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1、让文化之花绽放 诗性教育下的数学课堂 陈 蕾 （江苏省苏州市第十中学，215006） 摘 要：新课程强调数学教学要“体现数学的文化价值” 。数学文化可以看作是由知识性 成分和观念性成分构成的。诗性教育下的数学课堂，应如何彰显数学文化的魅力？以苏教版高 中数学选修 2-1椭圆起始课的三种不同的引入方式为例，其一，“重构”数学史，让学生 了解数学、走近文化；其二，锤炼思维，让学生读懂数学、感悟文化；其三，动手实验，让学 生感受数学、理解文化。 关键词：数学文化 引入方式 数学史 数学思维 数学实验 新课程强调数学教学要“体现数学的文化价值” 。数学文化可以看作是由知识性成分和观 念性成分构成的。其
2、中，知识性成分是指数学概念、定义与公式、数学方法、数学语言、数学 问题等，它们以显性的、物化的形式表现数学；观念性成分是指数学思考、数学精神、数学意 识和数学传统等，它们以隐性的形式反映数学。诗性教育下的数学课堂，应如何彰显数学文化 的魅力？本文以苏教版高中数学选修2-1椭圆起始课的三种不同的引入方式为例，加以阐 述。 一、 “重构”数学史：让学生了解数学、走近文化 运用数学史引入新课，已成为广大数学教师的共识。对数学史的运用，大致有以下几种方 法：（1）附加式。展示有关数学家的图片，讲述数学发现中的一些奇闻异事。 （2）复制式。 直接采用历史上的数学问题、解法等。 （3）顺应式。根据历史材料
3、，编制数学问题。 （4）重构 式。借鉴或再现知识的发生、发展过程。笔者以为，前面的三种方法，都只是在较低层次的运 用，只有“重构”数学史，让学生经历数学知识形成的过程，才能真正发挥数学史对数学学习 的促进作用。因为，学生对数学概念理解的过程与数学概念的历史过程具有一定的相似性， “教育工作者的任务就是让儿童的思维经历其祖先之所经历，迅速通过某些阶段而不跳过任何 阶段” ，我们应参照历史来预测学生的认知障碍，从而有针对性地制订相关的教学策略。 椭圆的发展历史大致可以分成古希腊人发现椭圆、3世纪阿波罗尼斯给出截线定义及推导 了椭圆的基本性质与焦半径的性质、17世纪荷兰数学家舒腾给出利用椭圆焦半径性
4、质作图的方 法、法国数学家洛必达给出椭圆的轨迹定义并推导椭圆方程等环节，但教材只截取了后三个环 节，即机械作图法、轨迹定义、椭圆方程。传统的椭圆教学中，椭圆的定义、方程和几何意义 对于学生而言只是解决解析几何问题的工具，与生动的椭圆表象是没有联系的，学生在进行繁 琐的运算的过程中甚至连椭圆的表象也没有。这正是传统椭圆教学的缺陷，它割裂了椭圆的原 始形态与解析几何形态。 “重构”数学史，我们可以从球的影子、建筑、水杯等现实例子出发， 将椭圆知识建立在生活经验基础之上；介绍椭圆的截线定义，借助但德林球推导椭圆的焦半径 性质，给出椭圆的轨迹定义，推导椭圆的标准方程，从而实现从古希腊截线定义到课本轨迹
5、定 义的自然过渡。 【片段1】 师 （用 PPT 播放四张图片，边播放边提问）请同学们观察一下，球在斜射阳光下影子的边界 是什么曲线？美国旧金山现代美术馆建筑，圆柱被平面斜截所得的截口是什么曲线？美国 M Q F2 P O1 O2 V F1 俄亥俄州克里夫兰自然史博物馆建筑，圆锥被平面斜截所得的截口是什么曲线？圆柱形玻 璃棒倾斜时的水面是什么形状？ （学生观察。 ） 生 （齐）椭圆。 师 请问，什么是椭圆呢？它具有哪些几何性质？ （学生思考片刻后没能给出恰当的定义，随后教师向学生介绍阿波罗尼斯给出椭圆的截线 定义以及几何性质的这段历史情况。接着，教师详细证明了但德林利用圆锥的两个内切球 导出的
6、椭圆的焦半径性质。 ） 师 1822 年, 法国数学家但德林利用圆锥的两个内切球导出了椭圆的焦半径性质，在椭圆的 古希腊截线定义和 17 世纪轨迹定义之间架起一座桥梁！下 面我们就来了解一下这一性质。 师 但德林在截面的两侧分别放置一个球，使它们都与截面相切 （切点分别为，） ，且与圆锥面相切，两球与圆锥面的 1 F 2 F 公 共点分别构成圆和圆。设点 M 是平面与圆锥面的截线 1 O 2 O 上 任一点，过 M 点作圆锥面的一条母线分别交圆和圆于 1 O 2 O P， Q 两点，因为过球外一点所作球的切线的长相等，所以 ，由此同学们思考一下，我们可以得到什 12 ,MFMP MFMQ 么结
7、论？ 生 常数。 12 MFMFMPMQPQ 师 非常好，这个性质对椭圆上所有的点都成立吗？ 生 成立。 师 毕竟椭圆是平面图形，我们把这个椭圆所在的平面拿出来。从度量的角度来看， 是定值。 （几何画板动画演示） 。 12 MFMF 师 当截面的角度发生改变时，椭圆的大小发生变化，我们再来看看是不是都是定值？ 12 MFMF （几何画板动画演示） 师 通过试验，我们发现整个椭圆体系都有这样的特性：都存在两个定点、，使得椭圆上 1 F 2 F 所有的点 M 满足是定值。我们把这两个定点叫做椭圆的焦点，那么，我们可以 12 MFMF 给椭圆下一个什么样的定义呢？ 生 平面上到两个定点的距离之和为定
8、值的点的轨迹叫椭圆。 这一教学过程也许并不能够加深对椭圆轨迹定义的理解，但它对于椭圆本身的理解却有着 深刻的意义。在日常生活中，椭圆有着广泛的应用，天文学、光学、建筑学等领域都能看到椭 圆的身影。对椭圆本身的深刻认识，有助于学生真正理解解析几何的价值数学学习，是为 了更好地服务于我们的生活，而不是解题应试。 二、锤炼思维：让学生读懂数学、感悟文化 【片段2】 （教师课前请学生准备了细线、图钉。 ） 师 我们知道把一段没有弹性的细线一端固定，另一端套在笔尖上， 拉紧细线能画出一个圆。若我们把该细线的两端用图钉分别固 定 在点F1、F2，用笔尖P 拉紧细线，移动笔尖，能画出什么样的图 形呢? （教
9、师请一位学生上讲台演示画的过程，其余学生则自己动手 画 图。画好后，大家发现这是一个椭圆。 ） 师 通过画图，类比圆，你能发现椭圆上的点有什么共同的性质吗? 生 到两定点的距离之和是一个定值。 （在导出椭圆的标准方程，并进行简单的运用后，教师又引导学 生回到这个拉线画椭圆的问题上。 ） 图1 师 请问，当笔尖在什么位置时，最大？为什么？ 21PF F 生 建立如图1所示的直角坐标系。当笔尖向椭圆与轴交点靠近时，逐渐减小。反之， 21PF F 则逐渐增大。我觉得当P 落在椭圆与y轴的交点时，最大。 21PF F 师 我们能否通过计算来验证同学们的猜想呢？ 师 可以通过考察的某个三角函数值的变化来
10、考察角的变化。 21PF F 生 设椭圆方程为，则,1 2 2 2 2 b y a x 1 PFm 2 PFn 12 2 ,2mna FFc 在中， 21PF F mn cnm PFF 2 4 cos 222 21 1 2 4 2 42)( 222 mn b mn cmnnm 因为,所以当时，上式的分母最大，余弦值最小。2mnamn 因为余弦函数在区间0，内单调递减，所以当时，即P 落在椭圆与Y轴交点时，mn 最大。 21PF F 由类比引发联想，通过动手操作确认，从几何中寻找等量关系，这些都能帮助学生很好地 理解椭圆定义。后面的先猜后证，导出椭圆焦点三角形的性质，更是让椭圆的定义教学从直观
11、到抽象、从具体到一般的过程，变得自然、生动。对于张角，所设计的问题思维含量高，问题 解决环环相扣，对学生的能力要求比较高。数学学习的价值就在于训练思维隐含在数学探索 过程中的执著与坚韧、推理证明过程中的精炼与严谨，无不凸显着数学那丰厚的文化内涵 深邃的思想、高贵的精神，在数学思考中绽放无穷的理性之美。 三、动手实验：让学生感受数学、理解文化 荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为， “学一个活动的最好方法是做” 。因此，数学教学中，一 方面将数学作为一个现成的产品提供给学生；另一方面，又可将现成的数学转换成动手“做” 的数学，让学生通过自己的活动来获得知识。 【片段3】 师 同学们经常做物理、化学、生物
12、实验，可是你们做过数学实验吗？ 生 没有。 师 那么，今天我们一起来做一个数学实验。请同学们把课前老师发给你的印有定圆的圆形 1 F 纸片拿出来，按照以下步骤操作：第一步，在圆 内部任取不同于圆心的一点(图2)。 1 F 1 F 2 F 第二步，在圆上任取一点，然后将纸片对折，使得点与点重合，然后将纸片展开， 1 F 1 P 1 P 2 F 用铅笔把折痕画出来（图3）。第三步，再在圆上任取其他点，按照步骤二，多操作几 1 F 次，就可以画出一系列折痕。这些折痕将衬托出一个非常漂亮的图形。大家想知道是什么 图形吗？接下来请同学们四人一组，动手折纸，画出折痕。 （教师巡视，帮助有困难的学生。5分钟
13、后，用实物投影展示学生的作品。） 师 我们来看看甲组同学的作品（图4）。你能看出来这些折痕衬托的是什么图形吗？究竟是 什么原因造成了这样的结果？ 生 折痕太少。 师 再来看乙组同学的作品（图5）。画的非常漂亮，大家能看出折痕衬托出什么图形了吗？ 生 椭圆。 师 乙组同学画的图精确吗？怎样才能做到精确无误呢？ 生 不精确。应该取遍圆周上的所有点，才会非常精确。 师 不错，但是要想取遍圆周上所有的点，这个工作量非常大，远非我们人力所能及。接下来， 我们就借助几何画板工具，让电脑来帮助我们演示作图（图6）。 师 折纸的原理是什么呢？如图7（用几何画板演示折纸过程） ，请大家还是分组讨论，最后给 出椭
14、圆的定义。 （10分钟后，挑选小组进行汇报展示。 ） 生 定点和圆周上点的连线与折痕l 交点P 的痕迹。 1 F 1 P 师 这种点P有什么共同的特征? 生 从图中可知，+=圆的半径。 1 PF 2 PF 通过上述的折纸过程及分析、证明过程的讨论，学生对椭圆的定义有了更深的理解，对椭 圆的几何性质也有了一个初步的认识。这其中，其实涉及很多的数学知识，如这些折痕实际上 是椭圆的切线，根据图7反映在椭圆的光学性质上如果有一束光从点出发，经椭圆反射 1 F 后，反射光一定通过点。要知道，北京天坛公园的回音壁就是根据这个原理建造的，根据课 2 F 堂情况进行适当的补充，学生定会“惊艳”不已 这就是数学文化的价值和魅力。它要求我们，要抛却过分的功利，心中装有大智慧，在诗 性教育的引领下，让文化之花绽放在学生心间。 参考文献： 1姚伟斌高中数学新教材数列一章中的数学文化J中学数学月刊，2012（4） 2汪晓勤，王苗，邹佳晨HPM 视角下的数学教学设计J数学教育学 报2011,20（5）
