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1、_$3矩阵对策的混合策略若不存在vys=v=vVb,则局中人甲、乙两方没有最优纯策略,就要考虑如何随机地使用自己的策略,使对方捉摸不到自己使用何秋策略。即使用混合策略。吊【设矩阵对策G=S,So,A当InaXmin誓遭羊亨嶂nm髓苔蛙i时,不存在最优纯策略。例:设一个赡得矩阵如下:Imin55业刀s关引F9f灿=maX6策略au866/广imax89当甲取策略aa,乙取策略B,时,甲实际嬗得8比预测。考虑到甲可能取策略a这一点,乙采取策略Bs。若甲也分析到乙可能采取策略B这一点,取策略cu,则赢得更多为9。此时,对两个局中人甲、乙来说,没有一个双方均可接受的平衡局势,其主要原团是甲和乙没有执行
2、上述原则的共同基础,即maxmin4ij大IminInaXQij。战里一个自然的想法:对甲(乙)给出一个选取不同策略的概率分布,以使甲(乙)在各种情况下的平均赢得(损失)最多(最少)-即混合策略。求解混合策略的问题有图解法、迪代法、线性方程法和里只介绍线性规划法其他方法略。例:设甲使用策略ou的概率为X,使用策略a的概率为X,并设在最坏的情况下,甲赢得的平均值为T(未知】。A=STEP1861)Xu+Xo=1XX,0垩营略,甲的平均赢得应不少于VY:对乙取B:5X,+8Xy对乙取Bz:“9X,+6XV注意V0,团为A各元素为正。STEP2作李裤:z“/4;=命广得到上述奂系式变为:+Xo=1/
3、V(V愈大愈好)待定5X+8Xoz19X+6Xo1页,页z0线性模型:En。知HXo5丁5HSRal英0.0489Xl+6XozlCXMJXo=0.095,所以,V=6.993返回原问题:X,=XiV=0.336X0设在最坏的情况下,甲赢得的平均值为V。这也是乙损失的平均值,越小越好。作变换:一=Y/W4,&趸W建立线性横型:maX“一+Y,s.t。5Y1+9Yo101/V=+Yo-1/7所以,V=6.993矗厘、问题:Y=YV=12Y=YV=12于是乙的最优混合策略为:以妇的概率选Bj;以奶的概率选B,最优值V=7。当嬗得矩阵中有非正元素时,VW0的条件不一定成立,可以作下列变蜀1选一正数,
4、传矩阵中每一元素加上水得到新的正矩阵4,其对应的矩阵对策佳=88酝当=8,8o,史解相同,但Ve=Vae,-R例1:求解“齐王赛马“问题。知齐王的嬗得矩阵A巳山巳巳人maxmina二一大IminmaxQi故不存在铠啤闯题丁喃解可求兵混合策略。A中有负元素,可以取k=2，在A的每个元素上加2得到“如下:目人人一人人U人人人一人心人人0人人伟一0人人伟伟A人人人U人人人巳立对G=Sl,S,h中求甲方最佳策略的线性规划如下:MinXi+xohxahxi+Ke+Xe的来条件:5xi+Sxa+Sxa+xi+3x5+3x6芒13x+5xzHxa+3xiH3x5+3x6芒13xi+3xo+5xa+3xiH3x5HK6芒13xi+Sxa+Sxa+5XiHX5+3X6芒x】+3x2+3x3+x_+5赘5十3x艺13xihxa+3坡银场余环15英一1i芒0,i-l26可解得解为:xl=xiZxi=0,Xozxazxe=0.111,V=3,Xl=x_=x5=0,知x=xe=1/8,即X*“=(0,1/3,1/3,0,0,1/3)7,所以甲的最优策略为作出策略oa、oa、oe的概率都为0.333,而作出al、ox、0的概率为0,此时Wgsy=3。
