出l的8若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( )答案 B解析 (可用排除
5、法)由正视图可把 A,C 排除,而由左视图把 D 排除,故选 B.9用平行于圆锥底面的平面截圆锥,所得截面面积与底面面积的比是 13,这截面把圆锥母线分为两段的比是( )A13 B1(1)3C19 D23答案 B解析 如图由题意可知,O1与O2面积之比为 13,半径O1A1与OA之比为 1,3,.PA1 PA13PA1 AA113110在正方体ABCDABCD中,过对角线BD的一个平面交AA于E、交CC于F,则以下结论中错误的是( )A四边形BFDE一定是平行四边形B四边形BFDE有可能是正方形C四边形BFDE有可能是菱形D四边形BFDE在底面投影一定是正方形答案 B解析 平面BFDE与相互平
6、行的平面BCCB及ADDA的交线BFDE,同理BEDF,故 A 正确特别当E、F分别为棱AA、CC中点时,BEEDBFFD,则四边形为菱形,其在底面ABCD内的投影为正方形ABCD,选 B.11如图所示,在斜三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中,A90,且BC1AC,过C1作C1H底面ABC,垂足为H,则点H在( )A直线AC上 B直线AB上C直线BC上 DABC内部答案 B解析 Error!平面ABC1平面ABC,Error!H在AB上12(2015湖南郴州市高一期末测试)三视图如图所示的几何体的全面积是( )A2 B122C2 D133答案 A解析 由三视图可知,该几何体是如图所示的四棱
7、锥PABCD,底面ABCD是边长为1 的正方形,且PA底面ABCD.BCAB,BCPA,BC平面PAB,BCPB.同理CDPD.几何体的全面积S11 11 11 1 12.1 21 21 221 222二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上)13用斜二测画法,画得正方形的直观图面积为 18,则原正方形的面积为2_答案 72解析 由S直S原,得S原2S直21872.2422214如图,一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等,这时圆柱、圆锥、球的体积之比为_答案 312解析 设球半径为a,则圆柱、圆锥、球的体积分别为:a22a,
8、 a22a, a3.所以体积之比 2a3 a3 a32 312.1 34 32 34 32 34 315考察下列三个命题,在“_”处都缺少同一个条件,补上这个条件其构成真命题(其中l、m为不同直线,、为不重合平面),则此条件为_Error!l; Error!l;Error!l.答案 l解析 体现的是线面平行的判定定理,缺的条件是“l为平面外的直线” ,即“l” 它同样适合,故填l.16一块正方形薄铁片的边长为 4 cm,以它的一个顶点为圆心,一边长为半径画弧,沿弧剪下一个扇形(如图),用这块扇形铁片围成一个圆锥筒,则这个圆锥筒的容积等于_ cm3.答案 153解析 据已知可得圆锥的母线长为 4
9、,设底面半径为r,则 2r4r1(cm), 2故圆锥的高为h(cm),42115故其体积V 12(cm3)1 315153三、解答题(本大题共 6 个大题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17(本题满分 12 分)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,轴截面的面积等于 392 cm2,母线与轴的夹角是 45,求这个圆台的高、母线长和两底面半径解析 圆台轴截面如图,设上、下底半径分别为x和 3x,截得圆台的圆锥顶点为S,在 RtSOA中,ASO45,SOAO3x,OO12x,又轴截面积为S (2x6x)2x392,x7,1 2高OO114,母线长lOO114,22圆
10、台高为 14 cm,母线长为 14 cm,两底半径分别为 7 cm 和 21 cm.218(本题满分 12 分)(2015北京文,18)如图,在三棱锥VABC中,平面VAB平面ABC,VAB为等边三角形,ACBC且ACBC,O、M分别为AB、VA的中点2(1)求证:VB平面MOC;(2)求证:平面MOC平面VAB;(3)求三棱锥VABC的体积解析 (1)O、M分别为AB、VA的中点,OMVB.又VB平面MOC,OM平面MOCVB平面MOC(2)ACBC,O为AB的中点,OCAB.又平面VAB平面ABC,且OC平面ABC,平面VAB平面ABCABOC平面VAB.又OC平面MOC平面MOC平面VA
11、B.(3)在等腰直角三角形ACB中,ACBC,2AB2,OC1.等边三角形VAB的面积SVAB.3又OC平面VAB,三棱锥CVAB的体积等于 OCSVAB.1 333又三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等,三棱锥VABC的体积为.3319(本题满分 12 分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PDDCE是PC的中点,作EFPB交PB于F.(1)证明PA平面EDB;(2)证明PB平面EFD.解析 (1)如图,设AC交BD于O,连接EO.底面ABCD是正方形,点O是AC的中点PAC中,EO是中位线PAEO,而EO平面EDB,且PA平面EDB.PA平面
12、EDB.(2)PD底面ABCD,且DC底面ABCD,PDDC由PDDC知PDC是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线,DEPC又由PD底面ABCD,得PDBC底面ABCD是正方形,有DCBC,BC平面PDC,而DE面PDC,BCDE由和推得DE平面PBC,而PB平面PBC,DEPB又EFPB且DEEFF,所以PB平面EFD.20(本题满分 12 分)如图所示,在棱长为 2 的正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别是AA1、AC的中点(1)求证:MN平面BCD1A1;(2)求证:MNC1D;(3)求VDMNC1.解析 (1)连接A1C,在AA1C中,M、N分别是AA1、AC的中点,MNA
13、1C又MN平面BCA1D1且A1C平面BCD1A1,MN平面BCD1A1.(2)BC平面CDD1C1,C1D平面CDD1C1,BCC1D.又在平面CDD1C1中,C1DCD1,BCCD1C,C1D平面BCD1A1,又A1C平面BCD1A1,C1DA1C,又MNA1C,MNC1D.(3)A1A平面ABCD,A1ADN,又DNAC,DN平面ACC1A1,DN平面MNC1.DC2,DNCN,NCCCCN26,22 12 1MN2MA2AN2123,MCA1CMA819,2 12 12 1MCMN2NC,MNC190,2 12 1SMNC1MNNC1 ,1 21 2363 22VDMNC1 DNSMN
14、C1 1.1 31 323 2221(本题满分 12 分)(2014山东文,18)如图,四棱锥PABCD中,AP平面PCD,ADBC,ABBCAD,E、F分别为线段AD、PC的中点1 2(1)求证:AP平面BEF;(2)求证:BE平面PAC解析 (1)证明:如图所示,连接AC交BE于点O,连接OF.E为AD中点,BCAD,ADBC,1 2四边形ABCE为平行四边形O为AC的中点,又F为PC中点,OFAP.又OF面BEF,AP面BEF,AP面BEF.(2)由(1)知四边形ABCE为平行四边形又ABBC,四边形ABCE为菱形BEAC由题意知BC綊ADED,1 2四边形BCDE为平行四边形BECD.又AP平面PCD,APCD.APBE.又APACA,BE面PAC22(本题满分 14 分)(2014广