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1、北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,5-1 纯弯曲 5-2 横力弯曲时的正应力 5-3 横力弯曲时的切应力 5-4 提高弯曲强度,第5章 弯曲应力,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,5-1 纯弯曲,1、弯曲构件横截面上的应力,当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既有弯矩M，又有剪力FS.,只有与正应力有关的法向内力元素dFN = dA 才能合成弯矩.,只有与切应力有关的切向内力元素 dFS = dA 才能合成剪力；,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,5-1 纯弯曲,2、纯弯曲,纯弯曲:,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,纯弯曲:,横力弯曲:,5-1 纯弯曲,若梁在某段内各横截
2、面的弯矩为常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为纯弯曲.,若梁在某段内各横截面既有弯矩又有剪力，则该段梁的弯曲就称为横力弯曲（或剪力弯曲）.,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,3、变形几何关系,5-1 纯弯曲,由纯弯曲的变形规律纵向线应变的变化规律。,(1)观察实验：,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,（2）变形规律：,横向线：仍为直线，只是相对转动了一个角度且仍与纵向线正交。,纵向线：由直线变为曲线，且靠近上部的纤维缩短，靠近下部的纤维伸长。,（3）假设：,5-1 纯弯曲,弯曲平面假设和纵向纤维假设,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,5-1 纯弯曲,弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面
3、变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某一轴转动了一个角度。,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,凹入一侧纤维缩短;,突出一侧纤维伸长,根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层-称为中性层 。,中性层与横截面的交线中性轴,纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压。,5-1 纯弯曲,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,5-1 纯弯曲,（4）线应变的变化规律：,dx,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,r 中性层的曲率半径,5-1 纯弯曲,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,m
4、ax 发生在截面上、下边缘，中性轴上各点的正应力为零。,5-1 纯弯曲,直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比.,4、物理关系：由纵向线应变的变化规律正应力的分布规律。,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,5-1 纯弯曲,?,待解决问题,中性轴的位置,中性层的曲率半径 r,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,5-1 纯弯曲,横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系，这一力系简化得到三个内力分量.,内力与外力相平衡可得,纯弯曲时截面右侧自由弯矩M作用！,5、静力方面：由横截面上的弯矩和正应力的关系正应力的计算公式。,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,即中性轴 z是形心
5、轴 确定中性轴位置,5-1 纯弯曲,对Z轴静矩为0,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,自动满足！,5-1 纯弯曲,由于y轴是截面的对称轴,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,弯曲刚度,d.,5-1 纯弯曲,曲率,纯弯曲时正应力的计算公式,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,中性轴 z 为横截面的对称轴时,(抗弯截面系数),6、最大正应力,5-1 纯弯曲,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,中性轴 z 不是横截面的对称轴时,5-1 纯弯曲,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,简单截面的弯曲截面系数, 矩形截面, 圆形截面,5-1 纯弯曲,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮, 空心圆截面,(4)
6、 型钢截面：参见型钢表,5-1 纯弯曲,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,5-2 横力弯曲,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,观察变形特征: 1、由于切应力的存在梁的横截面发生翘曲； 2、横向力还使各纵向线之间发生挤压。 平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立!,5-2 横力弯曲时的正应力,当梁上有横向力作用时，横截面上既又弯矩又有剪力.梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲.,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,更精确的弹性力学结果. 对于细长梁（ l/h 5 ），纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。,5-2 横力弯曲时的正应力,弯矩随截面位置变化,弯矩为常数
7、,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,截面关于中性轴对称,截面关于中性轴不对称,(最大拉应力、最大压应力可能发生在不同的截面内),横力弯曲梁上的最大正应力,5-2 横力弯曲时的正应力,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,1.C 截面上K点正应力,2.C 截面上最大正应力,3.全梁上最大正应力,4.已知E=200GPa， C 截面的曲率半径,1. 求支反力,（压应力）,解：,2. C 截面上K点正应力,例,5-2 横力弯曲时的正应力,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,3. C 截面最大正应力,C 截面弯矩,5-2 横力弯曲时的正应力,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,4. 全梁最大正应力,最
8、大弯矩,5-2 横力弯曲时的正应力,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,5. C 截面曲率半径,C 截面弯矩,5-2 横力弯曲时的正应力,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,例：求图示悬臂梁的最大拉、压应力。已知：,10槽钢,解：1）画弯矩图,2）查型钢表：,3）求应力：,cmax,tmax,有错误吗？,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,强度条件:,(材料的许用弯曲正应力),中性轴为横截面对称轴的等直梁,5-2 横力弯曲时的正应力-强度设计,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,拉、压强度不相等的脆性材料(如铸铁)制成的梁,为充分发挥材料的强度，最合理的设计为,5-2 横力弯曲时的正应力-强度
9、设计,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,图示简支梁由56a号工字钢制成，已知F=150kN。试求危险截面上的最大正应力smax 和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处的正应力sa 。,解：1、作弯矩图如上，,正应力计算及强度 例题1,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,2、查型钢表,56a号工字钢,3、求正应力,正应力计算及强度 例题1,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,跨长 l= 2m 的铸铁梁受力如图，已知铸铁的许用拉应力 st =30 MPa，许用压应力 sc =90 MPa。试根据截面最为合理的要求，确定T字形梁横截面的尺寸d ，并校核梁的强度。,正应力计算及强度 例题2,北京交通大
10、学工程力学研究所 柯燎亮,截面对中性轴的惯性矩为（平行移轴公式）,图形形心坐标:,mm,正应力计算及强度 例题2,z0,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,梁上的最大弯矩,满足强度要求!,正应力计算及强度 例题2,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,图示槽形截面铸铁梁，已知：b = 2m，截面对中性轴的惯性矩 Iz=5493104mm4， 铸铁的许用拉应力st =30 MPa，许用压应力sc =90 MPa。试求梁的许可荷载F 。,解：1、求支反力,正应力计算及强度 例题3,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,梁的弯矩图:,发生在截面C,发生在截面B,正应力计算及强度 例题3,北京交通大学工程
11、力学研究所 柯燎亮,2、计算最大拉、压正应力,压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度条件则B、C截面都要考虑。,正应力计算及强度 例题3,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,考虑截面B ：,正应力计算及强度 例题3,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,考虑截面C：,梁的强度由截面B上的最大拉应力控制,正应力计算及强度 例题3,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,图示圆截面外伸梁，材料的许用应力=120MPa。试校核梁正应力强度。,解：（1）求支反力,FA=17.5kN FB=32.5kN,（2）作弯矩图： 确定危险截面,正应力计算及强度 例题4,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,（3）强度校核,A,B,C,E,正应力计算及强度 例题4,北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮,Thanks !,作业：3, 4, 8, 9,
