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1、第五章 大数定律与中心极限定理,1 大数定理,2 中心极限定理,1 大数定律,一、问题的提出,1、频率的稳定性,2、算术平均值的稳定性,二、依概率收敛,设 是一个随机变量序列，a 是一个常数。,若对任意 ，有,或,则称随机变量序列 依概率收敛于a。记为,1、定义,2、依概率收敛的性质,设 ，且 在点 连续，则,3、大数定律的概念,设 是一个随机变量序列，记,若存在常数序列 ，使得对任意 ，都有,则称随机变量序列 服从大数定律(大数法则)。,1、切比雪夫大数定律,都有,或,意义:,在定理的条件下，n个随机变量的算术平均，当n无限增加时将几乎变成一个常数。,三、大数定律,1、切比雪夫大数定律的特殊
2、情况,设随机变量 相互独立，且具有相同的,数学期望和方差：,记,则对任意,有,或,三、大数定律,意义:,在定理的条件下，n个随机变量的算术平均，当n无限 增加时将几乎变成一个常数。,2、伯努利大数定律,（2）设X为n重贝努利试验中事件A发生的次数，且每次试验,或,或,或,3、辛钦大数定律,2 中心极限定理,一、问题的提出,例如: 考虑大炮的射程.,受风速、风向影响产生的误差；,在很多实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的总的影响。,如大炮炮身结构导致的误差；,发炮士兵技术引起的误差等等。,对我们来说重要的是这些随机因素的总影响。,大炮的射程受很多随机因素的影响:,瞄准时的误差；,观察表明
3、，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从正态分布.,下面我们来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题.,当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？,由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量,的分布函数的极限.,可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布.,1、林德伯格-列维定理（独立同分布的中心极限定理）,望和方差：,则随机变量,的分布函数为 ，,则对任意实数x，有,二、中心极限定理,之和标准化的变量,1、林德伯格-列维定理（独立同分布的中心极限定理）,
4、即，n 充分大时，有,可化为,记,则有,1、林德伯格-列维定理（独立同分布的中心极限定理）,即，n 充分大时，有,记,则有,或,大样本统计推断的基础,例1 一加法器同时收到20个噪声电压 ，设它们,是相互独立的随机变量，且都在区间 上服从均匀分布。,记 ，求 的近似值。,于是,例2 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.,由题给条件知，诸Xi独立，,16只元件的寿命的总和为,且E(Xi)=100, D(Xi)=10000,依题意，所求为P(Y1920),设第i只元件的寿命
5、为Xi , i=1,2, ,16,E(Y)=1600,D(Y)=160000,P(Y1920)=1-P(Y1920),=1-(0.8),1-,=1-0.7881=0.2119,解,棣莫弗-拉 普拉斯中心 极限定理,1、林德伯格-列维定理（独立同分布的中心极限定理）,望和方差：,记,考虑特殊情况:,均服从参数为p的0-1分布,于是有,0-1分布，则对任意实数 x，有,2、棣莫弗-拉普拉斯中心定理,即，n 充分大时，有,0-1分布，则对任意实数 x，有,2、棣莫弗-拉普拉斯中心定理,即，n 充分大时，有,2、棣莫弗-拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）,即，n 充分大时，有,设随机变量 服
6、从参数为n，p的二项分布，,则对任意,实数x，恒有,或,意义：在实际应用中，只要n充分大，二项分布就可以用正态分布来近似计算。,（1）对任意非负整数,意义：在实际应用中，只要n充分大，二项分布就可以用正态分布来近似计算。,具体用法:,设,n充分大,（2）对任意非负整数,意义：在实际应用中，只要n充分大，二项分布就可以用正态分布来近似计算。,具体用法:,设,n充分大,解：,在90000次波浪冲击中纵摇角大于 的次数记为X，,则有,于是，所求概率为,例1 一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于 的概率 ，若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有2950030500次纵摇角度大于
7、 的概率是多少?,例1 一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于 的概率 ，若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有2950030500次纵摇角度大于 的概率是多少?,解：,在90000次波浪冲击中纵摇角大于 的次数记为X，,则有,于是，所求概率为,（利用中心极限定理）,例2 假设一批种子的良种率为1/6，从中任意选出600粒，试计算这600粒种子中良种所占比例与1/6之差的绝对值不超过0.02的概率。,解：,设X表示600粒种子中的良种数，,则有,于是,由契比雪夫不等式，有,例2 假设一批种子的良种率为1/6，从中任意选出600粒，试计算这600粒种子中良种所占比例与1/6
8、之差的绝对值不超过0.02的概率。,法二（利用拉普拉斯中心极限定理）：,解：,设X表示600粒种子中的良种数，,则有,于是,例2 假设一批种子的良种率为1/6，从中任意选出600粒，试计算这600粒种子中良种所占比例与1/6之差的绝对值不超过0.02的概率。,法二（利用拉普拉斯中心极限定理）：,由契比雪夫不等式，有,例3 设某保险公司有10000人投保,每人每年交保费12元,投保人每年的死亡率为0.006.若投保人死亡,则公司付给死亡人家属1000元,求(1)保险公司没有利润的概率;(2)每年利润不少于60000元的概率.,例3 设某保险公司有10000人投保,每人每年交保费12元,投保人每年
9、的死亡率为0.006.若投保人死亡,则公司付给死亡人家属1000元,求(1)保险公司没有利润的概率;(2)每年利润不少于60000元的概率.,解:,设10000投保人中一年死亡X人，,则显然有,保险公司一年的收入为：,保险公司一年的支出为：,（1）,保险公司没有利润的概率为,例3 设某保险公司有10000人投保,每人每年交保费12元,投保人每年的死亡率为0.006.若投保人死亡,则公司付给死亡人家属1000元,求(1)保险公司没有利润的概率;(2)每年利润不少于60000元的概率.,解:,设10000投保人中一年死亡X人，,则显然有,保险公司一年的收入为：,保险公司一年的支出为：,（2）,每年
10、利润不少于60000元的概率为,例4 设 相互独立,设,则根据列维-林德伯格中心极限定理,当n充分大时,近似服从正态分布,只要,(A) 有相同的数学期望,(B) 有相同的分布,(C) 服从同一指数分布,(D) 服从同一离散型分布,例5 设 为独立同分布序列,且均服从参数为 的指数分布,则,（A）,（B）,（C）,（D）,例6 假设 独立同分布,已知,并且,。证明当n充分大时，随机变量,近似服从正态分布,并指出其分布参数。,例6 假设 独立同分布,已知,并且,。证明当n充分大时，随机变量,近似服从正态分布,并指出其分布参数。,解：,由已知知，,独立同分布，,且,由独立同分布的中心极限定理，,当n
11、充分大时，有,于是，,例6 假设 独立同分布,已知,并且,。证明当n充分大时，随机变量,近似服从正态分布,并指出其分布参数。,解：,例6 假设 独立同分布,已知,并且,。证明当n充分大时，随机变量,近似服从正态分布,并指出其分布参数。,解：,例6 假设 独立同分布,已知,并且,。证明当n充分大时，随机变量,近似服从正态分布,并指出其分布参数。,解：,例7 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别是0.05、0.8、0.15。若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布。（1）求来参加会议的家长数
12、X超过450的概率；（2）求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。,例7 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别是0.05、0.8、0.15。若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布。（1）求来参加会议的家长数X超过450的概率；（2）求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。,解:,(1),以 表示第k个学生来参加会议的家长,人数。,易知 的分布律为,有,由独立同分布的极限定理，有,则有,例7 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1
13、名家长、2名家长来参加会议的概率分别是0.05、0.8、0.15。若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布。（1）求来参加会议的家长数X超过450的概率；（2）求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。,解:,(2),以Y 表示只有一名家长来参加会议的学生数，,则有,于是，由拉普拉斯中心极限定理，有,例8 银行为支付某日即将到期的债券须准备一笔现金，已知这批债券共发放了500张，每张须付本息1000元，设持券人（1人1券）到期到银行领取本息的概率为0.4.问银行于该日应准备多少现金才能以99.9%的把握满足客户的兑换.,例8 银行为支付某日即将到期的债券须准备一笔现金，已知这批债券共发放了500张，每张须付本息1000元，设持券人（1人1券）到期到银行领取本息的概率为0.4.问银行于该日应准备多少现金才能以99.9%的把握满足客户的兑换.,解:,设X为该日到银行领取本息的总人数，,则有,银行所需支付的现金为1000X元，,设银行该日准备现金x元，,于是,即,得,234000元现金才能以99.9%的把握满足客户的兑换.,因此银行于该日应准备,练习,
