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1、第 6 章 圆轴扭转,6-1 工程上传递功率的圆轴及其扭转变形,6-2 扭矩与扭矩图,6-3 切应力互等定理,6-4 圆轴扭转时的切应力分析,第 6 章 圆轴扭转,6-5 圆轴扭转时的强度与刚度计算,6-6 结论与讨论,6-1 工程上传递功率的圆轴及其扭转变形,第 6 章 圆轴扭转,工程上传递功率的圆轴及其扭转变形,一、扭转的概念,受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶， 且力偶作用面垂直于杆的轴线。,变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。,主要发生扭转变形的杆轴。,第 6 章 圆轴扭转,工程上传递功率的圆轴及其扭转变形,扭转变形,第 6 章 圆轴扭转,工程上传递功率的圆轴及其扭转
2、变形,汽车方向盘的转向轴,第 6 章 圆轴扭转,工程上传递功率的圆轴及其扭转变形,当两只手用力相等时，拧紧罗母的工具杆将产生扭转,拧紧罗母的工具杆,第 6 章 圆轴扭转,工程上传递功率的圆轴及其扭转变形,二、结论,圆轴扭转时横截面和纵截面上有切应力,第 6 章 圆轴扭转,工程上传递功率的圆轴及其扭转变形,一、外加扭转力偶矩与功率、转速之间的关系,式中：P 为功率 kW, n 为转速 r/min，Me 为外力偶矩 Nm,国际单位制：,外力偶矩与功率和转速的关系,6-2 扭矩与扭矩图,第 6 章 圆轴扭转,扭矩与扭矩图,工程单位制：,式中：P 为功率马力,n 为转速 r/min，Me 为外力偶矩
3、Nm,第 6 章 圆轴扭转,扭矩与扭矩图,圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用符号Mx 表示。,Me,Mx,取右段为研究对象：,取左段为研究对象：,二、截面法确定圆轴横截面上的扭矩,第 6 章 圆轴扭转,扭矩与扭矩图,三、扭矩的正负号规则,右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为负值。,+,-,按右手螺旋法则判断。,第 6 章 圆轴扭转,扭矩与扭矩图,四、扭矩图,表示圆轴各横截面扭矩沿轴线变化的图形。,4,6,第 6 章 圆轴扭转,扭矩与扭矩图,已知：MA= 1170 NmMB = MC = 351 NmMD = 4
4、68 Nm 求： 作扭矩图 解： 1.计算各段扭矩,MIx= MB = 351 Nm,Mx =MB MC=351351=702 Nm,Mx = MD = 468 Nm,2. 作扭矩图,351,702,468,设正的扭矩,第 6 章 圆轴扭转,扭矩与扭矩图,例题 6-1,结论： 横截面上的扭矩在数值上等于截面左侧或右侧轴段上外力偶矩的代数和。 取左侧段：向里的外力偶矩取正，向外的外力偶矩取负 取右侧段：向外的外力偶矩取正，向里的外力偶矩取负,取左向里，取右向外，扭矩为正,第 6 章 圆轴扭转,扭矩与扭矩图,向里，转向朝自己，背离自己，向外,已知 ： MA=2KN.m MB=3.5KN.m MC=
5、1.0KN.m MD=0.5KN.m 试画出扭矩图,例题 6-2,第 6 章 圆轴扭转,扭矩与扭矩图,从圆轴内截取的一微小正六面体,一、微元体,得,6-3 切应力互等定理,第 6 章 圆轴扭转,切应力互等定理,二、切应力互等定理,在相互垂直的两个面上，切应力总是成对出现，并且大小相等，方向同时指向或同时背离两个面的交线。,第 6 章 圆轴扭转,切应力互等定理,6-4 圆轴扭转时的切应力分析,已知扭矩求切应力，这是静不定问题，需要研究变形才能解决。,第 6 章 圆轴扭转,圆轴扭转时的切应力分析,变形,应 变 分 布,应 力 分 布,应力公式,思路：,第 6 章 圆轴扭转,圆轴扭转时的切应力分析,
6、一、平面假定,1. 变形特点,第 6 章 圆轴扭转,圆轴扭转时的切应力分析,Me,Me,圆周线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。,纵向线倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。,第 6 章 圆轴扭转,圆轴扭转时的切应力分析,Me,Me,2、圆周扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大小以及间距不变，半径仍为直线。,第 6 章 圆轴扭转,圆轴扭转时的切应力分析,Me,Me,定性分析横截面上的应力,（1）,（2）,因为同一圆周上剪应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等，方向垂直于其半径方向且与扭矩的转向一致。,第 6 章 圆轴扭转,圆轴扭转时的切应
7、力分析,Me,Me,二、变形协调方程,第 6 章 圆轴扭转,圆轴扭转时的切应力分析,dj / dx单位长度相对扭转角,圆轴扭转时的变形协调方程,第 6 章 圆轴扭转,圆轴扭转时的切应力分析,三、弹性范围内的切应力-切应变关系,切应力沿半径线性分布，轴线处为零，外边缘处最大。,弹性范围内,第 6 章 圆轴扭转,圆轴扭转时的切应力分析,四、 静力学关系,第 6 章 圆轴扭转,圆轴扭转时的切应力分析,记,称极惯性矩 单位：m4,上式代入,单位长度相对扭转角,第 6 章 圆轴扭转,圆轴扭转时的切应力分析,扭转切应力,五、圆轴扭转时横截面上的切应力表达式,第 6 章 圆轴扭转,圆轴扭转时的切应力分析,当
8、 = max,式中,称抗扭截面系数，单位：m3.,第 6 章 圆轴扭转,圆轴扭转时的切应力分析,截面的极惯性矩与扭转截面系数, 对于直径为 d 的实心圆截面,第 6 章 圆轴扭转,圆轴扭转时的切应力分析, 对于内、外直径分别为d 和 D 圆环截面,第 6 章 圆轴扭转,圆轴扭转时的切应力分析,已知：P7.5kW, n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比 = 0.5。二轴长度相同。,求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。,例题 4-3,解：首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩,第 6 章 圆轴扭转,圆轴扭转时的切应力分析,实心轴,
9、第 6 章 圆轴扭转,圆轴扭转时的切应力分析,算得,a0.5 d2=23 mm,对于空心轴,第 6 章 圆轴扭转,圆轴扭转时的切应力分析,确定实心轴与空心轴的重量之比,空心轴,D246 mm,d223 mm,实心轴,d1=45 mm,长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：,第 6 章 圆轴扭转,圆轴扭转时的切应力分析,148页 习题 6-1 148页 习题 6-2 149页 习题 6-3 150页 习题 6-5,作 业,作业,第 6 章 圆轴扭转,一、 圆轴扭转实验与破坏现象,6-5 圆轴扭转时的强度与刚度计算,韧性材料扭转实验 与破坏现象,脆性材料扭转实验 与破坏现象,第 6
10、章 圆轴扭转,圆轴扭转时的强度与刚度计算,通过扭转实验发现：, 塑性材料试样受扭时，先发生屈服，最后沿横截面被剪断；, 脆性材料试件则沿着与轴线成45的螺旋线剪断。,低碳钢,铸铁,第 6 章 圆轴扭转,圆轴扭转时的强度与刚度计算,1、强度条件,二、 圆轴扭转强度计算,脆性材料：,韧性材料：,脆性材料：,韧性材料：,许用切应力与拉伸时许用正应力之间的关系,等截面圆轴:,第 6 章 圆轴扭转,圆轴扭转时的强度与刚度计算,2）设计截面尺寸:,3）确定外荷载:,1）校核强度:,2、强度条件应用,第 6 章 圆轴扭转,圆轴扭转时的强度与刚度计算,三、 圆轴扭转刚度计算,扭转变形与内力计算式,扭矩不变的等
11、直轴,GIp 扭转刚度,1.圆轴扭转变形,第 6 章 圆轴扭转,圆轴扭转时的强度与刚度计算,l1,M3,C,B,各段扭矩为不同值的阶梯轴,M1,M2,l2,A,第 6 章 圆轴扭转,圆轴扭转时的强度与刚度计算,2.圆轴扭转刚度条件,单位长度的扭转角,（1）刚度条件,等截面圆轴:,单位长度的扭转角,第 6 章 圆轴扭转,圆轴扭转时的强度与刚度计算,（2）刚度条件的应用, 校核刚度；, 确定外荷载:, 设计截面尺寸:,第 6 章 圆轴扭转,圆轴扭转时的强度与刚度计算,已知: d1=100mmd2=60mm, = 60 MPa, =1 /m, G = 80 GPa 求：校核强度、刚度 解：1. 内力
12、分析 Mx1=10 kNm, Mx2=3 kNm作扭矩图, ,2. 校核强度,10,3,例题 6-4,第 6 章 圆轴扭转,圆轴扭转时的强度与刚度计算, ,结论：强度、刚度都不满足要求。,3. 校核刚度,第 6 章 圆轴扭转,圆轴扭转时的强度与刚度计算,已知: MA = 7024 NmMB = 2810 Nm MC = 4214 Nm G = 80 GPa, = 70 MPa, = 1 /m 求：AB 和 BC 段直径 解：1. 内力分析 Mx1 =MA = 7024 NmMx2 =MC = 4214 Nm作扭矩图,例题 6-5,第 6 章 圆轴扭转,圆轴扭转时的强度与刚度计算,计算各段直径A
13、B 段： 由扭转强度条件,得,第 6 章 圆轴扭转,圆轴扭转时的强度与刚度计算,由刚度条件,得,取 d1= 84.6 mm,BC段： 同理，由强度条件， d267 mm由刚度条件，d274.5 mm 取 d2=74.5 mm.,第 6 章 圆轴扭转,圆轴扭转时的强度与刚度计算,已知：MA = 180 N.m， MB = 320 N.m， MC = 140 N.m，Ip= 3105 mm4，l = 2 m，G = 80 GPa，q = 0.5 ()/m 。jAC=? 校核轴的刚度,解：1. 变形分析,例题 6-6,第 6 章 圆轴扭转,圆轴扭转时的强度与刚度计算,2. 刚度校核,轴的刚度足够,第 6 章 圆轴扭转,圆轴扭转时的强度与刚度计算,149页 习题 6-4 150页 习题 6-8 150页 习题 6-9,作 业,作业,第 6 章 圆轴扭转,第六章结束,谢谢大家,第 6 章 圆轴扭转,结束,
