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1、第七章,弹性体振动,弹性体的线性振动在数学上可归结为偏,微分方程的边值问题。但只有在一些最简单的,下才能,找到准确解 ， 因而对于复杂,的弹性体的线性振动问题必须求助于近似解,也就是将无限多自由度系统,离散化为有限多个自由度,情况,系统（ 离散系统 ）,( 连续系统 ),弹性体 (连续体 ) 的线性振动有无限多个,自由度，因而具有无限多个固有,频率和无限,多个主振型 。弹性体的任何振动形态也可,表示为各主振型的线,性叠加。因而对于弹性,体的动态响应分析，主振型叠加法仍然适用。,一、杆的纵向振动,杆单位体积质量为,x,，杆长为,截面积为A，,，纵向张力为,，则,dx,应变,在,截面处张力为,列出
2、杆微元,的运动微分方程,c为纵波波速，与,E成正比, 波动方程,令,有,1. 两端固定杆,2. 两端自由杆,有,及,或,3. 一端固定一端自由杆,基桩低应变测试及其应用,适用条件判断基桩完整性.-质量检测（Quality Inspection）基本假定1.假定桩为细长的、无阻尼的弹性直杆；2.假定桩产生轴向变形以后横截面仍保持为平面，横截面上应力分布均匀。,基本原理(一).建立单元微分方程(平衡方程)假定桩长为l，截面积为A，重度为，质量密度为，弹性模量为E， 桩端土的抗压刚度为K0、阻尼系数为C0，桩侧土的抗压刚度为K、阻尼系数为C.于是，桩单元的应力平衡方程（结合图示）（桩土作用：弹簧K粘
3、滞体C）,基本微分方程的建立过程,即,由于,所以,(二).微分方程的求解1.不考虑桩侧土的影响(K=0,C=0),摩擦桩：,端承桩：,VP桩身材料的纵波波速(m/s) C1、C2由桩顶桩端的边界条件（见下）确定：,2.考虑桩周土的影响同上述，但结果很复杂。,无论桩周土考虑与否，都可以根据实际波形进行基桩完整性分析：相邻固有频率差为,分析该式-已知曲线得t时域曲线(或频域曲线),再据VP得缺陷位置l.,试验设备 手锤、黄油 传感器、导线 基桩低应变分析仪、显示器,试验方法 黄油、传感器、手锤、获得波形（时域）曲线。 资料整理 直接由显示器得波形（时域）曲线（或其积分 频域曲线），只要分析该曲线即
4、可，无需进一步整理。,二. 弦振动若横波在张紧的弦线上沿x轴正方向传播，我们取 的微分段加以讨论（见图）。 设弦线的线密度（即单位长质量）为 ，则此微分段弦线的质量为 。在A、B处受到左右邻段的张力分别为 、 ，其方向为沿弦线的切线方向与x轴交成 、 角。,由于弦线上传播的横波在,方向无振动，,所以作用在微分段,该为零，即,又根据牛顿第二定律，在y,方向微分段的运,上的张力的 x分量应,动方程为：,对于小的振动，可取,而,、,都很小，所以,又从导数的几何意义可知,即,表示张力不随时间和地点而变，为一定值,有,将,按泰勒级数展开并略去二级微量得,将此式代入，得,即,在线密度为,张力为T的弦线上，
5、,横波传播速度c的平方等于：,有:,上式亦为波动方程,令,有:,边界条件:,有:,特征值:,振型函数:,弦的1、2、3阶主振型,张紧弦的前三阶振型如图,拉索索力测量原理,斜拉索索力测定的理论基础是弦振动理论,张紧的斜拉索,的动力方程为,其中： y-横向坐标(垂直于索长度方向),x-纵向坐标(沿索长度方向),w-单位索长的重量,g-重力加速度,T-索的张力,如果索的两端是铰支的，则方程的解为,其中： l-索的长度,n-索的振动阶次,fn-索的第n阶振动频率,对于某一确定的索，w、l、g都是已知值,如果能精确测定fn ，并确定,相应的 n 值 ，,便可求得索力T。,拉索索力测试的基本原理是基于环境,随机振动法，其现场测试的流程图如下：,加速度传感器,信号采集分析,拉索索力计算,三、梁的横向振动,y,x,x,dx,M,V,又：,则,则,令,令,代入有,设,则 特征方程,从,有,1. 两端简支,则,振型,当,时，,不为零则,有特征方程,2. 两端固支,特征方程,3. 悬臂梁,特征方程,
