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1、数列求和的基本方法技巧数列求和的基本方法技巧数列求和是数列的重要内容之一，培养学生从有限到无限的思维能力，在高考中占有重要的地 位。在现行高中教材中，只对等差数列和等比数列的求和公式进行了计算推导，而数列种类繁多， 形式复杂，绝大多数既非等差数列又非等比数列，也就不能直接用公式来求解。对于这种非常规数 列的求和问题，现归结为以下几种方法。 一、倒序相加法一、倒序相加法 此法来源于等差数列求和公式的推导方法，就是将一个数列倒过来排列（反序） ，再把它与原数列相加，就可以得到 n 个。)(1naa 例 1. 已知,，求。lg xy =a（）nn-1n-22n n=lgx +lg xy +lg xy
2、+lgyS（）（）+nS解：nn-1n-22n n=lgx +lg xy +lg xy+lgyS（）（）+把等式的右边顺序右边顺序倒过来写，即可以写成以下式子：nn-1n-22n n=lgy +lg yx +lg yx+lgxS（）（）+把两式相加得n n2=n+1 lg xy=nn+1 lgxy=a nn+1Sg（）（）（）（）).1n(n2aSn此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序相加的。二、错位相消法二、错位相消法此法来源于等比数列求和公式的推导方法。例 2. 求数列的前 n 项和。23na 2aana，3 ，解：设23n nS =a+2a + a +n
3、a3当1a 时，nn+1)S =1+2+ +n=2n(3当1a 时，23n nS =a+2a + a +na3式两边同时乘以公比 a，得234n+1 naS =a +2a + a +na3、两式相减得234nn+1 n1-aS =a+a +a +a +a -na（） n+2n+1n2na- n+1 a+a= 1-aS这种方法主要用于求数列的前 n 项和，其中是等差数列，是等比数列。nnabg na nb三、拆项分组法 把一个数列分拆成若干个简单数列（等差数列、等比数列） ，然后利用相应公式进行分别求和。例 3. 求数列， ，的前 n 项和。2-1x+x22-2x +x2n-nx +x解：设数列
4、的前 n 项和为，则nS 222-12-2n-n= x+x+ x +x+ x +xnS 2-24-42n-2n= x +x +2 + x +x +2 + x+x+2 242n-2-4-2n= x +x +x+ x +x +x+2n当时，x1 22n-2-2n2n2n+2n2-2n2xx-1xx-1x-1x+1=+2n=+2nx -1x -1xx -1S2（） 当时，x=1n=4nS说明：在运用等比数列的前 n 项和公式时，应对 q1 与的情况进行讨论。q1四、裂项相消法 用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项技巧。如（1）n1a =n+1- nn+1+ n（2） 111 ) 1(1 nnnn
5、an)121 121(211) 12)(12()2(2nnnnnan（3）)2)(1(1 ) 1(121 )2)(1(1 nnnnnnnan例 4. 求数列的前 n 项和。1 nn+2（）解：n11 11a =-nn+22 nn+2Q（）（）（） 1111111112324352nSnn 1111=1+-22 n+1 n+21 311=-2 2 n+1 n+2 解析：要先观察通项类型，在裂项求和，而且要注意剩下首尾项的项数。五、奇偶数讨论法 如果一个数列为正负交错型数列，那么从奇数项和偶数项分别总结出与 n 的关系进行求解。nS例 5. 已知数列，求该数列的前 n 项和。 na n na =-
6、2 n- -1nS解：对 n 分奇数、偶数讨论求和。 n na =-2 n- -1221nn 当时，n= m2m N 22m 2m=-2(1+2+3+2m +2-1 + -1+ -1nSS）=-2(1+2+3+2m =- 2m+1 21mn n g）当时，n= m-12m N 2 2m-12m2m=-a=-21) 22 21m nSSSmmm g（2=-21) 22 21 =-n -n-2mmmg（2-nn+1n-n -n-2 n nS（） 为偶数为奇数说明：对于以上的各种方法，大家应注意体会其中所蕴含的分类讨论及化归的数学思想方法。 当然，数列求和的方法还有很多，大家平时还应多注意总结。教学
7、反思及总结：教学反思及总结：1.我从两个方面设计变式题。其一，横向变化，其二是纵向变化。横向变化是：从公式例题各个侧面来看求和，让学生开拓了视野，展开丰富的联想：分组求和可分两组，是否还有分三组来解的题？裂项相消法求和有分母裂项求和，是否还有分母有理化进行求和等。纵向变化：条件削弱，问题复杂，难度提升。从具体到抽象，从特殊到一般螺旋式的上升。横向变化，可看出思维变异的多样性。这种思维变异的多样性在今后的学习过程中将要面临的。如何理解这种数学的合理性呢？学生的学习的本质是继承、借鉴、发展、创新，而问题变式教学恰是在有实例的支持下，继承了思维变异的常用技巧，借鉴此技巧、寻求更多的变异，如分组成三个
8、或更多个的式子求和，使学的思维得到充分的发展，从而取得创新的目的，这就是教学中所要取得的效果。从纵向变化，可看出思维变异的深入性。问题的层层深入，使问题的一般规律掀起盖头，让学生体验了思维向纵深发展的规律。2.反思求和公式方法的总结，我也发现了种种遗憾如学生的解法均缺乏根据，但教师赞赏学生这种善于通过类比联想而发现的创造性解法，为了保护学生的积极性和创造性，没有进行否定，而是让学生课下思考，是否妥当?需要研究又如裂项相消法等，都是由教师提出来的，若是能由学生主动提出就更好了为此急需加强对学生提出问题的能力的训练和培养，3.利用课堂教学的机会，有意识地将数学研究的某些思想方法渗透到教学过程中，课堂教学不能单纯传授知识，应在传授知识的同时注重能力的培养、在上述思想的指导下，这堂课的教学过程中，每个例题都让学生体会到通项化归的思想方法。4.提高课堂教学的实效，加快学生的思维节秦，不拖泥带水，该说的话， 要说到点上，要说透，能少说的，就决不多说，尽量挤出时间让学生多练。 在例题讲解中，以学生为主，先由学生自行解题，展开讨论及合作学习， 充分调动了学生学习数学的热情,提高创新思维的能力
