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1、第第 1212 课时课时 空间直角坐标系空间直角坐标系1.了解空间直角坐标系及空间两点间的距离公式. 2.会用空间直角坐标系刻画点的位置,即能由点的位置写出坐标及由坐标描出点的位置. 3.能利用空间两点的坐标求出两点间的距离.三楼屋顶有一蜂窝,住户报 119,消防官兵拟用高压水枪击落蜂巢,但水枪有效射程只有 20 米,而消防车也只能到达宅基线距离楼房角A处 8 米远的坡坎边,若屋的长、宽、高分别 为 15 米、10 米、4.2 米,蜂巢能被击落吗?问题 1:空间直角坐标系 (1)定义:以空间中两两垂直且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z轴.这时 就说建立了空间直角坐标系Oxyz,其中点
2、O叫作坐标 原点 ,x轴、y轴、z轴叫作 坐标 轴 .通过每两个坐标轴的平面叫作 坐标平面 ,分别称为 xOy 平面、 yOz 平面、 zOx 平面. (2)画法:在平面上画空间直角坐标系Oxyz时,一般使xOy= 45或 135 ,yOz=90. (3)坐标:设点M为空间的一个定点,过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面,依 次交x轴、y轴和z轴于点P、Q和R.设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为 x、y和z,那么点M就和有序实数组(x,y,z)是 一一对应 的关系,有序实数组(x,y,z)叫 作点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作 M(x,y,z) ,其中x叫作点M的 横坐标
3、,y 叫作点M的 纵坐标 ,z叫作点M的 竖坐标 . (4)说明:本书建立的坐标系都是 右 手直角坐标系,即在空间直角坐标系中,让右手 拇指指向 x 轴的正方向,食指指向 y 轴的正方向,如果中指指向 z 轴的正方向,则 称这个坐标系为右手直角坐标系. 问题 2:空间两点间的距离公式 (1)公式:空间中任意两点P1(x1,y1,z1)与P2(x2,y2,z2)之间的距离|P1P2|= ,特别地,任一点P(x,y,z)与原点间的距离|OP|= (2 1)2+ (2 1)2+ (2 1)2. 2+ 2+ 2(2)说明:注意此公式与两点的先后顺序无关.空间两点间的距离公式可以看成平面内两 点间距离公
4、式的推广. 问题 3:情境中要知蜂巢能否被击落,实质上就是比较消防车所对应的点距离三楼屋顶 对应的长方体的一顶点间的距离与水枪有效射程的大小,这个问题可以通过立体几何的知识 可以解决,但我们想换一种思维即采用代数的方法,借助于空间直角坐标系利用这两点的空 间坐标来表示出两点的 距离 ,我们就可以解决上面的这个实际应用题. 问题 4:如果|OP|是定长r,那么方程x2+y2+z2=r2表示的图形是 以原点为圆心,以r为 半径的球面 . 1.点P(2,0,3)在空间直角坐标系的位置是( ). A.在y轴上 B.在xOy平面上 C.在xOz平面上D.在yOz平面上 2.点A是点P(1,2,3)在平面
5、yOz内的射影,则|OA|等于( ).A. B. C.2 D.14133113.在xOy平面内有两点A(-2,4,0),B(3,2,0),则AB的中点坐标是 . 4.在xOy平面内的直线x+y=1 上确定一点M,使点M到点N(6,5,1)的距离最小.确定空间内点的坐标 如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AD=3,AB=5,AA1=4,建立适当的直角坐标系,写出此长 方体各顶点的坐标.空间中两点之间的距离 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=2,AB=4,DEAC,垂足为E,求B1E的长.正确建立空间直角坐标系 如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1底面A
6、BC,所有的棱长都是 1,建立适当的坐标系, 并写出各点的坐标.如图,在正方体ABCD-ABCD中,E,F,G分别是BB,DB,DB的中点,棱长为 1,求E,F 点的坐标.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M为BD1的中点,点N在A1C1上,且A1N=3NC1,试 求MN的长.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是一个直角梯形,BAD=90, ADBC,AB=BC=a,AD=2a,PA底面ABCD,PDA=30,AEPD于E.试建立适当的坐标系,求 出各点的坐标.1.点M(1,-2,2)到原点的距离是( ). A.9 B.3 C.1 D.5 2.点P(2,3,4)到x轴的距
7、离是( ).A.B.2 C.5 D.13293.已知正方体不在同一表面上的两顶点(-1,2,-1)、(3,-2,3),则正方体的棱长为 . 4.求点A(1,2,-1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标.已知空间直角坐标系Oxyz中,点A(1,1,1),平面过点A并且与直线OA垂直,动点 P(x,y,z)是平面内的任意一点,求点P的坐标满足的条件.考题变式(我来改编):第 12 课时 空间直角坐标系知识体系梳理 问题 1:(1)原点 坐标轴 坐标平面 xOy yOz zOx (2)45或 135 (3)一一对应 M(x,y,z) 横坐标 纵坐标 竖坐标 (4)右 x y z问题 2:(1)(
8、2 1)2+ (2 1)2+ (2 1)22+ 2+ 2 问题 3:距离 问题 4:以原点为圆心,以r为半径的球面 基础学习交流 1.C 点P(2,0,3)在xOz平面上.故选 C. 2.B 点P在yOz内射影为A(0,2,3),|OA|=.故选 B.22+ 32133.( ,3,0) 由中点坐标公式得AB的中点坐标为(,0),即( ,3,0).1 23 2 24 + 2 21 24.解:由已知,可设M(x,1-x,0), 则|MN|=.( 6)2+ (1 5)2+ (0 1)22( 1)2+ 5151当x=1,y=0 时,|MN|min=.点M坐标为(1,0,0).51重点难点探究 探究一:
9、【解析】 如图,以DA所在直线为x轴,以DC所在直线为y轴,以DD1所在直线为z轴, 建立空间直角坐标系Oxyz.长方体的棱长AD=3,DC=AB=5,DD1=AA1=4, 显然D(0,0,0),A在x轴上,A(3,0,0); C在y轴上,C(0,5,0); D1在z轴上,D1(0,0,4); B在xOy平面内,B(3,5,0); A1在xOz平面内,A1(3,0,4); C1在yOz平面内,C1(0,5,4). 由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0), B1的横坐标为 3,纵坐标为 5, B1在z轴上的射影为D1(0,0,4), B1的竖坐标为 4,B1(3,5,4). 【小结】(1)
10、建立空间直角坐标系时应遵循以下原则: 让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内; 充分利用几何图形的对称性. (2)求某点的坐标时,一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影,确定其两个坐标,再 找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号),确定第三个坐标. 探究二:【解析】 如图,以点D为原点,以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z 轴,建立空间直角坐标系.则D(0,0,0),B1(2,4,2),A(2,0,0),C(0,4,0),设点E的坐标为(x,y,0),在坐标平面xOy内,直线AC的方程为+ =1, 2 4即 2x+y-4=0, DEAC,直线DE的方程为x
11、-2y=0.由得2 + 4 = 0, 2 = 0,? =8 5, =4 5,?E( , ,0).8 54 5|B1E|=,(85 2)2+ (45 4)2+ (0 2)26 10 5即B1E的长为.6 10 5【小结】通过建立空间直角坐标系,将“数”与“形”结合起来;本题求点E的横坐标、 纵坐标还可以在 RtACD中利用直角三角形的有关知识求解. 探究三:【解析】 如图(1),分别以AB,AC,AA1所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,显 然A(0,0,0),又各棱长均为 1,且B、C、A1均在坐标轴上, B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1),B1,C1分别在xOz平
12、面和yOz平面内, B1(1,0,1),C1(0,1,1),各点坐标为A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(0,1,1). 问题上面建立的空间直角坐标系中,BAC=90吗? 结论因为三棱柱各棱长均为 1,所以ABC为正三角形,即BAC=60,即错解建立的 坐标系中xOy90.故本题做错的原因在于建系时没有抓住空间直角坐标系中三个坐标 轴两两垂直的本质.建系时应选取从一点出发的三条两两垂直的线做为坐标轴.如果没有满 足条件的直线,可以让某一条坐标轴“悬空”. 于是,正确解答如下:取AC的中点O和A1C1的中点O1,可得BOAC,分别以
13、OB, OC, OO1所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系,三棱柱各棱长均为 1, OA=OC=O1C1=O1A1=,OB=,1 23 2A、B、C均在坐标轴上,A(0,-,0),B(,0,0),C(0, ,0),1 23 21 2点A1(0,-,1),C1(0, ,1),1 21 2点B1在xOy面内射影为B,且BB1=1.B1(,0,1),3 2各点的坐标为A(0,-,0),B(,0,0),C(0, ,0),1 23 21 2A1(0,-,1),B1(,0,1),C1(0, ,1).1 23 21 2【小结】求空间点的坐标的关键是建立正确的空间直角坐标系,建系时要注意坐标轴必 须相交
14、于同一点且两两垂直,并符合右手法则. 思维拓展应用应用一:E点在xDy平面上的射影为B(1,1,0),竖坐标为 ,E(1,1, ).1 21 2F点在xDy平面上的射影为BD的中点G( , ,0),竖坐标为 1,F( , ,1).1 21 21 21 2应用二:以D为原点,以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空 间直角坐标系.因为正方体棱长为a, 所以B(a,a,0),A1(a,0,a),C1(0,a,a),D1(0,0,a).取A1C1中点O,由于M为BD1的中点,所以M( , , ),O( , ,a). 2 2 2 2 2因为|A1N|=3|NC1|,所以N为A
15、1C1的四等分点,从而N为OC1的中点,故N( ,a). 43 4根据空间两点间距离公式,得|MN|=a.(2 4)2+ ( 23 4)2+ (2 )26 4应用三:如图,BAD=90,PA底面ABCD,可以以点A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在 的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则点A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,2a,0). PA底面ABCD,PAAD.PDA=30,PA=ADtan 30=a,2 3 3P(0,0,a).2 3 3面PAD面ABCD,过点E作EFAD交AD于点F,则点F为点E在底面ABCD内的射影, 在 RtAED中,EDA=30,AE= AD=a,由AE2=AF AD,1 2得AF=,2 2EF2=AE2-AF2=,即EF=,32 43 2E(0, ,). 23 2基础智能检测1.B d=3.(1 0)2+ ( 2 0)2+ (2 0)22.C 点P(2,3,4)在x轴上的射影为A(2,0,0),|PA|=5.故选 C.32+ 423.4 正方体的体对角线长为=4,正方体的棱长为 4.(3 + 1)2+ ( 2 2
