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1、2010-11 河北师大讲稿（2011-3-8修订）王绍符,从流体平衡方程 到 阿基米德原理和帕斯卡定律,新概念基础物理,河北 保定 河北大学,一、流体平衡方程（压强差公式）,二、阿基米德原理和帕斯卡定律,三、公式 p2-p1=gh 与计算式 p=gh,四、相对压强与绝对压强,五、压强差公式应用例示,一、流体平衡方程（压强差公式）,欧拉流体平衡微分方程 压强差公式,流体平衡微分方程是在1755年由欧拉（Euler Leonhard，17071783）首先推导出来的，所以又称欧拉平衡微分方程.欧拉平衡微分方程是流体力学中极具基础性的规律，但是目前在中学物理课程中没有得到反映，也正因为如此在教学中
2、造成了不少困难.,欧 拉（Euler，17071783）,欧拉1707年出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城，13岁进大学读书，得到约翰伯努利（Johann Bernoulli，16671748年）的指导1727年，20岁的欧拉到圣彼得堡成为丹尼尔伯努力(Daniel Bernoulli ， 17001782)的助手.欧拉从19岁开始发表论文，直到76岁去世.在失明后的17年间，他还口述了几本书和400篇左右的论文半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文，几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字，无穷小分析引论一书便是他划时代的代表作，当时数学家们称他为“分析学的化身”. 欧拉是科学史上最多产的一位数
3、学家，一生写下了886本书籍和论文.年仅26岁的欧拉担任了俄罗斯彼得堡科学院数学教授,1735年，欧拉解决了一个天文学的难题（计算慧星轨道）过度的工作使他得了眼病，不幸右眼失明了，这时他才28岁 1741年到柏林担任科学院物理数学所所长，直到1766年，后来重回彼得堡，不料没有多久完全失明不幸的事情接踵而来，1771年彼得堡大火，带病而失明的64岁的欧拉被围困在火中，虽然他被救了出来，书房和大量研究成果化为了灰烬 沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下，直到逝世的17年中，还解决了使牛顿头痛的月离问题和其他很多分析问题.欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精
4、神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的,理想流体的运动微分方程,（1）,写成矢量式,这里的fm表示单位质量力，p表示压强梯度.,（2）,在平衡状态，有,则理想流体平衡的基本方程可写成,（3）,写成矢量式,（4）,这就是流体平衡微分方程式.,此方程的物理意义是，在静止流体中某点单位质量流体的质量力与静压强形成的压力的合力相平衡.,在我们生活的重力场中，式（4）中 ，表示液体（或气体）密度，压强梯度可写作 .从而可以将上述方程写成,对于静止的液体可写成,（6）,（5）,式（6）又常叫做压强差公式，这个公式很适合中学物理教学.压强差公式是流体静力学中最具基础性的物理规律，它是牛顿定律在流体静力学中
5、的具体应用，阿基米德原理（公元前3世纪）和帕斯卡定律（1650）都从属于此公式，都可以从此公式推导出来，虽然它们都诞生在此公式（1755）之前，这是由于科学在发展过程中不断整合的缘故.,二、阿基米德原理和帕斯卡定律,阿基米德原理,从压强差公式,到,如图1所示，一个规则的立方体物块，竖直放在液体中，其高度为h,上下底面（横截面）与液面平行，大小为S.则此物块所受浮力,图 1,由压强差公式,图 1,可得,V为物块排开液体的体积.,此即阿基米德原理.,对于不规则物块，根据压强差公式，用积分的方法，亦可以得到同样的结论.,即,图 2,如图2所示，将一个放在液体中的体积为V的不规则物块，分成足够多的n个
6、像图1中所示的、规则的、竖直放置的立方体物块元.每一个物块元的体积为Vi；上下底面呈水平，且大小相等为Si ，高度差为hi；根据压强差公式物块元所受液体的向上向下压力差fi= pi Si=ghiSi=gVi 则物体所受浮力,此即阿基米德原理,阿基米德原理可以从压强差公式推导出来，是压强差公式在一定条件下的简化应用.这个条件就是液体必须是处于静止平衡状态（从而也就界定了阿基米德原理的适用的范围流体静力学）.,帕斯卡定律,从压强差公式,到,教科书对帕斯卡定律的表述 让人疑窦丛生,1987年人教版教科书,不同版本的说法多与此类似,疑问一：“密闭”的涵义是什么？ 疑问二：所“加”压强，指的是哪里的压强
7、？疑问三：“传递”的涵义是什么？,如图所示，试管内外皆为密度为的水，外界大气压强为p0.,问：1. 这个装置是否满足“密闭”的条件？2. A 点有传递过来的大气压强p0 吗？,如图所示，密闭的容器中装满密度为的液体. A，B，C三点的高度差已在图中标出.,这里，A点的压强能否传递到C点？ C点的压强又能否传递到A点？,.,从压强差公式推导 帕斯卡定律,如图所示，一个密闭的容器里充满密度为的液体，其中任意两点A和B 高度差为h.,根据压强差公式，A点和B点的压强 pA 和 pB 的关系是,现在使B点的压强增加pB ,而A点的压强相应地增加pA ，则必有,（2）,（1）,可知，在高度差h保持不变的
8、条件下（也就是液体保持静止，各部分的相对位置保持不变），则有,（3）,这就是帕斯卡定律.,比较（1）（2）两式,（1）,（2）,1.帕斯卡定律是压强差公式在一定条件下的简化应用2.“传递”的压强是“另外”“增加(或减少)”的压强，也就是说传递的是压强的改变量，而不是初始的形成平衡的压强.3.传递的压强“大小不变”，必须满足的条件是液体（增加或减少压强以前和以后）一直保持静止.这就是 “密闭液体”的含意，因为只有静止才能确保液体内各点之间的高度差不变. 4 .“传递”只是一种通俗的说法，各处增加(或减少)的压强并非原来的外加压强，只是与外加压强大小相等.,从以上推导中我们领悟到,对于始终保持静止
9、平衡状态不变的液体，在其任何部位增加(或减少)一定量的压强，则在此液体的任何其他部位都会同时增加(或减少) 同样大小的压强.,帕斯卡定律的重新表述,请看一本老书对压强传递的描述,1940年北京新民印书馆版本,“于外部另加压力”一语值得玩味.此处压力指的就是压强，老书中不作区分,是否适用帕斯卡定律辨析,如图所示，试管内外水的密度皆为，外界大气压强为p0.问：B 点和A点处水的压强各是多少？,这里不适于应用帕斯卡定律！没有另外增加压强问题，可以很方便地使用压强差公式.,则B 点处水的压强,则A点处水的压强,根据压强差公式有,同理，根据压强差公式有,三、公式 p2-p1=gh与计算式p=gh,教科书
10、上导出的液体压强计算公式p=gh与压强差公式相比，它不是一个具有普遍适用价值的公式，不顾条件地使用必然带来使人困惑的错误.,人教版教科书2006版 2010印刷,请看现行教科书是怎样讲的,好像这就是计算液体内部压强普遍适用的公式！,液体压强的产生既有重力的作用，也有表面外力的作用，计算液体压强不能有所偏废.,如图1所示，在密度为的液体中， 划出一个截面积为 S 的液柱.液柱由液面至深 h 处，深 h 处的压强设为 p .不考虑表面力，只考虑重力，由于平衡，在竖直方向有,即,这也就是现行教科书中的液体压强计算公式,图 1,（1）,从而可知：重力产生的压强，竖直分布不均，与深度成正比. 式（1）适
11、用的条件只考虑重力，不考虑表面力.,如果不考虑表面力，只考虑重力作用,不考虑重力，即假设液体不受重力，从而可以只考虑表面外力的作用.经过如此处理之后，所划出来的液柱在侧面水平方向所受周围液体的压力相互平衡，竖直方向则只受两个力：一个是上表面所受外力向下的压力，大小为 .,另一个是下表面所受液体向上的压力，大小为 .,图 2,如果不考虑重力，只考虑表面外力作用,液体静止，则此二力为平衡力，故有,（2）,从而可得,（3）,不难想到，所划液柱不论在什么深度，所得结果都是一样的.,从而可知：表面外力使液体内部相互挤压产生的压强，分布均匀，处处大小相等，且与外力作用在表面上的压强大小相等.,这也正是帕斯
12、卡定律的实质所在.,真实液体（有重力存在，也有表面外力存在）内部压强的情景如图3所示.,液体静止在容器中.液体的密度为 ，1与2是在竖直方向高度差为h的两个点.,想像在液体中划出一个上下粗细均匀、截面积为S的液柱.液柱的上底面在点1处，下底面在点2处，且都与液体表面平行.,图 3,既考虑重力又考虑表面外力作用,液柱在侧面水平方向所受液体的压力相互平衡.,三是下底面所受液体向上的压力，大小为,图 3,在竖直方向受三个力：,一是受重力，其大小,二是上底面所受周围液体向下的压力，大小为,由于液体静止，根据平衡条件可知,（4）,即,（5）,图 3,式（5）即静液压强差公式,压强差公式可以根据牛顿定律用
13、简单的数学方法推出，适合基础教育教学.,不难想象，即使点1取在液面上式（5）依然成立,而不讲表面外力作用产生的液体压强.无疑这是片面的，充其量只能在一定条件下用来计算相对压强（见后续介绍）.不讲条件，也不做任何说明，致使具体应用时错误层出不穷.,长久以来基础教科书中只讲由重力作用产生的液体压强，给出公式,压强差公式才是具有普遍意义的公式,四、相对压强与绝对压强,我们生活在大气中，以至于不觉得它的存在，而在计量各种压强时，常把大气压强作为计量起点，看作“0”，是为相对压强.从真正的0（无压强）作计量起点的压强叫做绝对压强.,从压强的相对值与绝对值来考虑，可以认为前述压强的计算公式p=gh计算的是
14、相对压强.,蒸汽锅炉上的气压表的示数为0时，表示其内部压强与外界大气压强相等.示数为某一数值时，则表示是高出外界大气压的数值.这就是相对压强，也叫做计示压强.,医院使用的血压计的示数，表示的也是比大气压强高出的数值，即相对压强，或计示压强.把血压计的示数当作绝对压强是误解.,2006版2010印刷 人教版教科书,此书页的第1个问题极易引起误解,五、压强差公式应用例示,在平静的湖水水面上，受有大气压强p0，已知水的密度为.那么，水面下深h处水的压强p水是多少？,对于这样的问题可以直接应用压强差公式写出,从而可知水面下深h处水的压强,如图所示，水槽内有水，在水中竖直插入一根玻璃管，管内有活塞，活塞
15、下充满了水.水槽内的水面处（A处），有大气压强p0.活塞下表面到水槽中液面的高度差为h.求活塞下表面处（B处）水的压强.已知水的密度为.,在此例中已指明大气压强p0，故不能再视为0. B高于A，应用压强差公式,则可知活塞下表面处（B处）水的压强,在初中一般只讲平衡状态，而不讲非平衡状态，如力和运动中只讲静止状态和匀速直线运动状态.但是我们可以从平衡被破坏，也就是失衡来初步体认非平衡状态.如物体在非平衡力作用下，将不再静止或做匀速直线运动，速度将发生变化.液体也是一样，当平衡条件被破坏，即,液体就将流动.在这种情况下，液体的流动方向根据压强的变化判断.,在失衡中定性应用压强差公式,玻璃管中的水原
16、来处于静止状态，压强差公式成立. 如果向上拉动活塞，活塞下贴近活塞处的水的挤压程度将减小，因而失去平衡，压强差公式不再成立，水将运动，向压强减小的方向，也就是向上运动.这就是抽水机的原理.,如图所示，一个倒置的U形玻璃管，A 端封闭，B 端与大气相通. 管中有密度为的液体，将一些空气封闭在A端. A 与B 两边液面高度差为 h.外界大气压强为p0.求被封闭的空气的压强pA.,显然，此例也不能忽略大气压强的存在.应用压强差公式有,从而可知被封闭的空气的压强,用手指堵住一个开口，无论是堵住A 还是B，水都不会从另一个开口流出来.问，如果放开手，水会从哪个开口流出来？,一个粗细适当的环形玻璃管，有A 和B 两个开口，里面充满了水，竖直放置.,无论是堵住A还是B，放开手后，水都会从较低的B口流出来.因为放开手后不是A口的压强加大，就是B口的减小，平衡状态遭到破坏，水将由压强相对增大向压强相对减小的方向流动.,
