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1、7.3 线性变换和矩阵,一、线性变换关于基的矩阵和坐标,1、线性变换关于基的矩阵,现设 是数域 上的 维向量空 间。令 是 的一个线性变换 取定 的一个基 ，对于 ， 有 ， 仍是 的一个 向量，设 （1），现在的问题是，如何计算 的坐标？,令（2）（3） 这里 就是 关于基 的坐标。令,则 阶矩阵 叫做线性变换 关于基的矩阵。矩阵 的第 列的元素 就是 关于基 的坐标。这样，取定数域 上 维向量空间的 一个基后，对于 的每一个线性变换，有唯一确定的 上的 阶矩阵与之对应。,例1、设 是 维向量空间 的标准基，线性变换 定义如下： 。求 关于标准基的矩阵。,例2、令 是数域 上的一个 维向量空
2、间，线性变换 是 的一个位似， 求 关于任意基的矩阵。,特别地，(1)当 时， 的单位变换 关于任意基的矩阵为单位矩阵；(2)当 时， 的零变换 关于任意基的矩阵为零矩阵。,例3、设 的线性变换 定义如下：。 求：（1） 关于标准基的矩阵；（2） 关于基 的 矩阵。,例4、设 ， ，求下面的线性变换 关于基， ， ， 的矩阵：（1） ；（2） 。,2、线性变换关于基的坐标,为了计算 关于基 的坐标，由等式（3），即：设,因为 是线性变换，所以（4）将（3）代入（4），得：,上式表明， 关于基 的坐标所成的列是。,比较（1）式，得：,定理7.3.1：令 是数域 上一个 维的向量空间， 是 的一个
3、线性变换，而 关于 的一个基 的矩阵是。 如果 中向量 关于这个基的坐标是 ，而 的坐标是 ，那么。,例5、设 是数域 上的一个二维向量空间， 是 的一个基。线性变换关于基 的矩阵为 ，而中一向量 关于基 的坐标为 。求 关于这个基的坐标。,3、一个线性变换关于两个基的矩阵的关系,定理：设 是数域 上的一个 维 向量空间， 是 的一个线性变换， 关于 的两个基 和 的 矩阵分别为 和 ，而基 到的过渡矩阵为 ，则有。,例6、设 是数域 上的一个二维向量空间，线性变换 关于 的一个基 的矩阵是 ，而基 到 的过渡矩阵为 。求关于基 的矩阵 。,例7、设 是 的 一个基， 是 的线性变换，且。 求
4、：（1） 在标准基下的矩阵；（2） 在基 下的矩阵。,二、矩阵的相似,1、定义：设 、 是数域 上的两个阶矩阵，若存在 上 阶可逆矩阵，使得 成立，则称 与相似，记作： 。,2、性质,（1）自反性：每一个 阶矩阵 均与它本身相似。,（2）对称性：若 ，则 。,（3）传递性：若 且 ，则。,，,结论： 维向量空间的一个线性变换 关于两个基的矩阵是相似的。,推广：（1） （2）,三、矩阵 在给定基下的线性变换,引理7.3.2：设 是数域 上一个 维向量空间， 是 的一个基， 那么对于 中任意 个向量 ， 恰有 的一个线性变换 ，使得。,定理7.3.3：设 是数域 上一个 维向量空间， 是 的一个基。对于 的每一个线性变换 ，令 关于基 的矩阵 与它对应。则（1）这样建立的映射 是 一个双射；（2）若 ，而 ，那么 。,结论： ，它们的同构映射还保持乘法运算。,推论：设数域 上 维空间 的一个线性变换 关于 的一个取定的基的矩阵是 ，那么 可逆 可逆，且 关于这个基的矩阵是 。,补充作业：已知线性变换 关于基的矩阵为。 求 关于标准基的矩阵 。,
