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1、第一节 合情推理与演绎推理,基础梳理,1. 归纳推理 (1)归纳推理的定义 从 中推演出 的结论,像这样的推理通常称为归纳推理. (2)归纳推理的思维过程大致如图 . (3)归纳推理的特点 归纳推理的前提是 ,归纳所得的结论是,该结论超越了前提所包容的范围.,实验、观察,概括、推广,猜测一般性结论,个别事实,一般性,几个已知的特殊现象,尚属未知的一般现象,由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过 和 ,因此,它不能作为 的工具. 归纳推理是一种具有 的推理.通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们 问题和 问题.,2. 类比推理 (1)根据两个(或两类)对象
2、之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同,像这样的推理通常称为类比推理. (2)类比推理的思维过程是: ,3. 演绎推理 (1)演绎推理是一种由 的命题推演出 的推理方法. (2)演绎推理的主要形式是三段论式推理.,观察、比较,联想、类推,猜测新的结论,逻辑证明,实践检验,数学证明,创造性,发现,提出,一般性,特殊性命题,(3)三段论的常用格式为 其中,是 ,它提供了一个一般性的原理;是 ,它指出了一个特殊对象;是 ,它是根据一般原理,对特殊情况作出的判断.,典例分析,题型一 归纳推理 【例1】如图所示：一个质点在第一象限运动, 在第一秒钟内它由原点运动到（0，1），而后
3、接着按图所示在与x轴,y轴平行的方向上运动，,M-P(M是P),S-M(S是M),S-P(S是P),大前提,小前提,结论,且每秒移动一个单位长度，那么2 000秒后，这个质点所处位置的坐标是 .,分析 归纳走到（n,n）处时，移动的长度单位及方向.,解 质点到达（1，1）处，走过的长度单位是2,方向向右； 质点到达（2，2）处，走过的长度单位是6=2+4,方向向上； 质点到达（3,3）处，走过的长度单位是12=2+4+6,方向向右； 质点到达（4,4）处，走过的长度单位是20=2+4+6+8,方向向上； 猜想：质点到达(n,n)处，走过的长度单位是2+4+6+2n=n(n+1),且n为偶数时运
4、动方向与y轴相同,n为奇数时运动方向与x轴相同. 所以2 000秒后是指质点到达（44,44）后，继续前进了20个单位，由图中规律可得向左前进了20个单位,即质点位置是（24,44）.,学后反思 归纳推理分为完全归纳和不完全归纳,由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的,但它由特殊到一般,由具体到抽象的认识功能,对科学的发现是十分有用的.观察、实验,对有限的资料作归纳整理,提出带有规律性的说法,乃是科学研究的最基本的方法之一.,1. 在数列an中，a1=1, nN*,试猜想这个数列的通项公式.,举一反三,解析:,，猜想： .,题型二 类比推理 【例2】类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算
5、性质.,分析 实数的加法所具有的性质，如结合律、交换律等，都可以和向量加以比较.,解 （1）两实数相加后，结果是一个实数,两向量相加后，结果仍是向量; （2）从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律, 即a+b=b+a,a+b=b+a, （a+b）+c=a+(b+c),(a+b)+c=a+(b+c); （3）从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算，即a+x=0与a+x=0都有惟一解，x=-a与x=-a；,（4）在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a+0=a.在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，也不改变该向量的方向,即a+0=a.,学后反思 (1)类比
6、推理是个别到个别的推理，或是由一般到一般的推理. (2)类比是对知识进行理线串点的好方法.在平时的学习与复习中，常常以一到两个对象为中心，把它与有类似关系的对象归纳整理成一张图表，便于记忆运用.,2. 类比圆的下列特征，找出球的相关特征.,举一反三,（1）平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆; （2）平面内不共线的3个点确定一个圆； （3）圆的周长和面积可求; （4）在平面直角坐标系中,以点（x0,y0）为圆心，r为半径的圆的方程为（x-x0）2+(y-y0)2=r2.,解析:（1）在空间中与定点距离等于定长的点的集合是球; （2）空间中不共面的4个点确定一个球; （3）球的表面积与体积可求
7、; （4）在空间直角坐标系中，以点(x0,y0,z0)为球心，r为半径的球的方程为（x-x0）2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.,题型三 演绎推理 【例3】(14分)已知函数f(x)=ax+bx,其中a0,b0,x(0,+)，试确定f(x)的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性.,证明 设0x1x2, 1 则f(x1)-f(x2)=( +bx2)-( +bx2)=(x2-x1)( -b).3 当0x1x2 时，则x2-x10,0x1x2 , b,6 f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2), 7 f(x)在(0, 上是减函数；.8 当x2x1 时，则x2-x10,x1x2
8、, b,10 f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),12 f(x)在 ,+）上是增函数. .14,分析 利用演绎推理证明,根据单调性的定义分情况讨论.,学后反思 这里用了两个三段论的简化形式，都省略了大前提.第一个三段论所依据的大前提是减函数的定义;第二个三段论所依据的大前提是增函数定义，小前提分别是f(x)在(0, 上满足减函数的定义和f(x)在 ,+)上满足增函数的定义，这是证明该问题的关键.,3.用三段论证明函数f(x)=-x2+2x在(-,1上是增函数.,举一反三,证明： 设x1(-,1,x2(-,1,x1x2, 则x=x2-x10. y=f(x2)-f(x1)=(-x22
9、+2x2)-(-x12+2x1) =x12-x22+2x2-2x1,=(x1+x2)(x1-x2)+2(x2-x1) =(x1-x2)(x1+x2-2). x1x21, x1+x22,x1+x2-20, (x1-x2)(x1+x2-2)0. 则f(x2)-f(x1)0 f(x2)f(x1), f(x)=-x2+2x在(-,1上是增函数.,易错警示,【例】在RtABC中，三边长为a,b,c,则c2=a2+b2.类比在三棱锥中有何结论?,错解 在三棱锥VABC中,有S2VAB+S2VBC+S2VAC=S2ABC,错解分析 错解错误在于没有注意到原命题中的三角形是直角三角形，在解题中没有把三棱锥的题
10、设与其进行类比.,正解 在三棱锥V-ABC中，VAVBVC,则S2VAB+S2VBC+S2VAC=S2ABC.,考点演练,10. (2010衡水模拟)设函数f(x)= ,利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，求f(-5)+f(0)+f(5)+f(6)的值.,解析： 由题意知: f(x)+f(1-x)= f(-5)+f(0)+f(6)=f(-5)+f(6)+f(-4)+f(5)+f(-3)+f(4)+f(-2)+f(3)+f(-1)+f(2)+f(0)+f(1)= .,11.观察下列等式: sin210+cos240+sin 10cos 40= ; sin26+cos236+sin 6cos
11、 36= . 由上面两题的结构规律,你是否能提出一个猜想?并证明你的猜想.,解析： 由可看出,两角差为30,则它们的相关形式的函数运算式的值均为 .猜想,若-=30,则=30+,sin2+cos2+sin cos = .也可直接写成:sin2+cos2(+30)+sin cos(+30)= . 证明:左边= +sin cos(+30) = + sin (cos cos 30-sin sin 30),= - cos 2+ + cos 2- sin 2+=右边, 故sin2+cos2(+30)+sin cos(+30)= .,12. (创新题)小朋用第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”摆出如图(
12、1)、(2)、(3)、(4)这四个图案,现按同样的方式构造图形,设第n个图形包含f(n)个“福娃迎迎”. (1)试写出f(5)、f(6)的值; (2)归纳出f(n+1)与f(n)之间的关系式,并求出f(n)的表达式; (3)求证:,解析: (1)f(5)=1+3+5+7+9+7+5+3+1=41, f(6)=1+3+5+7+9+11+9+7+5+3+1=61. (2)因为f(2)-f(1)=3+1=4,f(3)-f(2)=5+3=8, f(4)-f(3)=7+5=12,归纳得f(n)-f(n-1)=4(n-1),则f(n+1)-f(n)=4n. f(n)=f(n)-f(n-1)+f(n-1)-f(n-2)+f(2)-f(1)+f(1) =4(n-1)+(n-2)+2+1+1 =,(3)证明:当k2时,
