概率论第一章绪论

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1、绪 论 篇,随 机 现 象任务与研究方式概 率 论 起 源发 展 简 史应 用 前 景学习方法指导,必然现象与随机现象,在一定条件下，某些事情一定发生或一定不发生的现象。,在一定条件下，可能发生也可能不发生的现象。,必然现象：,随机现象：,Necessity Phenomenon,Random Phenomenon,任务与研究方式,概率论与数理统计的任务:,研究和揭示随机现象的统计规律性。,从数量的侧面研究随机现象统计规律。,研究方式：,The Task of Probability and Statistics,Statistics Law,Study manner,概 率 论 起 源,概率

2、论与数理统计是一门古老的学科，它起源于十七世纪资本主义上升的初期，这时航海商业有了很大的发展，关闭的封建社会经济正在被航海商业经济所取代。然而航海商业是冒风险的事业，人们自然要关心大量投资是否有利可图？怎样估计出现各种不幸事故与自然灾害的可能性？在桥牌活动中，经常需要判断某种花色在对方手中的分配等等。从某种意义上讲，概率论与数理统计正是从研究这类问题开始的。,Origin,公元前1500年 古埃及,“猎犬与胡狼”,公元前1400年 古埃及,骰子产生,骰子：对面之和为7,公元前1200年 用脚上的距骨来做骰子,随机发生器骰子的产生,概率思想的萌芽文艺复兴时期,意大利 1477年 但丁神曲,在该书

3、的“编印缘起”中讲到了投掷三颗骰子可能出现的各种结果.,发 展 简 史,Simple history,代表人物,卡尔达诺（1501-1576）意大利数学和医学教授,1526年 机会性游戏手册 1663年出版,伽利略 1613年和1623年之间 关于骰子游戏的思想,他解释了在抛掷三颗骰子时为什么会有216种同等可能的结果，以及为什么三颗骰子的某些和数的出现看来似乎有同样大小的可能性，而玩骰子的人们却认为不是同等可能。比如和数为9和和数为10哪个更占优势？,概率的产生,点问题,对于数学中一个非常特别的问题的解法的探求成为数学化的概率科学产生的标志之一，这个问题被称作“点问题”。,1654年 德.梅

4、勒 法国的一位军人、语言学 家、古典学者,问题形式：假设两个赌博者（德.梅勒和他的一个朋友）每人出30个金币，两人各自选取骰子中的一个点数，谁先掷出该点数3次，谁就赢得全部赌注。,在游戏进行了一会儿后，德.梅勒选的点数“5”出现了2次，而他的朋友选择的点数“3”只出现了一次。这时候，德.梅勒由于一个紧急事情必须离开，游戏不得不停止。他们该如何分配赌桌上的60个金币的赌注呢？,帕斯卡 法国“最伟大的天才”,费马 业余数学家之王,两人在通信中正确解决了“点问题”，还创造了一种研究的传统用数学方法（主要是组合数学）研究和思考机会性游戏。被称为“数学史上的一个里程碑”。,惠更斯（荷兰） 1657年 论

5、掷骰子游戏中的计算概率论中最早的论著,早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费马和惠更斯，这一时期被称为组合概率时期,概率的发展,瑞士数学家族贝努利家族,雅可布.贝努利,提出“贝努利大数定律”，并花了20年的时间来证明。1713年，出版猜度术。,尼古拉.贝努利,提出著名的“圣彼得堡问题”,拉普拉斯（法国）,明确给出概率的古典定义,证明了“棣莫佛拉普拉斯中心极限定理”建立了观测误差理论和最小二乘法,1812年 出版分析的概率理论,成为严谨的学科,1906年 俄数学家马尔科夫提出“马尔科夫链”,前苏联数学家辛钦(1894-1959)提出“平稳过程理论”以及“辛钦大数定律”,20世纪初 完成了勒贝格测度与

6、积分理论及随后发展的抽象测度和积分理论,1934年,1933年 柯尔莫哥洛夫 概率论基础,首次给出概率的测度论式定义和一套严密的公理化体系，其公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支。,电子计算机的问世，进一步加速了概率论与数理统计的发展。六十年代后，形成了许多新的统计分支：时间序列分析、统计推断、稳健统计、投影寻踪等。,应 用 前 景,概率论与数理统计应用呈现出极其壮观的局面，尤其在质量管理、计量经济学、计量心理学、金融数学方面起着重要的作用。数理统计已渗透于工业统计、农业统计、水文统计、统计医学、统计力学、统计物理学、统计化学、统计教育学、统计体育学、统计心理学等许多领域

7、。气象预报、产量预报、地震预报、石油勘探开发、可靠性工程等凡是有数据需要处理的地方，都离不开概率统计。因此概率论与数理统计作为一门应用数学课程是非常重要的。,Prospect,学习方法指导,注意加强前后知识的联系，善于把新问题化作老问题加以解决，掌握解决处理实际问题的一般方法，逐步提高分析问题、解决问题的能力。,理解实质 掌握内涵 循序渐进,抓住典型 触类旁通 开拓思路,学习概率论与数理统计重点要理解掌握它的基本概念、基本理论和常用统计方法的具体应用。,善于分析 寻找规律 勇于创新,使用教材及参考书,教材：随机数据处理方法（第三版）石大出版社，王清河等编著。,参考书：1.概率论与数理统计（第三

8、版）高教出版社，盛骤等编。2. Introduction to Probability and Statistics, Sixth Edition ,Mendenhall .3.概率论与数理统计学习指导（胶印本）常兆光、王清河等编著,概 率 论 篇,第一章 随机事件与概率,第二章 随机变量及其分布,第三章 随机变量的数字特征,第四章 大数定律与中心极限定理,第一章 随机事件与概率,随机试验与随机事件频率与概率等可能概型、几何概型条件概率事件的独立性综 合 练 习,随机试验随机事件样本空间事件之间的关系及运算,1.1 随机试验与随机事件,Random Experiments and Random

9、 Events,Sample Space,Random Experiments,Random Events,例 投掷一枚骰子，观察可能出现的点数,1. 事件A：出现的点数为奇数,2. 事件B：出现的点数小于4,3. 事件,:出现1点,4. 事件,:出现的点数为i(i=2,3,4,5,6),当事件,或,发生时，A发生，即,:H,:T,投掷两枚硬币的基本事件:,:HH,:HT,:TH,:TT,事 件 分 类,投掷一枚硬币的基本事件:,投掷一枚骰子的基本事件和复合事件,事件,和事件A：出现的点数为奇数,需要指出的是,Sample Space,样本空间:由试验所有可能结果构成的集合称为样本空间，通常用

10、符号 表示，中的每个元素称为样本点。,基本事件:只包含一个样本点的事件称为基本事件,样本空间,Solution,需要指出的是：,Aim,A or B or both,四. 事件及其运算关系,Both A and B,Complement,Mutually exclusive,若 两两互不相容，且在每次试 验中事件 必发生其中之一，,即 ，且 ，则称 为互不相容事件完备组。,需要指出的是：若事件 与事件 互逆，则事件 与事件 一定互不相容，但反之则不一定。,例 从1-9中任取一整数,事件 ：“取到的为奇数”,事件 ：“取到的为小于7的偶数”,CH1,例1-6 设A,B,C 为三个事件，试用事件之

11、间的运算关系表示下列事件,（1）A发生而B与C都不发生；,（2）A,B,C恰有一个发生；,（3）A,B,C至少有一个发生；,（4）A,B,C至多有两个发生。,思考： A,B,C 都不发生与A,B,C 不都发生的区别,1.2 频率与概率,一.频 率,二.概率的统计性定义,三.概率的公理化定义,CH1,Frequency and Probability,Frequency,频率定义：,Property,需 要 指 出 的 是,Axiomatize Definition,加法公式,Exp 1-9 设 ， 为随机事件， ，,求,解：由,以及题设条件，得,从而由对偶原理以及概率的性质3可知,类似问题：设

12、 ， 为随机事件， ，求 。,Classical Probability model,Equal-Possibility Probability model,例1-11 从一副扑克牌中的13张黑桃里，一张一张有放回的抽取3张，求,（1）没有同号的概率；,（2）有同号的概率；,（3）3张中至多有2张同号的概率。,分析：设 ：没有同号， ：有同号， ：3张中至多有2张同号，则,，而,从而可得,，显然 ，从而由性质3可得其概率；,事件 的概率也可由其逆事件“全部同号”的概率求得。,问：恰有两张同号的概率是多少？,例1-14 在11000的整数中随机的取一个数，问取到的整数既不能被3整除，又不能被4整

13、除的概率是多少？,分析：设 ：该数能被3整除， ：该数能被4整除，,则所求概率即为,而 表示该数既能被3又能被4整除，即能被12整除，易求出。,问：取到的数能被3整除，或能被4整除的概率又是多少？,类似思考题举例如下：,例：现从20名候选人中选6人组成一个代表团，20人中有8名是干部，4名是工人，5名是教师，3名是学生。假设每人有相同的机会被选到，求被选上的6人中恰有3名干部，1名工人，1名教师和1名学生的概率。,例：从52张扑克牌中任意取出13张来，求有1张 ，2张 ，3张 ，4张 的概率。,引例1 某人午觉醒来，发现表停了。他打开收音机，想听电台报时（整点报），求他等待时间短于10分钟的概

14、率。,引例2 如果在一个50000平方公里的海域里有表面积达40平方公里的大陆架贮藏着石油。假如在这海域里随意选定一点钻探，问钻到石油的概率是多少？,引例3 在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，求发现大肠杆菌的概率。,Geometric Probability,Uniform Distribution,例1-19 在区间（0，1）内任取两数，求两数之和大于 的概率。,故所求概率为,0,1,1,a,a/2GgO,CH1,历史上有一些学者曾亲自做过这个试验，下表记录了他们的试验结果：,这是一个颇为奇妙的方法：只要设计一个随机试验，使一个事件的概率与某一未知

15、数有关，然后通过反复试验，以频率近似概率，即可求得未知数的近似解。,条 件 概 率,乘 法 公 式,全 概 率 公 式,贝叶斯（Bayes)公式,1.5 条 件 概 率,条 件 概 率,Conditional Probability,Multiplication Formula,Total Probability Formula,例1-14 某学生的钥匙丢了，他落在宿舍、教室和路上的概率分别为40%，35%，25%；以上三种情况下能找到钥匙的概率分别为90%，30%和10%，求该生能找到他的钥匙的概率。,解：设 ：“钥匙落在宿舍”， ：“落在教室”，：“落在路上”， ：“能找到钥匙”，,则由全概率公式，有,贝叶斯（Bayes) 公 式,例1-17：在一个每题答案有4种选择的测验中，只有一种答案是正确的。学生不知道问题的正确答案时，他就会作随机猜测。倘若我们假定一个学生确实懂了和胡乱猜测的概率都是1/2，现在从卷面上看某指定题是答对了。求该学生对该题确实是懂的概率。,