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1、1,关于线性相关性的有关,单个零向量线性相关; 单个非零向量线性无关. (2) 含有零向量的向量组线性相关. (3) 含有成比例向量的向量组线性相关. (4) 增加向量的个数不改变相关性. (5) 减少向量的个数不改变无关性. (6) 增加向量的维数不改变无关性. (7) 减少向量的维数不改变相关性. (8) 若向量组含向量的个数m大于向量的维数n, 则向量组一定线性相关.,结论,2,(9) 向量组1,2, m线性相关 x11+x22+xmm=0有非零解. (10) 向量组1,2,m的线性无关 x11+x22+xmm=0只有零解. (11) 1,2,m(m2)线性相关至少有一个向量可由其余的向
2、量线性表出. (12) 如果1,2,m线性无关, 而1,2, m, 线性相关, 则可以由1, 2,m线性表示, 且表 法唯一. (13) 如果1,2,m线性无关, 而不能由 1,2,m线性表示, 则1,2,m, 线性无关.,3,(14) （矩阵判别法）设,则 1, 2, m线性无关 r(A)=m. 1, 2, m线性相关 r(A)m. (15) 设有n个n维向量1,2,n, 如果令A=(1,2,n), 则该向量组线性无关|A|0; 线性相关|A|=0.,4,(16) 向量组1,2,m线性无关, 存在m r矩阵K使得(1,2, r )=(1,2,m )K1,2,r 线性无关r(K)=r.1,2,
3、r 线性相关r(K)r. (17) 1,2,r线性无关,且可由1,2, s 线性表示,则rs. (18) 设AB=0, A列满秩则B=0; B是行满秩A=0.,5,将R3 的基,化成一组与之等价的规范正交基.,例4,6,先正交化,解,7,再单位化:,8,4.5.4 正交(实)矩阵,引入正交阵是为了更好地刻画Rn的规范正交基.,是Rn 的基,是规范正交基的 ?,1. 正交矩阵: 设A是n 阶实矩阵, 如果 ATA=E则称A是正交矩阵.,可逆,9,2. 正交阵的性质: A是正交矩阵(1) |A| =1或 ;(2) A可逆且 A-1=AT;(3) A-1, AT 还是正交矩阵 ;(4) 正交矩阵的乘
4、积仍是正交矩阵;(5) 对n 维列向量X ,(6) 对n 维列向量X , Y , 有(AX, AY)=(X,Y),10,定理4.7 A是n阶实方阵,A是正交阵,A的(行)列向量组都构成 Rn的规范正交基.,证 设,11,结论成立.,12,例5,判断下列矩阵是否为正交阵.,解,都是正交阵.,由定理4.7判断,13,注意 规范两字,如,是R2的正交基.但,不是正交阵.,单位化后,是正交阵.,14,例6,设实方阵 A满足,且,试证 为正交阵.,证,为正交阵.,15,线性代数与解析几何,第十八讲,哈工大数学系代数与几何教研室,王 宝 玲,向量空间习题课,第四章 n维向量,16,17,向量的线性相关、无
5、关的概念与判定. 向量组的秩、极大无关组、表示系数的求法、等价与秩的关系. 向量空间的基、维数、坐标、基变换公式、坐标变换公式及过渡矩阵.矩阵等价与向量组等价之间的关系.欧氏空间Schmidt正交化.,关于向量理论的基本要求,18,(I),(II),或有包含关系,矩阵等价与向量组等价之间的关系,19,例题选讲,20,例1,设 A为n阶方阵,若存在正整数 k,使,证明,线性无关.,证,设有,用 乘以上式两边,推出,类似可证,故,线性无关.,21,设向量组1, 2, m的秩为r, 证明 其中任意选取s个向量所构成的向量组的 秩r+s-m. 证法1 从原向量组中任意删去一个向量, 秩最多减少1, 这
6、样去掉没有被选取的m-s 个向量,秩最多减少m-s. 因此,剩下的s个向量的秩r-(m-s)=r+s-m. 证法2 设取出的向量组为(I), 剩下的向量 组为(II), 则rr(I)+r(II) r(I)+m-sr(I) r+s-m,例2,22,例3,已知3阶矩阵A及3维列向量x, 使向量组,线性无关,且满足, 记,求3阶方阵C 使AB=BC .,解,=BC,线性无关,所以矩阵C是唯一,23,例4,n 维列向量组1, 2,n 线性无关,证,设 A=(1 2 n),故 1, 2,n线性无关,24,例5,设有n 维列向量,A是,mn矩阵,下列选项正确的是( ),A,25,例6,设向量组3线性无关,
7、 向量可 由3线性表示而不能由3线 性表示, 则对任意的常数k 必有（ ）.,解,26,例7,设有n 维向量组,证明,它们线性无关, Rn,任一n 维向量都可由它们,线性表示.,证,线性相关,线性无关, 由定理4.2知,线性表示,且表法唯一.,任一n 维向量都可由,线性表示,故基本单位向量组,也可由它们线性表示,所以它们等价,故等秩.,线性无关.,27,例8,设,是Rn的一个基, Rn,若,则,证,是Rn的一个基, 对 Rn,而是实向量,28,例9,设A为n阶方阵,则A是反对称阵,证,若A是反对称阵,则,因为对,取,取,29,线性代数与空间解析几何,第十九讲,哈工大数学系代数与几何教研室,王
8、宝 玲,第五章 线性方程组,30,齐次方程组 非齐次方程组 线性方程组的几何应用,本章主要内容,31,内 容,只有零解的充要条件； 有非零解的充要条件； 解的性质及解集合的结构； 求解方法.,5.1 齐次线性方程组,32,阵,5.1.1 齐次线性方程组的表示形式,33,即,34,设 阶矩阵, 则齐次性方程组AX= 0 有非零解 r(A)n;AX= 0 只有零解 r(A)=n.,定理5.1,5.1.2 齐次线性方程组有解的条件,35,证 AX = 0 有非零解 x11+x22+ xnn =0有非零解 A的列向量组1,2 ,n线性相关 r(A)= r(1,2 ,n)n.,AX = 0只有零解 x1
9、1+x22+ xnn =0只有零解 A的列向量组1,2 ,n线性无关 r(A)= r(1,2 ,n)=n.,36,若有非零解, 这些解具有哪些性质? 解集合的整体结构如何?,问题,也是 AX=0 的解.,由 是AX=0的解, 即,性质1,也是 AX = 0 的解.,性质2,由 是AX = 0的解, 即,k,5.1.3 齐次方程组解的性质及结构,37,预 习 齐次方程组,38,证明,例8,证 设,则,39,上式说明: 的列向量,由推论3得,故,同理可证,40,例4,设向量组,41,该向量组的秩=3.,是一个极大无关组.,42,例5,求由 的基1 , 2 , 3 到基 2, 1, 1+2+ 3的过渡矩阵,并求 = 1+22+33 在后一组基下的 的坐标.,解,
