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1、第3章 离散傅立叶变换及其应用,3.1引言,第2章讲到周期序列的傅里叶级数展开（DFS），它揭示了离散的周期序列的频谱也是离散，但由于它们是周期序列，无始无终，还是不能直接使用计算机进行计算。如果把有限长序列（假设N点）进行周期延拓。那么就可以借用DFS进行计算，并将最后结果截取其一个周期；基于这样的思想提出了离散傅里叶变换（DFT）。并于1965年由库利（Cooley）和图基（Tukey）提出高效率计算DFT的快速方法，使得DFT的各种应用突飞猛进，尤其是在卷积计算、调制、解调、离散余弦变换等数字信号处理算法中。,3.2 离散傅立叶变换,3.2.1 DFT定义,假定一个周期序列 ，它是由长为
2、N点的有限长序列x(n) 经周期延拓而成，即,周期序列的主值区间与主值序列：对于周期序列 ，定义： 第一个周期 n=0N-1，为 的“主值区间” 主值区间上的序列为主值序列 x(n)。 x(n)与 的关系可描述为：,RN（n）为矩形序列。 符号(n)N 是余数运算表达式，表示 n 对 N 求余数。,例： 是周期为 N=8 的序列，求 n=11 和 n=-2 对 N的余数。,频域上的主值区间与主值序列：,周期序列 的离散傅里叶级数 也是一个周期序列，也可给它定义一个主值区间 ，以及主值序列 X(k)。,再看周期序列的离散傅里叶级数变换（DFS）公式：,这两个公式的求和都只限于主值区间（0N-1）
3、，它们完全适用于主值序列 x(n) 与 X(k) ，因而我们可得到一个新的定义 有限长序列离散傅里叶变换定义。,长度为N的有限长序列 x(n) ，其离散傅里叶变换 X(k) 仍是一个长度为N 的有限长序列，它们的关系为：,x(n) 与 X(k) 是一个有限长序列离散傅里叶变换对，已知 x(n) 就能唯一地确定 X(k) ，同样已知 X(k) 也就唯一地确定 x(n) 。x(n) 与 X(k) 都是长度为 N 的序列（复序列）都有N个独立值，因而具有等量的信息。,可以看出，k=0，1，2，N-1，相当于频率从直流DC到(N-1)fs的N个频率等分点。这些频率点上的余弦序列和正弦序列我们称之为频率
4、单元，或分析频点。也就是说，输入时域序列x(n)与频率单元做序列点积运算而得到频谱的实部和虚部，即该频率点所分解到的复系数X(k)。,DFT具有隐含周期性，同样地，可以证明IDFT中，x(n)也是隐含N点周期的。,DFT表示成矩阵形式，令 x=x(0)，x(1) ，x(2) ，x(N-1)T构成时域序列的列矩阵。 X=X(0)，X(1) ，X(2) ，X(N-1) T构成频域序列的列矩阵。,【例3.2.1】某复合正弦信号,用Matlab计算出16个采样数据。 t=0:1/16000:15/16000; % 时间增量1/16ms xt=sin(2*pi*2000*t)+0.5*sin(2*pi*
5、6000*t-3*pi/4); figure(1);stem(t,xt);xlabel(n);ylabel(x(n);,构造1616的变换矩阵WN，并计算出频谱X(k)。 n=0:15;k=0:15; %两个行向量 WN=exp(-j*2*pi/16).(n*k); %构造变换矩阵 X=xt*WN;Xa=abs(X);Xb=(angle(X)*180/pi; %弧度换成角度。 figure(2); subplot(2,1,1);stem(k,Xa);xlabel(k);ylabel(X(k); %幅度谱 subplot(2,1,2);stem(k,Xb);xlabel(k);ylabel(k)
6、; %相位谱,图中k=0和k=16是一样的，对应的是DC或fs(16KHz)； k=2和k=6对应的2KHz和6KHz的分量，且幅度也是成2倍关系。 但有问题：它们的幅值是8与4，对应相位变成了-90和135；为何呢？ 这就是著名的DFT辅助效应，前者称为DFT的“计算增益”，增益值0.5N, （负频率部分还有0.5N），显然与数据点数有关，数据越长，效应越大。这也是IDFT公式中除以N的原因。 后者叫DFT的“附加相位”，是个-90固定值。如6KHz分量的相位本来是-135，计算出来却是135，这是因为-135-90=-225，但在习惯的180相位主值表示方式中，-225等价于135。 至于
7、出现的k=10和k=14的高频分量，那是因为采样带来的镜像谐波频谱。 幅度图中的细实线是从2KHz和6KHz复合正弦中截取一段2个周期长的信号的连续频谱，DFT只看到了2个主瓣的最高点，扩散的连续频谱的其他内容恰恰都躲过了DFT的观察点，即分析频率单元都落在频谱的过零点上。,DFT性质：,假设有限长序列x1(n)和x2(n)，长度分别为N1和N2，取N=maxN1, N2 （补0），它们的N点DFT分别为： X1(k)=DFTx1(n)X2(k)=DFTx2(n)(1) 线性y(n)=ax1(n)+bx2(n) Y(k)=DFTax1(n)+bx2(n)=aX(k)+bX2(k) ，a，b为任
8、意常数,(2) 循环移位有限长序列x(n)的循环移位定义为：y(n)=x(n+m)NRN(n) 含义： 1) x(n+m)N 表示 x(n) 的周期延拓序列的移位：,2) x(n+m)NRN(n) 表示对移位的周期序列 x(n+m)N 取主值序列，所以y(n)仍然是一个长度为N的有限长序列。y（n）实际上可看作序列 x（n）排列在一个N等分圆周上，并向左旋转 m 位。,循环移位,线性移位和循环移位操作比较,利用周期序列的移位特性：,序列循环移位后的DFT为：,同样，对于频域有限长序列X(k)的循环移位，有如下反变换特性：,（3）共轭对称性设 x*（n）为 x（n）的共轭复数序列，则DFTx*（
9、n）=X*(N-k) 证：,说明：当k=0时，应为X*(N-0)=X*(0)，因为按定义X（k）只有N个值，即0kN-1，而XN已超出主值区间，但一般已习惯于把X（k）认为是分布在N等分的圆周上，它的末点就是它的起始点，即XN= X0，因此仍采用习惯表示式DFTx*（n）=X*（N-k） 以下在所有对称特性讨论中，XN均应理解为XN=X0， 同样，x(N)=x(0)。,复序列的实部与虚部的DFT变换以 Rex(n)和 Imx(n)表示序列x（n）的实部与虚部,Xe（k）和X0（K）表示实部与虚部序列的DFT,由 Xe(k)可得：,因此，Xe(k)具有共轭对称性，称为X(k)的共轭偶对称分量。,
10、显然，,用同样的方法可得到X0(k)= - X*0(N-k) 即Xo(k)具有共轭反对称特性，称其为X(k)的共轭奇对称分量。,对于纯实数序列 x（n），即x（n）=Rex(n)，X（k）只有共轭偶对称部分，即：X（k）=Xe（k），表明实数序列的DFT满足共轭对称性，利用这一特性，只要知道一半数目的X（k），就可得到另一半的 X（k），这一特点在DFT运算中可以加以利用，以提高运算效率。,根据DFT的对偶特性，分别以xe（n）及x0（n）表示序列x（n）的循环共轭偶部与循环共轭奇部：,同样应从循环意义上理解 x（N-0）=x（0）。 可证明:DFTxe（n）=ReX（k）DFTx0（n）=j
11、ImX（k）,(4)选频特性对复指数函数 进行采样得复序列 x（n）0nN-1 其中r为整数。当0=2/N时，x（n）=ej2nr/N，其离散傅里叶变换为,可见，当输入频率为r0时，变换X（K）的N个值中只有 X（r）=N，其余皆为零，如果输入信号为若干个不同频率的信号的组合，经离散傅里叶变换后，不同的k上，X（k）将有一一对应的输出，因此，离散傅里叶变换算法实质上对频率具有选择性。当0 2k/N 时? 下面分析,现在把【例3.2.1】中的2KHz频率分量改成2.3KHz，且为了看得更清楚，去掉6KHz分量。即x(t)=1.sin(2.2300.t)信号，经过T=1/16ms采样，用N=16个
12、数据计算出的频谱幅度结果，如图3.2.7。虚线是2.3KHz信号被截取后的连续频谱图。,虚线是2.3KHz信号被截取后的连续频谱图,一个无限长时域信号被截断后，将造成单一频率信号的能量（频谱幅度平方），泄漏到附近所有频率区域上。这称为频谱泄漏。,再看该X(k)所对应的采样数据x(n) ，已经不是原序列了。,如何才能避免泄漏呢？,增大N，来满足条件。 比如：N=160个的，那么做DFT时，其频率分析点间隔是fs/N=16KHz/160=0.1KHz，第23点就恰好准确地观察到2.3KHz信号最高幅度。,（5）DFT与Z变换的关系 有限长序列可以进行z变换,是z平面单位圆上N等分后的第k点。,图
13、DFT与z变换,1）X(k)也就是z变换在单位圆上等间隔的采样值。2）X（k）也可看作是对序列付氏变换X（ej）的采样，采样间隔为： N=2/N。 即,结论：,采样定律告诉我们，一个频带有限的信号，可以对它进行时域采样而不丢失任何信息；DFT变换进一步告诉我们，对于时间有限的信号（有限长序列），也可以对其进行频域采样，而不丢失任何信息，这正反应了傅立叶变换中时域、频域的对称关系。 时域上的采样，使我们能够采用数字技术来处理这些时域上的信号（序列），DFT在频域也离散化，因此使得在频域采用数字技术处理成为可能。,3.2.3频率域采样,时域采样间隔T，fs=1/T，为防止频谱混叠发生，fs应满足时
14、域采样定理。 同样，频域里连续频谱被采样成等间隔离散频率点，即彼此呈谐波关系，而使得时域对应表现为周期化。 设时域序列点数为M，频率采样间隔F=2/M，那么对应时域周期化的周期大小为ts=1/F，为防止时域混叠发生，ts应足够大，大于信号长度。 设时域序列点数为Ns=ts/T，则只要M大于等于Ns，那就不会发生时域序列的混叠。这就是频率域采样定理。,【例3.2.2】频率域取样的例子,一个序列的连续频谱在一周期里等间隔取样了32个频率数据,经过IDFT逆变换后得到对应的时域序列： x(n)=2，-1，-3，-5，-2，2.1204e-016，1，2，4，5，7，9，8，6，3，1，1，2，1.2
15、204e-016，0，1.304e-016，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0。如图3.2.13，注意x(0)=1，x(1)=-2，x(16)=1，x(17)=2，从x(18)起都为0，说明x(n)是有限长N=18点的时间序列。,如果改为等间隔取样16个频率数据。 对应的IDFT后得到的时间序列x1(n)为16点， x1(n)=3，1，-3，-5，-2，2.1204e-016，1，2，4，5，7，9，8，6，3，1,对比发现：x1(0)=3，x1(1)=1，与x(n) 不相同，其他相同。因为序列x(n)实际长度18，只进行16点的频域采样，将会发生时域周期化后的混叠。即x1(0)=3=x(0)+x(-2)= x(0)+x(16)=2+1 ，x1(1)=1=x(1)+x(-1)= x(1)+x(17)=-1+2 。 其他14个数据不受影响。 如果是频谱取18个样点，那么将会刚好获得x(n)，这是个频率取样密度的临界值。,变量,周期,分辨率,频率 采样,模拟域,数字域,利用循环卷积和共轭对称特性，可证明DFT形式下的Parseval定律：,DFT形式下的Parseval定理,当y（n）= x（n）时，即为有限长序列的能量：,3.2.4循环卷积定理,
