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1、红河学院本科毕业论文（设计）2013 年度本科生毕业论文（设计）用 F-展开法求解广义 KdV-mKdV 方程院 系： 数学学院 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2009 级 学生姓名： 学 号： 200905050225 导师及职称： (教 授) 2013 年 5 月红河学院本科毕业论文（设计）2013Annual Graduation Thesis (Project) of the College UndergraduateThe F-expansion method for solving the generalized KdV-mKdV equationsDepartment: C
2、ollege of Mathematics Major: Mathematics and Applied Mathematics Grade: 2009 Students Name: Hu Anping Student No.: 200905050225 Tutor: Rui (professor)May, 2013红河学院本科毕业论文（设计）摘要摘要 本文针对广义 KdV-mKdV 方程的特点,引入了一个辅助方程。在这个辅助方程的基础上,利用 F-展开法获得这个辅助方程的一些函数型的精确解。进一步地,利用这些辅助方程的解获得了广义 KdV-mKdV 方程的各种精确行波解。并借助maple 软
3、件画出了在不同参数条件下的三维图像和二维图像。关键词关键词: : 广义 KdV-mKdV 方程;F-展开法;孤立波解;周期波解；行波解红河学院本科毕业论文（设计）ABSTRACTIn this paper, according to the characteristics of generalized KdV-mKdV equations, an auxiliary equation is introduced. Basied on the auxiliary equation, using the F-expansion method, some exact solutions of aux
4、iliary equatioan are given. Further, using the auxiliary equations solution, different kinds of exact travelling wave solutions of generalized KdV-mKdV equation are obtained. By using maple software, we draw three-dimensional graphics and two-dimensional images under the condition of different param
5、eters.Keywords: Generalized KdV-mKdV equation; F-expansion method; Solitary wave solution; periodic wave solutions; Travelling wave solutions红河学院本科毕业论文（设计）目 录 第一章 引言.11.1 研究背景和现状 11.2 广义 KdV-mKdV 方程简介11.3 研究内容.3第二章 研究方法.42.1 F-展开法 4第三章 用 F-展开法求解广义 KdV-mKdV 方程 6第四章 小结17参考文献.18致谢.19第一章 引言0第一章 引言 1.1 研
6、究背景和现状最近30多年来，非线性数学在物理研究领域颇具特色的成就之一就是创造了求非线性偏微分方程的解，特别是求行波解的各种方法。如: F-展开法，Jacobi椭圆函数展开，双曲正切函数展开,齐次平衡等。这些方法对于法法法某一类方程来说，它们求某一种形式的行波精确解是十分有效的, 其中“F-展开法”，“齐次平衡”对于求非线性发展方程的Jacobi椭圆函数解较为常用。法一般情况下, 求解非线性方程(尤其是非线性偏微分方程（PDE）)非常困难,而且也没有统一而普遍的方法，以上所述的一些方法也只能具体应用于求解某个或某些非线性方程较为有效,因此,在数学领域 ,求解非线性方程任重而道远，继续寻找一些有
7、效可行的求解方法仍是摆在数学爱好者面前的一项十分艰巨而又很有意义的工作。1.2 广义 KdV-mKdV 方程简介在现代科学研究中，非线性波动现象，如流体力学、固体物理、集成电路、光纤、化学动力学、等离子体物理、地球化学起重要作用。在非线性波方程中，非常重要的现象是扩散、耗散、色散、对流和反应。在许多科学索引文献中提到的孤立子问题,比如呼吸型孤立子,扭结型孤立子, 尖峰型孤立子，紧孤立子和尖孤波1是现代非线性数学在物理研究领域中的主要研究内容。目前尽管已经有了多种方法可以解决非线性波方程, 如双线性变换法, 贝克隆变换， 逆散射方法的转变, sine-cosine 方法，齐次平衡方法和 tanh
8、 方法。但是，由于非线性波方程本身的复杂性，导致目前没有统一的方法去寻找这些方程的所有解。这就是摆在我们面前的新课题，解决这些新课题需要我们不断的去寻找新的方法和新的技巧。另外，精确解的物理特性非常重要,这一重要性体现在它们能够为我们在非线性波方程的物理研究领域提供多方面的洞察力和灵感。标准的 KdV 方程红河学院本科毕业论文（设计）1（1-1）0,txxxxuauuu与 K(n,n)方程 （1-2）()()0,1nn txxxxua uun目前已被广泛而全面得到研究2-3。通过平衡 KdV 方程中的高阶色散效应项与非线性项，研究人员获得了方程（1-1）的孤立子(soliton)解，简称孤xx
9、xuxuu子解。然而，在 K(n,n)方程（1-2）中, 非线性色散项与非线性项之()n xxxu()n xu间的相互作用产生的孤波具有紧致的特性,通常人们把具有这一特性的解叫做紧孤子（Compactons）解。一般地，非线性波孤立子的特征被定义为4：（1）.局部的波形是稳定,它们相互碰撞时保持他们的特性。反过来又意味着孤子是具有这样的性质（弹性碰撞）的粒子。（2）.局部的波形,传播时不改变其性质(如形状、速度等)。因为紧孤子被证明弹性碰撞消失在一个有限的核心区域。所以人们观察到紧孤子结构有两个重要的特点5：（1）.紧孤子的宽度是独立的振幅。（2）.紧孤子的特点是不像孤立波那样有长长的尾巴（即
10、长长的渐进于某条直线曲线）。国内外大量的研究工作已表明紧孤子（Compactons）有实际的科学应用,如惯性聚变，裂变的液体滴(核子物理学),预先形成的水动力模型6-7等等。现代许多数学和物理学研究领域,名词后面带后缀-on，一般被用来表示粒子性质8，例如孤子（soliton）有粒子、光子（photon）、声子（phonon）和尖孤子（peakon）的性质。也因为这个原因,紧致的孤立波,简称紧孤子（Compacton）。需更加深入透彻地了解紧孤子（Compacton）性能和物理结构9。第一章 引言2正如广义 KdV-mKdV 方程：（1-3）. 0)(2xxxxpp tUUUUU（其中，,、都
11、是常数。 ）出现在大量的物理应用领域,曾经0p被许多人员研究过10-11,(以及这些文献中所引用的文献)。现在考虑一种较为特殊的情形，即在方程（1-3）中，让，其中为np2n非零自然数。便可以得到方程（1-3）的一种新形式，如下：（1-4）. 0)(42xxxxnn tUUUUU本文的主要工作就是在这种较为特殊情形下，用 F-展开法寻求方程np2（1-4）的精确行波解。1.3 研究内容本论文主要分为四个章节来撰写第一章 主要写研究此问题的背景和现状，研究方程的由来及撰写本论文的大概情况； 第二章 主要介绍论文用到研究方法；第三章 论文研究的全过程；第四章 小结。红河学院本科毕业论文（设计）3第
12、二章 研究方法4第二章 研究方法 2.12.1 F-展开法 目前 F-展开法的应用,可视为双曲正切函数，Jacobi 椭圆函数以及三角函数展开法的概括。其研究的方法步骤如下：一般考虑非线性偏微分方程(PDE)（2-1）( ,.)0,txttxtxxf u u u u uu为其变元的多项式,其中包含有非线性项和高阶偏导数项。f第一步.设(2-1)的行波解为:),()(),(txtxu （2-2）其中表示波速,将(2-2)代入(2-1)则将(2-1)化为的常微分方程（ODE）( )u( ,.)0.f u u u （2-3）第二步.设可表示为的有限幂级数:( )u( )F（2-( )( ),0,i
13、n i in inua Fa4）这里为待定常数,一般满足一阶常微分方程（ODE）:), 1,(nnniai)(F242,FPFQFR （2-5）对(2-5)式求导得:32.FPFQF （2-6）其中是待定常数,正整数由齐次平衡具体支配地位的最高阶导数项与非,P Q Rn线性最高次方项来确定。第三步.将(2-4)代入(2-5),利用(2-5),(2-6)可将(2-3)式变成的多项)(F式。令的各次项幂的系数为零,从而可以得和 c 的代)(F(,1, )ia innn 数方程组。红河学院本科毕业论文（设计）5第四步.求上述代数方程组，可借助 Maple 软件求解,和可由来表示。将这些结果代入(2-
14、5)式得(,1, )ia innn ,P Q RPDE(2-1)的一个行波解的一般形式。本论文是建立在一个变形的辅助方程： （2-),(2422RQFPFFFnn7）之上,通过对（2-7）式凑微分并令（2-8）可得如下方程：,2GFn. (2-9)nd RQGPGGdG22 在（2-9）式中记: （2-10） ， （2-11） 则.2RQGPGX.42QPRq方程（2-9）的积分情况如下表表一(积分表)当时0R RQ GRXRXGdG2ln1当时0R或者 qGRQGRXGdG2sin11 qGRQGRXGdG2sin11当时0RQGXXGdG2第二章 研究方法6红河学院本科毕业论文（设计）7第三章 用 F-展开法求解广义 KdV-mKdV 方程 在本章中，我们考虑下列广义 KdV-mKdV 方程(3-1), 0)(2xxxxpp tUUUUU其中，,、都是常数。0p现在考虑时的情形：（其中为自然数）np2n(3-2). 0)(42xxxxnn tUUUUU作一个行波变换，, ， (3-3) UU tx其中表示波速。 将（3-3）求导代入（3-2）得：(3-4). 0)(42UUUUUUnn对（3-4）积分一次得：（取积分常数为零） (3-5), 01412)(1412 UUnUn
