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1、特殊类型函数积分,第6章,第四节,二、有理函数的积分,三、可化为有理函数的积分举例,一、问题的提出,初等函数在其定义区间上一定有原函数，,但原函数是否一定是初等函数？,不一定.,初等函数,初等函数,答：,问题1,一般地，,一、问题的提出,如：下列不定积分都不能用初等函数表示：,问题2,有理函数的原函数是否一定是初等函数？,一定是.,答：,二、有理函数的积分,1. 有理函数,两个多项式的商表示的函数称之为有理函数.,其中 m , n N+, a0 , a1, , an , b0 , b1 , , bm 均为实常数， a0 0， b0 0.,这有理函数称为真分式；,这有理函数称为假分式；,假定：分
2、子与分母之间没有公因式.,如下四种分式称为部分分式：,(3) 部分分式,其中,(1) 假分式 ( n m ) 分解,假分式,多项式 + 真分 式,2. 有理函数的分解,例1,解,例2,解 (方法1) 比较系数法,赋值法,(方法2),例3 将,解(方法1),比较系数法,分解为部分分式.,通分,去分母,去分母：,故,比较系数法：,(方法2),通分后去分母：,令,令,令,故,赋值法,3.有理函数的积分,这四类积分均可积出, 且原函数都是初等函数.,例4,配分母的导数,例5,解,(例2),例6,解,由例3，得,解,整理得,求积分,例7,利用待定系数法分解有理函数是一种一般的方法， 但一般运用起来比较麻烦.因此，在求有理函数的积分时，应该首先考虑是否有其他更简便的方法.,注,例8,（四项幂函数积分）,三、可化为有理函数的积分举例,1. 三角函数有理式的积分,引例1,例9,解 令,则,求积分,例10,解,(方法2),例11,例12,2. 简单无理函数的积分,解 令,则,例12,例13,解 令,则,分子迎合分母,例14,(1)求,解 令,则,例15,为同时去两根式,小结 为同时去掉根式,最小公倍数,取根指数 n和m 的,例16,解 令,则,
