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1、序 言,?,概率论是研究什么的？,随机现象：不确定性与统计规律性,概率论研究和揭示随机现象量的统计规律性的科学,一、必然现象与随机现象,1、必然现象,在一定条件下肯定会发生的现象,如早晨太阳必然从东方升起；苹果不抓住必然往下掉,2、随机现象,即使条件一定，结果也不可预测,如 掷一枚硬币，出现正面或反面？,买一张彩票，是否中奖？,一件产品是合格品还是次品,概率论与数理统计就是研究随机现象的统计规律的学科。,第一章 随机事件与概率1.1 随机事件和样本空间,1.1随机事件 一、随机试验(简称“试验”),对随机现象进行观测称为随机试验 随机试验的特点： 1.可在相同条件下重复进行； （必然性） 2.
2、每次试验的结果具有多种可能性,但在试验之前可 以明确试验的所有可能结果; （可示性） 3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。（偶然性）随机试验可表为E,随机试验的每个结果称为随机事件, 简称事件。,一般用大写英文字母A、B、C等表示。 例1.1 在0、1、29中任取一数。 A表示取到0，B表示取到5， C表示取到奇数，D表示取到偶数。 它们都是随机事件。,不能分解为其它事件的事件称为基本事件。如A、B,能分解为其它事件的事件称为复合事件。如 C、 D,对于每个随机试验, 由于其所有结果是明确的，从而所有的基本事件也是明确的，它们的全体，称作样本空间，通常用字母表示。 中的点，即基本事件，
3、有时也称作样本点，常用表示。,例1.2 一个盒子中有十个完全相同的球，分别标以号码1，2,10，从中任取一球，令 i=取得球的标号为i则 1,2,10例1.3 测量某地水温，令 t=测得的水温为 则 0,100 在试验中，如果出现A中所包含的某一个基本事件, 则称作A发生，并记做A。每次试验一定发生的事件称为必然事件。如点数大于0。,一般用表示必然事件。每次试验一定不发生的事件称为不可能事件。 如点数大于9 一般用表示不可能事件 它们是随机事件的特例。为了研究的方便，可以用点集来表示事件， 也可以用文氏图表示。基本事件用只包含一个元素的单点集表示。 复合事件用包含若干个元素的集合表示。,例如掷
4、一颗骰子， A表示点数为4，即为单点集4 B表示点数为偶数，即为点集2,4,6 点数为正数，是必然事件，即为全集1,2,3,4,5,6 点数为负数，是不可能事件，即为空集,二、事件间的关系及运算,1、事件的包含,若事件A发生必然导致事件B发生，即属于A的 每个样本点也属于B,则称事件B包含事件A。,记作B A或A B,等价的说法是：B不发生，则A也不发生。,例如A=4,B=2,4,6,则A B,对任何事件A,有 A ,2、事件的相等,若A B且B A，称事件A与B相等。,即A与B中的样本点完全相同。 记作A=B,掷一颗骰子 A表示点数小于3，B表示点数为1或2 则A=B,3、事件的并（和）,两
5、个事件A，B中至少有一个发生，即“A或B”， 这样的一个事件，称为A与B的并（和）。,它是由A与B的所有样本点构成的集合。 记作A+B或AB,掷骰子之例中，若 A=1,2,3,B=1,3,5 则AB=1,2,3,5,集合的运算规律对事件也成立，如,AB=BA,(AB)C=A(BC),AB A,AB B,A=A,A=,n个事件A1,An中至少有一个发生，是一个事件。,称为事件A1,An的和,记作A1+An或A1An,若A=1,2,3,B=1,3,5,C=1,3,4,则A+B+C=1,2,3,4,5,4、事件的交（积）,两个事件A与B同时发生，即“A且B”,是一个事件。 称为事件A与B的交（积）。
6、,它是由A与B的公共样本点构成的集合。 记作AB或AB 如A=1,2,3,B=1,3,5 则AB=1,3,它也有运算律：,AB=BA (AB)C=A(BC),AB A AB B,A= A=A,也可定义多个事件的交。,交与并运算还满足分配律：,(AB)C=(AC)(BC),(AB)C=(AC)(BC),用不同的记号，可写为,(A+B)C=AC+BC,(AB)+C=(A+C)(B+C),5、事件的差,事件A发生而事件B不发生，是一个事件， 称为事件A与B的差。,它由属于A但不属于B的所有样本点组成。 记作A-B。 如：A=1,2,3,B=1,3,5 则A-B=2,B-A=5,6、互不相容事件,若事
7、件A与B不能同时发生，也就是说AB是一个不可能 事件，即AB= ,则称事件A与B互不相容或互斥。,如A=1,2,3,B=1,3,5,C=4,5,A与C是互不相容的， A与B是相容的。,7、对立事件,若A是一个事件,令 A，称是A的对立事件或 逆事件。 容易知道，在一次试验中，若A发生，则必不发生,（反之亦然）即A与二者只能发生其中之一，并且也必然发生其中之一。因而有,A =, A+=,此外显然有,如A=1,2,3, =1,2,3,4,5,6,则=4,5,6,8.完备事件组,若A1，A2，An为两两互不相容的事件，AiAj （ij）且A1A2An称A1，A2，An构成一个完备事件组,比较下事件间
8、的关系及运算与集合间的关系及运算,符号 集合含义 事件含义, 全集 样本空间，必然事件, 空集 不可能事件, 集合的元素 样本点, 单点集 基本事件,A B A的元素在B中 A发生导致B发生,A=B 集合A与B相等 事件A与B相等,AB A与B的所有元素 A与B至少有一个发生,AB A与B的共同元素 A与B同时发生, A的补集 A的对立事件,A-B 在A中而不在B中的元素 A发生而B不发生,AB= A与B无公共元素 A与B互斥,三、事件的运算,1、交换律：ABBA，ABBA 2、结合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC) 3、分配律：(AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AC)(B
9、C) 4、对偶(De Morgan)律：,例1：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、 B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C 的运算关系表示下列事件：,例3 一名射手连续向某个目标射击三次，事件Ai表示该射手第i次射击时击中目标（i=1,2,3）试用文字叙述下列事件,A1+A2 2 A1+A2+A3 A1A2A3 A32 A3A2 122+3 A1A2+A1A3+A2A3,前两次中至少有一次击中目标 第二次射击未击中目标 三次射击中至少有一次击中目标 三次射击都击中了目标 第三次击中而第二次未击中前两次均未击中目标 后两次射击中至少有一次未击中目标 三次射击中至少有两次击中目标
10、 三次射击中至多有一次未击中目标,1.2 概率和频率,随机事件在一次试验中发生与否虽然不能预先知道，但,凭实践可知，任一随机事件发生的可能性有大小，例如，100 件产品中有5件次品。任抽一件，抽到合格品的可能性显然比抽到次品的可能性大。为了定量地描叙随机事件发生的可能性的大小，我们引进概率这一概念。这里，先讲事件的频率。,1.2 .1事件的频率,设在一随机试验E中，进行n次重复试验，事件A出现 次，则称为事件A在n次试验中出现的频率，简称事件A的频率， 记为,频率具有下述性质: 1.非负性:即,2. 规范性: 即若,是必然事件，则,3. 有限可加性: 即若A、B互不相容(即AB ),，则,证3
11、. 若,发生，意味着A、B中至少发生其中之一，,又因为A与B互不相容(即不可能同时发生)，所以,发生,的次数一定是A发生的次数与B发生次数之和，即,，从而有,成立。,1.2 .2概率定义,下面举一个历史上确实作过的实验来观察频率具有的 规律。,例1.2.1 投掷一枚质量均匀的硬币。,上述例子的特点是：当试验次数无限增大时，随机事件 出现的频率具有稳定性。它几乎趋于一个定数。这个定数 揭示了隐藏在大量同类随机现象中的规律性，定量地描述了 事件发生的可能性的大小，从而有下述定义。,定义1.2.1 设E为随机试验，,为样本空间，对于E的任一事件A( ),当试验次数n无限增大时，事件A的频率,稳定在某
12、一定数p附近，则定数,p称为事件A的概率，记为P(A)=p.,由频率的性质得知概率也必然具有下列基本性质: (i) ,(A为任一事件) (ii) P( ) =1; 若 ，则,性质(iii)称为概率的可列可加性（或完全可加性）。定义1.2.1虽然可以定义概率，但要通过大量的试验来确定 事件的概率，实际上是难办到的。所以我们有必要根据定义1.2.1 提供的最本质的素材加以概括抽象，给出如下事件概率定义。定义1.2.2 设 为随机试验E的样本空间，对于E的每一事件A ( )赋予一实数P(A), 满足下列条件：(1) 对于每一事件 ，有 (2) (3) (完全可加性)设 且,则称P(A)为事件A的概率
13、。,1.3 古典概型在这一节我们将讨论一类最简单的随机试验，它 它具有下述特征：,（1）样本空间的元素（即基本事件）只有有限个. 不妨设为 n个, 并记它们为,（2） 每个基本事件出现得可能性是相等的，即有,这种随机试验称为古典概型。对应的 称为简单样本空间。古典概型在概率论中有很重要的地位，一方面，因为它比较简单， 许多概念既直观又容易理解，另一方面，它又概括了许多实际问 题，有着广泛的应用。,在古典概型中，设等可能的基本事件总数为n个，事件A所 包含的基本事件为k个，则事件A发生的概率为,（1）,事实上，设简单样本空间 ,事件A= , ( ),因为,于是,所以,注：习惯上A所含的基本事件数
14、也称为A的有利事件数。,例1.3.1两封信随机的向标号为、的4个邮筒投寄，求第2个邮筒恰好被投入1封信的概率,解：设A“第二个邮筒只投入1封信”B“前两个邮筒各有一封信” 则根据乘法原理,例1.3.2 袋中装有5个白球，3个黑球。从中任取两个球，计算取出的两个球都是白球的概率。,解：组成试验的基本事件总数,事件A表示取到两个白球，基本事件数,故,例1.3.3 设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中的 任意一间去住（n m),求下列事件的概率:(1) 指定的n个房间各住一个人；（2）恰好有n个房间，其中各住一个人.,解 因为每一个人有N个房间可供选择，所以n个人住的方式共有,种，它们是等可能的。在第一个问题中，指定的n个房间各有一个人住，其可能总数为n个人的全排列n!,于是,在第二个问题里，n个房间可以在N个房间中任意选取，其总数为,
