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1、应力状态分析,(Analysis of the Stress-State),第 8章, 应力状态的概念及其描述 平面应力状态的坐标变换 应力圆 主应力、主方向、最大切应力 广义胡克定律，应变比能 结论与讨论,第 8 章 应力状态分析, 应力状态的概念及其描述,一、应力状态的概念,1、为什么要研究应力状态?,请看下面几段动画：,低碳钢和铸铁的拉伸实验,低碳钢和铸铁的扭转实验,低碳钢,?,韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线？,铸铁,铸铁,低碳钢,?,为什么脆性材料扭转时沿45螺旋面断开？,重 要 结 论,不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力；,一般来说,通过受力构件内任意一点所作的各个截面上,该
2、点处的应力都随截面方位的不同而异,基本变形构件的强度条件,危险点:,或,强度条件:,或,?,若横截面上的危险点既有正应力又有剪应力，强度条件如何?,2、应力的三个重要概念,应力的点的概念;应力的面的概念;应力状态的概念.,横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。,微元平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。,过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态（State of the Stresses of a Given Point）。,应 力,指明,3、一点应力状态的描述,单元体 （Elemen
3、t）,用单元体表示一点应力状态,应力单元体的特征：,1.单元体的尺寸无限小 ，每个面上的应力为均匀分布；,2.相互平行的截面上的应力相同；,3.同一点处的应力状态，若所取单元体的方位不同，单元体的形式不同，但是他们之间是等价的。,例：,对构件中任一点切割出的单元体而言，下列结论（ ）是错误的 ？,1.单元体 的尺寸足够小；,2.单元体 各微面上的应力，均视为均匀分布；,3.单元体 在不同方位截面上的应力，代表构件中切割单元体 的“那个点”在相应的斜截面上的应力，故单元体的应力状态代表该点的应力状态；,4.对构件中所研究的点，切割单元体时，只能按一种方法进行，否则影响单元体的最大正应力和最大剪应
4、力值。,( Three-Dimensional State of Stresses ),空间应力状态,4、一点应力状态的分类,( Plane State of Stresses ),平面 应力状态,单向应力状态 ( One Dimensional State of Stresses ),纯剪应力状态 ( Shearing State of Stresses ),空间应力状态,平面应力状态,主平面,：剪应力为零的平面,主应力,：主平面上的正应力,主方向,：主平面的法线方向,可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个互相垂直的主平面。,三个主应力用1、 2 、 3 表示，按代数值大小顺序排列，
5、即 1 2 3,应力状态的分类：,单向应力状态：三个主应力中只有一个不等 于零 二向应力状态（平面应力状态）：两个主应 力不等于零 三向应力状态（空间应力状态）：三个主应 力皆不等于零 单向应力状态也称为简单应力状态 二向和三向应力状态统称为复杂应力状态,示例一：,示例二,S平面,示例三,S平面,二向和三向应力状态的实例,圆筒形薄壁压力容器，内径为 D、壁厚为 t，承受内力p作用,三向应力状态, 平面应力状态分析,一、平面应力状态分析I （解析法）,任意方向面上应力的确定最大应力的确定平衡方法的应用,正 应 力,1、正负号规则,切 应 力,使微元或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。,1、正负
6、号规则, 角,由 x正向反时针转到x正向者为正；反之为负。,1、正负号规则,任意方向面上的应力,2、平衡原理的应用微元局部的平衡方程,平衡对象用 斜截面截取的微元局部,2、平衡原理的应用微元局部的平衡方程,，,平衡方程, 参加平衡的量应力 乘以其作用的面积,即：,例1,求图示斜面上的应力。,解：,已知：,主应力、主方向、主平面 最大切应力,即：,即：,20,主平面（Principal Plane）：t = 0的面 主应力（Principal Stresses）：主平面上的应力,(主平面定义),主应力排序：,应力状态的分类：,单向应力状态：三个主应力中只有一个不等 于零 二向应力状态（平面应力状
7、态）：两个主应 力不等于零 三向应力状态（空间应力状态）：三个主应 力皆不等于零 单向应力状态也称为简单应力状态 二向和三向应力状态统称为复杂应力状态,面内最大切应力 （Maximum Shearing Stress in Plane）,最大和最小切应力所在平面与主平面的夹角为, 应力圆,二、平面应力状态分析I （图解法）,应 力 圆 （Mohrs Circle for Stresses）,1、应力圆方程,利用三角恒等式，可以将前面所得的关于 s和 t的方程写成,应力圆,2.应力圆的画法,在t -s坐标系中，标定微元A、D面上 应力对应的点a和d,A,D,A,D,应力圆,3、几种对应关系,点面
8、对应应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向上的正应力和切应力；转向对应半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；二倍角对应半径转过的角度是方向面旋转角度的两倍。,点 面 对 应,转向对应、二倍角对应,4、应力圆的应用,任意方向面上的应力,d,a,c,B,E,B,E,主平面、主应力与主方向面内最大切应力应力状态的主应力表示,1. 主平面、主方向、主应力,2qp,A,D,2qp,A,D,主应力,主方向,2qp,A,D,最大和最小切应力,例,已知平面应力状态如图，用解析法求： （）主应力与主平面，并画出主单元体 （）最大剪应力及其作用平面,Ma,Ma,3Ma,解：,主应力：,即,-,Ma,Ma,3Ma
9、,主平面：,-,即,最大剪应力及其作用平面,即,-,Ma,Ma,3Ma,例：图示简支梁，求得截面1-1上的弯矩和剪力后， 即可算出截面上A点的弯曲正应力和剪应力分别为 =-70Ma,=14Ma。试确定点的主平面方 位，计算主应力，并讨论同一截面上其它点的应力 状态。,解：,把从A点周围截取的单元 体放大如图示。,即,-,例:图示矩形截面简支梁,试分析任一截面m-m上各处的主应力, 并进一步分析全梁的情况。,解：,1.截面m-m上各点处的主应力,例:图示矩形截面简支梁,试分析任一截面m-m上各处的主应力, 并进一步分析全梁的情况。,解：,2. 主应力迹线,主应力迹线:曲线上各点的切向 为该点的主
10、应力方向。,例：讨论圆轴扭转的应力状态，并分析铸铁试样 受扭时的破坏现象。,或,例：讨论圆轴扭转的应力状态，并分析铸铁试样 受扭时的破坏现象。,平面应力状态分析（小结）,解析法,图解法,例：两种特殊的应力状态,纯剪切应力状态,=,单向应力状态,/2,=/2,=/2,/2,三向应力状态特例分析 （Three Dimensional State of Stresses）,1、定义 2、三向应力状态的应力圆,三向应力状态三个主应力均不为零的应力状态；特例三个应力中至少有一个及其主方向是已知的。,1. 定 义,至少有一个主应力及其主方向已知,2.三向应力状态特例的一般情形,主单元体,平行于s1的方向面
11、其上之应力与s1无关，于是由s2 、 s3可作出应力圆 I,平行于s2的方向面其上之应力与s2无关，于是由s1 、 s3可作出应力圆 II,平行于s3的方向面其上之应力与s3无关，于是由s1 、 s2可作出应力圆 III,s1,s2,s3,在三组特殊方向面中都有各自的面内最大切应力,即：,一点处应力状态中的最大切应力只是 、 、 中最大者，即:,3、平面应力状态作为三向应力状态的特例,200,300,50,tmax,200,50,300,50,例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力 （应力单位为MPa）。,解：,例:图示应力状态,试画出三向应力圆，并求主应力、最大正应力与最大切应力。,解：,为
12、已知主应力，其它两个 主应力可由 与 确定。,分别以、和为 直径画圆，得三向应力圆。,主应力：,最大正应力：,最大切应力：, 广义胡克定律，应变比能,横向变形与泊松比,-泊松比,在小变形条件下，正应力仅引起线应变，切应力仅引起相应平面的切应变。,平面应力状态的广义胡克定律,叠加法,单独作用时，微体沿 和 方向的正应变,单独作用时，微体沿 和 方向的正应变,空间应力状态的广义胡克定律,主应力状态的广义胡克定律叠加法,最大与最小主应变分别发生在最大与最小主应力方向,三个弹性常数之间的关系,例:已知,解：,由广义胡克定律,求:,在该点取出单元体：,其横截面上的应力分量为：,可知,已知： 求:,由广义
13、胡克定律,例,解：,可得,例：已知一圆轴承受轴向拉伸及扭转的联合作用。为了 测定拉力F和力矩m，可沿轴向及与轴向成45方向测出 线应变。现测得轴向应变 ， 45方向的应变 为 。若轴的直径D=100mm,弹性模量E=200 Gpa,泊松比 =0.3。试求F和m的值。,u,u,解：,（1）K点处的应力状态分析,在K点取出单元体：,K,其横截面上的应力分量为：,（2）计算外力F,由广义胡克定律：,解得：,（3）计算外力偶m,已知,式中,由,解得：,因此,例：在一个体积比较大的钢块上有一直径为50.01 的凹座,凹座内放置一个直径为50的钢制圆柱,圆柱 受到的轴向压力。假设钢块不变形，试求圆柱的主
14、应力。,解：,柱体横截面上的压应力为,由广义胡克定律,柱体各点的三个主应力为,体积应变,变形前的体积：,变形后的体积：,微体的体积变化率体积应变,讨论：,.如果 ，则体积应变,.如果三个主应力之和等于零，则弹性范围内体积不改变,.在普遍形式的三向应力状态下，切应力分量 的存在不影响该点处的体积应变，体积应变只与三个线应变有关，即与通过该点的任意三个相互垂直平面上的正应力有关。,1、微元应变能(Strain Energy),dy,dx,dz,应变能密度,dW=,2、应变能密度(Strain-Energy Density),: 形状改变能密度（畸变能密度）,: 体积改变能密度,3、体积改变能密度与形状改变能密度,体积变化单元体的棱边变形相等，变形后仍为正方体，只是体积发生变化的情况。,体积不变，但由正方体改变为长方体而储存的应变能密度,3、体积改变能密度与形状改变能密度,+,令,由广义胡克定律,本章小结,1.一点的应力状态的概念,
