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1、,工 程 力 学 系 多 媒 体 教 学 课 件 系 列 之 一,工 程 力 学,第7章 平 面 弯 曲,山 东 农 业 大 学 水 利 土 木 工 程 学 院,2,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,第7章,平 面 弯 曲,7.1 梁的剪力和弯矩,7.2 剪力图和弯矩图,7.3 梁横截面上的应力,7.4 梁的强度,7.5 梁的变形与刚度,3,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,纵向对称面：梁的横截面通常具有纵向对称轴，所有纵向对称轴组成的平面，称为梁的纵向对称面(symmetric plane)。,主轴平面：如果梁的横截面没有对称轴，但是都有通
2、过横截面形心的形心主轴，所有相同的形心主轴组成的平面，,第7章 平面弯曲,7.3 梁横截面上的应力,称为梁的主轴平面(plane including principal axes)。由于对称轴一定是主轴，所以对称面也一定是主轴平面。,梁弯曲的若干定义与概念,4,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,平面弯曲：所有外力（包括外力偶）都作用梁的同一主轴平面内时，梁的轴线将弯曲成平面曲线，这一曲线位于外力作用平面内。这种弯曲称为平面弯曲(plane bending)。,一般情形下，平面弯曲时，梁的横截面上一般将有两个内力分量，就是剪力和弯矩。,如果梁的横截面上只有弯矩这一个内力
3、分量，这种平面弯曲称为纯弯曲(pure banding)。,梁弯曲的若干定义与概念,第7章 平面弯曲,7.3 梁横截面上的应力,5,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,平面弯曲：所有外力（包括外力偶）都作用梁的同一主轴平面内时，梁的轴线将弯曲成平面曲线，这一曲线位于外力作用平面内。这种弯曲称为平面弯曲(plane bending)。,一般情形下，平面弯曲时，梁的横截面上一般将有两个内力分量，就是剪力和弯矩。,梁在横向力作用下，其横截面上一般将同时产生剪力和弯矩，这称为横力弯曲 (transverse bending)。,梁弯曲的若干定义与概念,第7章 平面弯曲,7.3
4、梁横截面上的应力,6,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,试判断下列杆件中哪些是纯弯曲，哪些是横力弯曲？,梁弯曲的若干定义与概念,第7章 平面弯曲,7.3 梁横截面上的应力,7,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组, 梁的中性层与横截面的中性轴,梁弯曲后，一些层发生伸长变形，另一些则会发生缩短变形，在伸长层与缩短层的交界处那一层，既不发生伸长变形，也不发生缩短变形，称为梁的中性层或中性面(neutral surface)。中性层与梁的横截面的交线，称为截面的中性轴 (neutral axis)。,梁弯曲的若干定义与概念,第7章 平面弯曲,7.3 梁
5、横截面上的应力,8,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,中性层与中性轴,梁弯曲的若干定义与概念,第7章 平面弯曲,7.3 梁横截面上的应力,9,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,分析梁横截面上的正应力，就是要确定梁横截面上各点的正应力与弯矩、横截面的形状和尺寸之间的关系。可以根据梁的变形情形推知梁横截面上的正应力分布。,应力分布,应力公式,变 形,应变分布,纯弯曲时梁横截面上的正应力,第7章 平面弯曲,7.3 梁横截面上的应力,10,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,纯弯曲时梁横截面上的正应力,第7章 平面弯曲,7.3
6、 梁横截面上的应力,11,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,实 验 现 象,纯弯曲时梁横截面上的正应力,第7章 平面弯曲,7.3 梁横截面上的应力,12,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,1、变形前互相平行的纵向直线、变形后变成弧线，且凹边纤维缩短、凸边纤维伸长。,2、变形前垂直于纵向线的横向线,变形后仍为直线，且仍与弯曲了的纵向线正交，但两条横向线间相对转动了一个角度。,实 验 现 象,纯弯曲时梁横截面上的正应力,第7章 平面弯曲,7.3 梁横截面上的应力,13,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,用相邻的两个横截面
7、从梁上截取长度为dx的微段，假定梁发生弯曲变形后，微段的两个横截面仍然保持平面，但是绕各自的中性轴转过一角度d。,纯弯曲时梁横截面上的正应力,第7章 平面弯曲,7.3 梁横截面上的应力,14,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,在横截面上建立Oxy坐标系，其中z轴与中性轴重合(位置未定)，y轴沿横截面高度方向并与加载方向重合。,微段上到中性面的距离为y处长度的改变量为：,式中的负号表示y坐标为正的线段产生压缩变形，反之产生伸长变形。,纯弯曲时梁横截面上的正应力,第7章 平面弯曲,7.3 梁横截面上的应力,15,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,
8、将线段的长度改变量除以原长dx，即为线段的正应变。于是得到,这就是正应变沿横截面高度方向分布的数学表达式。其中,纯弯曲时梁横截面上的正应力,第7章 平面弯曲,7.3 梁横截面上的应力,16,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,其中为中性面弯曲后的曲率半径，也就是梁的轴线弯曲后的曲率半径。因为与y坐标无关，所以在上述二式中，为常数。,纯弯曲时梁横截面上的正应力,第7章 平面弯曲,7.3 梁横截面上的应力,17,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,应用弹性范围内的应力应变关系的虎克定律:,得到正应力沿横截面高度分布的数学表达式,式中 为待定的比例常数
9、，E为材料的弹性模量。,纯弯曲时梁横截面上的正应力,第7章 平面弯曲,7.3 梁横截面上的应力,18,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,这表明，横截面上的弯曲正应力，沿横截面的高度方向从中性轴为零开始呈线性分布。,这一表达式虽然给出了横截面上的应力分布，但仍然不能用于计算横截面上各点的正应力。这是因为尚有两个问题没有解决：一是中性轴的位置没有确定，y坐标无法计算；二是中性面的曲率半径没有确定。,纯弯曲时梁横截面上的正应力,第7章 平面弯曲,7.3 梁横截面上的应力,19,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,应用静力方程确定待定常数,于是，应用积
10、分的方法，,负号表示坐标y为正值的微面积dA上的力对z轴之矩为负值；Mz为作用在加载平面内的弯矩。,纯弯曲时梁横截面上的正应力,第7章 平面弯曲,7.3 梁横截面上的应力,20,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,应用静力方程确定待定常数,纯弯曲时梁横截面上的正应力,第7章 平面弯曲,7.3 梁横截面上的应力,21,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,应用静力方程确定待定常数,将正应力表达式代入静力方程,结 论： 中性轴一定通过截面的形心。,纯弯曲时梁横截面上的正应力,第7章 平面弯曲,7.3 梁横截面上的应力,22,水 利 土 木 工 程 学
11、院 工 程 力 学 课 程 组,工程上最感兴趣的是横截面上的最大正应力，也就是横截面上到中性轴最远处点上的正应力。这些点的y坐标值最大，即y=ymax。将y=ymax代入正应力公式得到,其中WZ称为弯曲截面系数，单位是mm3或m3 。,纯弯曲时梁横截面上的正应力,第7章 平面弯曲,7.3 梁横截面上的应力,23,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,纯弯曲时梁横截面上的正应力,第7章 平面弯曲,7.3 梁横截面上的应力,24,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,纯弯曲时梁横截面上的正应力,第7章 平面弯曲,7.3 梁横截面上的应力,25,水 利 土
12、 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,这是梁弯曲时的另一个重要公式梁的轴线弯曲后曲率的数学表达式。其中EIz称为梁的弯曲刚度或抗弯刚度。,这一结果表明，梁的轴线弯曲后的曲率与弯矩成正比，与弯曲刚度成反比。,纯弯曲时梁横截面上的正应力,第7章 平面弯曲,7.3 梁横截面上的应力,26,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,理论与实验结果都表明，由于切应力的存在，梁的横截面在受力之后不再保持平面，而是要发生翘曲。对于细长梁，这种翘曲对正应力影响很小，通常可忽略不计。,以上有关纯弯曲的正应力的公式，对于横力弯曲，也就是横截面上除了弯矩之外、还有剪力的情形，如果是细长
13、杆，也是近似适用的，即,横力弯曲时梁横截面上的正应力,第7章 平面弯曲,7.3 梁横截面上的应力,27,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组, 关于正应力的正负号,横力弯曲时梁横截面上的正应力,确定正应力正负比较简单的方法是首先确定横截面上弯矩的实际方向，确定中性轴的位置；如果所要求应力的那一点在受拉区则产生拉应力，否则产生压应力。,第7章 平面弯曲,7.3 梁横截面上的应力,28,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组, 关于最大正应力,横力弯曲时梁横截面上的正应力,弯矩最大的横截面上的最大正应力不一定就是梁内的最大正应力。,应该首先根据弯矩值和截面
14、的几何性质判断可能产生最大正应力的那些截面，这些截面称为危险截面；然后比较所有危险截面上的最大正应力，其中最大者才是梁内横截面上的最大正应力。保证梁安全工作而不发生破坏，最重要的就是保证这种最大正应力不得超过允许的数值。,第7章 平面弯曲,7.3 梁横截面上的应力,29,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组, 关于最大拉应力和最大压应力,平面弯曲时，如果梁的横截面具有一对相互垂直的对称轴，则中性轴与一对称轴一致，此时最大拉应力与最大压应力绝对值相等。,横力弯曲时梁横截面上的正应力,如果横截面只有一根对称轴，且加载方向与对称轴一致，则中性轴过截面形心并垂直对称轴。这时，横截
15、面上最大拉应力与最大压应力绝对值不相等，要分别计算。,第7章 平面弯曲,7.3 梁横截面上的应力,30,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,试计算图示简支木梁横放与竖放时的最大正应力，其中h=200mm，b=100mm。,竖放,横放, 【例7-13】,【解】,第7章 平面弯曲,7.3 梁横截面上的应力,31,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,已知FP32kN，l=2m，横截面形心坐标yC=96.4mm，对于z轴的惯性矩Iz =1.02108 mm4。求：梁内最大正应力。,1确定弯矩最大截面以及最大弯矩值,FRAFRB16 kN, 【例7-14】
16、,【解】,第7章 平面弯曲,7.3 梁横截面上的应力,32,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,2计算最大拉应力和最大压应力,【解】,第7章 平面弯曲,7.3 梁横截面上的应力,33,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,第7章 平面弯曲,7.3 梁横截面上的应力,两个基本假设：,1、横截面上的切应力方向与剪力平行；,2、切应力沿截面宽度均匀分布。,FS,矩形截面梁的切应力,34,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,矩形截面梁的切应力,第7章 平面弯曲,7.3 梁横截面上的应力,35,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,矩形截面梁的切应力,第7章 平面弯曲,7.3 梁横截面上的应力,
