函数的图像及应用

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1、函数的图像及应用,知识点一 作图,1.描点法,其基本步骤是列表、描点、连线.首先 确定函数的 ， 化简函数解析式， 讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性、值域)；其次列表(尤其注意特殊性，如最大值、最小值、与坐标轴的交点)；最后描点，连线.,定义域,2.图象变换法,(1)平移变换,(2)对称变换,(3)伸缩变换,(4)翻折变换,两个易错点：左右平移的加减、平移方向.,(1)图象左右平移a个单位，是指x加(减)a，与系数无关把函数ylog3(2x1)向左平移1个单位长度，所得图象对应函数的解析式为_.,解析 ylog32(x1)1log3(2x3). 答案 ylog3(2x3),解析,

2、对称问题中易混点.,对称变换指两个函数的图象特征，而与奇偶性有关的对称，是指一个函数图象的自身特征. (3)函数y2|x|的图象关于_对称. 答案 y轴 (4)函数y2x的图象与y2x的图象关于_对称. 答案 y轴,伸缩变换的两个系数f(ax)，af(x).,(6)把函数ylog3(x1)图象上各点横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的解析式为_. 答案 y2log3(x1),知识点二 识图用图,1.识图,绘图、识图是学习函数、应用函数的一项重要基本功.识图要首先把握函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性或图象的对称特征、周期性、与坐标轴的交点，另外有无渐近线，正、负值区间等都是识图

3、的重要方面，要注意函数解析式中含参数时，怎样由图象提供信息来确定这些参数.,2.用图,函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.,函数图象的一个重要性质：对称性.,(7)对函数图象的各种对称性的正确理解，是解题的关键函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线yex关于y轴对称，则f(x)_. 解析 与yex图象关于y轴对称的函数为yex，由题意f(x)图象向右平移一个单位，得yex的图象.所以f(x)的图象可由yex的图象向左平移一个单位得到，所以f(x)e(x1) ex1. 答案 e

4、x1,作函数图象的方法突破,画函数图象的一般方法,(1)直接法.当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出. (2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序.对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.,【例1】 作出下列函数的图象：,点评 (1)要明确函数图象的位置和形状：可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等等； (2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程

5、.,考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一,作函数的图象,(2)将函数y=log2x的图象向左平移一个单位,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象,如图(2)所示.,利用函数的平移变换作图,说明由函数y2x的图象经过怎样的图象变换得到函数y2x31的图象,解析：(法一) (1)将函数y2x的图象向右平移3个单位，得到函数y2x3的图象； (2)作出函数y2x3的图象关于y轴对称的图象，得到函数y2x3的图象； (3)把函数y2x3的图象向上平移1个单位，得到函数y2x31的图象,(法二) (1)作出函数y2x的图象关于y轴的对称图象，得到y2x的图象；

6、(2)把函数y2x的图象向左平移3个单位，得到y2x3的图象； (3)把函数y2x3的图象向上平移1个单位，得到函数y2x31的图象,为了得到函数ylg 的图象，只需把函数ylg x的图象上所有点( ) A向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度,解析：本题主要考查函数图象的平移变换规律，应选C. 答案：C,识图问题求解方略,识别辨析函数的图象，实质就是分析函数的性质，主要观察以下几点： 函数的定义域； 函数图象的最高点(最大值)和最低点(最小值)

7、； 与坐标轴的交点即f(x)0或x0的点； 图象的对称性(函数的奇偶性)； 函数图象在某段上的变化趋势(即函数的单调性)；,图象的变化规律(即函数的周期性)； 函数图象的凸凹性. 解决这类需要我们利用图象所提供的信息来分析解决问题的题目的常用方法有：定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征来分析解决问题；定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题.,2 (1)函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式是( ),解题指导,答案 (1)C (2

8、)D,点评 一般确定函数图象的过程为： (1)确定函数的定义域； (2)化简函数的解析式； (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、有界性、特殊点等).,3. (1)(2016杭州模拟)已知函数f(x)是定义在R上的增函数,则函数y=f(|x-1|)-1的图象可能是( ),解析: (1)根据题意,由于函数f(x)是定义在R上的增函数,那么可知函数y=f(|x-1|)-1的图象先是保留在y轴右侧的图象不变为增函数,再作关于y轴对称的图象,再整体向右平移一个单位,再整体向下平移一个单位,那么可知为先减后增,同时关于直线x=1对称,故选B.,4.下列四个函数:f(x)=x+1,f(x)=2x3

9、,f(x)=xsin x,f(x)= 的图象, 可以平分圆O:x2+y2=1的面积的是 ( ) A. B. C. D. 答案 B 的图象为直线且没有过圆心,所以不可能平分圆的面积; 正确,因为圆O是关于原点对称的,而f(x)=2x3的图象也关于原点对称,易知 圆的面积被平分了;错,因为f(x)=xsin x为偶函数,其图象不关于原点对 称,故不能把圆的面积平分;对,因为f(x)= 为奇函数,其图象关于原 点对称,故可以把圆的面积平分.,c,利用函数的奇偶性判断函数的图象,下图为函数yf(x)与yg(x)的图象，则函数yf(x)g(x)的图象可能是( ),4函数yxcos x的部分图象是( ),

10、D,A,2(2012大连市模拟)已知函数f(x)(xa)(xb)(其中ab)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)axb的图象是( ),A,反思归纳,知式选图的策略 (1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置; (2)从函数的单调性(有时可借助导数),判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)从函数的周期性,判断图象的循环往复; (5)从函数的特殊点(与坐标轴的交点、经过的定点、极值点等),排除不合要求的图象. 提醒:注意联系基本初等函数图象的模型,当选项无法排除时,代特殊值,或从某些量上寻找突破口.,考点探究,变式探究,2(1)

11、已知定义在2，2上的函数f(x)图象如右图所示，给出四个函数：yf(x)；yf(x)；y|f(x)|；yf(|x|)，再给出下面四个图象，则配对正确的是 ( ),C,考点探究,Ad，c，b，a Ba，c，d，b Cc，d，a，b Db，d，c，a,(2014课标,6,5分)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在0,上的图象大致为 ( ),答案 C 解析 由题图可知:当x= 时,OPOA,此时f(x)=0,排除A、D;当x 时,OM=cos x,设

12、点M到直线OP的距离为d,则 =sin x,即d=OMsin x=sin,xcos x, f(x)=sin xcos x= sin 2x ,排除B,故选C.,c,图中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3两矩形所构成设函数SS(a)(a0)是图中阴影部分介于平行线y0及ya之间的那一部分的面积，则函数S(a)的图象大致为,根据函数值变化趋势判断函数的图象,函数图象的应用 典例(2015稽阳联考文,7,5分)已知函数f(x)=|x-1|-1,且关于x的方程f 2(x)+af(x)-2=0有三个实数根,则实 数a的值为 ( ) A.1 B.-1 C.0 D.2 答案 B 解析 对照f(

13、x)=|x-1|-1的图象,令t=f(x),则方程t2+at-2=0的两个根为t1=-1,t2 (-1,+),代入得a=-1.经检验,满足题意,故选B.,函数图象应用的方法 (1)对于已知或易画出在给定区间上图象的函数,其性质(单调性、奇偶 性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究,但一定要注意性质 与图象特征的对应关系.,(2)当方程与基本函数有关时,可以通过函数图象来研究方程的根,方程f (x)=0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就 是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标. (3)当不等式问题不能用代数法求解但其对应函数图象可以作出时,常

14、将 不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题,从而利用数形结合求解. (4)遇到不熟悉的非常规的函数问题时,往往要考虑运用函数图象,利用数 形结合思想求解.,答案: 5,考点4 函数图象的应用,考点探究,【例4】 已知函数yf(x)(xR)满足f(x2)f(x)，且当x1，1时，f(x)x2，则yf(x)与ylog7x的图象的交点个数为_,解析：f(x2)f(x)， f(x)是以2为周期的周期函数， 又x1，1时，f(x)x2分别作出yf(x)与ylog7x的图象可知有交点6个 答案：6个,考点探究,点评：函数的图象和性质是互相联系的，可以互相转化的函数图象和性质的应用主要表现在：(1)从图象

15、的左右分布，分析函数的定义域；从图象的上下分布，分析函数的值域；从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等(2)利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，比如判断方程是否有解，有多少个解？数形结合是常用的思想方法,反思归纳,构造函数,转化为两函数图象的交点个数问题,在同一坐标系中分别作出两函数的图象,数形结合求解.,考点探究,点评：函数的图象和性质是互相联系的，可以互相转化的函数图象和性质的应用主要表现在：(1)从图象的左右分布，分析函数的定义域；从图象的上下分布，分析函数的值域；从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等(2)利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，比如判断方程是否有解，有多少个解？数形结合是常用的思想方法,反思归纳,由函数零点的个数或由方程根的个数确定参数的取值(范围),常常转化为两函数图象交点个数问题;利用数形结合可求出参数取值(范围).,