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1、山东师范大学本科毕业论文（设计）摘要学院：数学科学学院 专业：信息与计算科学 班级：2007 级信计 1 班姓名潘炳燕学号200708020322指导教师付静论文（设计）题 目大数定律的对比与应用关键词大数定律、 随机变量 、概率论文（设计）字数6153内容摘要：大数定律以严格的数学形式表达了随机现象的根本性质：平均结果的稳定性（概率是频率的稳定值） ，是随机现象统计规律性的具体表现。本文介绍了几种常用的大数定律，从他们的证明过程，表现形式，条件的强弱上进行对比，并分析了几种常见大数定律的关系，同时总结分析了大数定律的简单应用。成绩学院负责人（签名）年 月 日注：文科论文摘要不少于 500 字
2、，理科不少于 300 字。本页一式两份，一份装入学生档案，一份由学院保存本科毕业论文论文题目： 大数定律的对比与应用 学生姓名： 潘炳燕 学号： 200708020322 专业： 信息与计算科学 指导教师： 付静 学 院： 数学科学学院 2011 年 5 月 20 日论文（设计） 题 目大数定律的对比与应用选题时间2010-10-25完成时间2011-5-20论文（设计）字数6153关 键 词大数定律 随机序列 概率论文（设计）题目的来源、理论和实践意义：人们的长期实践表明：随着试验重复次数 n 的增加，频率会稳定在某个常 数 a 附近：比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然
3、的， 但当我们上抛硬币的次数足够多后，达到上万次甚至几十万几百万次以后，我 们就会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一。这种情况下，偶 然中包含着必然。必然的规律与特性在大量的样本中得以体现。在试验不变的 条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。在大量重复出现的条件下，往往呈现几乎必然的统计特性，这个规律就 是大数定律。简单地说，大数定理就是“当试验次数足够多时，事件发生的频 率无穷接近于该事件发生的概率”论文（设计）的主要内容及创新点：本文介绍了几种常用的大数定律，从他们的证明过程，表现形式及条件的强弱上进行对比，并给出简单应用：在分布型未知的情况下估计数学期;在数学分
4、析中的应用, ,在实际应用 在误差领域的应用. 用在保险公司测定是否应该施行一个新的险种附：论文（设计）本人签名： 年 月 日目录中文摘要 1英文摘要 1一、引言 2二、大数定率的发展 2(一) 大数定律产生的背景 2（二）大数定律的发展 3（三）大数定律的概述 3三、常用大数定律的对比 4（一）几个常见大数定律 4（二）大数定律的的对比 71. 几个大数定律在条件的对比 72.几个大数定律在表现形式上的对比 83.几个大数定律的关系 10四、大数定律的应用 10 （一）在分布型未知的情况下估计数学期望和方差 11（二）在数学分析中的应用 1212(三) 在实际应用 13（四） 在误差领域的应
5、用15（五） 用在保险公司测定是否应该施行一个新的险种16参考文献 19大数定律的对比和应用大数定律的对比和应用潘炳燕摘要摘要：大数定律以严格的数学形式表达了随机现象的根本性质。平均结果的稳定性（概率是频率的稳定值）是随机现象统计规律性的具体表现。本文介绍了几种常用的大数定律，从他们的证明过程，表现形式及条件的强弱上进行对比，并给出一些简单应用。关键词关键词：大数定律 随机序列 概率Contrast and application of law of large numbersPanBingyanAbstractAbstract: The law of large numbers strict
6、ly expresses the fundamental properties of random phenomena through the mathematical form. The stability of average results (the probability is a random value of the frequency) is the manifestation of the phenomenon of statistical regularity. This paper introduces several common law of large number,
7、 and contrasts them from their proof process, forms and the strength of conditions, giving some simple applications.Key words: Law of large numbers statistical random sequence probability一引言一引言人们的长期实践表明：随着试验重复次数 n 的增加，频率会稳定在某个常数 a 附近：比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们上抛硬币的次数足够多后，达到上万次甚至几十万几百万次以后，我们就
8、会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一。这种情况下，偶然中包含着必然。必然的规律与特性在大量的样本中得以体现。在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。二二. .大数定律发展大数定律发展（一）大数定律产生背景：（一）大数定律产生背景： 我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，如果扔的次数很少，比如三、五次，这样统计一下出现“正面”的频率，会发现波动很大；但当我们上抛硬币的次数足够多后，比如 100 次，就会发现出现“正面”的频率大约在 1/2 上下徘徊。达到上万次甚至几十万几百万次以后，我们就会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一。所以我
9、们都能接受扔硬币出现正面的概率是“1/2”的说法。但大家必须明白， “概率”是无法测量的，只有“频率”是可以被测量的。大数定律的产生告诉我们，用“频率”去推测“概率”是合理的。在大量重复出现的条件下，往往呈现几乎必然的统计特性，这个规律就是大数定律。简单地说，大数定理就是“当试验次数足够多时，事件发生的频率无穷接近于该事件发生的概率”（二）大数定律的发展（二）大数定律的发展十七、十八世纪之交，有不少的数学家从事过概率的研究。伯努利的巨著猜度术就是一项重大的成就，其中的“伯努利定理”就是“大数定理”的最早形式，概率论中的第一个极限定理即“在多次重复试验中，频率有越趋稳定的趋势”。之后，棣莫佛和辛
10、普生又作了巨大的推进。 十八世纪，法国自然哲学家布丰在概率算术试验中导入“投针问题”，后来，有许多人用同样的方法计算值其中最为神奇的是意大利数学家拉兹瑞尼，他在 1901 年宣称进行了多次投针试验得到了的值为 3.1415929这与的精确值相比，一直到小数点后七位才出现不同！ 十九世纪，概率论有了飞跃的进展，拉普拉斯的经典著作分析概率论总结了这一时代的概率论的研究，提出了概率的古典定义。高斯奠定了最小二乘法和误差论的基础。泊松推广了“大数定律”，引入了十分重要的“泊松分布”，切比雪夫和他的学生马尔可夫分别创建了“大数定律”和“马尔可夫链”。 （三）大数定律的概述（三）大数定律的概述大数定律又称
11、大数法则、大数率，它是概率论与数理统计学的基本定律之一。通俗地说，这个定律就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件发生的频率趋于一个稳定值，这个稳定值就是随机事件发生的概率。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们上抛硬币的次数足够多，达到上万次甚至几百万次以后，我们就会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一。所以，我们说抛硬币这一事件中，正面和反面出现的概率都是 0.5，而掷骰子事件中每个面出现的概率都是1/6。大数定律讨论了 n 个随机变量的平均值的稳定性，是对随机现象进行概型化研究的重要基础。用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理，称
12、为大数定律三常用的几个大数定律的对比三常用的几个大数定律的对比 定义：设有一个随机变量序列X ，假使它具有形如，对任意的 0，nP-0,有P-p=1 nlimnn伯努利大数定律说明：随着 n 的增大，事件 A 发生的频率与其nn频率 P 的偏差-p 大于预先给定的精度的可能性愈来愈小，小到nn可以忽略不计。这就是频率稳定于概念的含义，或者说频率依概率收敛于概率。伯努利大数定律提供了用频率来确定概率的依据。譬如要估计某种产品的不合格率 p,则可从该产品中随机抽取 n 件，当 n 很大时，这 n 件产品中的不合格产品的比例可作为不合格品率 p 的估计值。2.2. 切比雪夫大数定律：切比雪夫大数定律
13、：设X 为一列两两不相关的随机变量序列，若每个 X 的方差存ni在，且有共同的上界，即 Var(X ) c，i=1，2，则X 服从大数定律，in即对任意的0 , 有P-0，nP-0，nP-0，都有：knP=1 nlimnppp nnn216.6. 伯恩斯坦大数定律伯恩斯坦大数定律设X 是方差一致有界的随机变量序列，且当k-l 时，一n致地有Cov(X ，X ) 0, kl则X 服从大数定律，即对任意的0，nP-0，满足公式2P-0，有P-p=1 nlimnn该定律是切贝雪夫大数定律的特例，其含义是，当 n 足够大时，事件 A 出现的频率将几乎接近于其发生的概率，即频率的稳定性。在抽样调查中，用
14、样本成数去估计总体成数，其理论依据即在于此。2.42.4 辛钦大数定律辛钦大数定律设X 为一独立同分布的随机变量序列，若 X 的数学期望存在，则Xni服从大数定律n辛钦大数定律提供了求随机变量数学期望 E（X）的近似值的方法。设想对随机变量 X 独立分布重复观察 n 次，第 K 次观 察值为 X ，则，k1X2X应该是相互独立的，且它们的分布应该与 X 的分布相同nX3. 几个大数定律的关系3.1 伯努利大数定律是泊松大数定律的特例。在泊松大数定律的条件中，如果 P =p,则泊松大数定律也会死就是伯努利大数定律。伯努利大数k定律证明了事件在完全相同的条件下重复进行的随机试验中频率的稳定性，而泊松大数定律表明，当独立进行的随机试验的条件变化时，频率仍然具有稳定性：随着 n 的无限增大，在 n 次独立试验中，事件A 的频率趋于稳定在各次试验中 A 出现的频
